2015考研强化班绝密资料 第四讲 向量组的线性关系和秩

第四讲 向量组的线性关系与秩

特点:全课程的理论基础 概念复杂，抽象，深刻. 准确理解, 提高逻辑推理能力

线路:线性表示→线性相关性→极大无关组和秩→矩阵的秩 注意秩的作用

概念部分

一. 线性表示

设α1, α2, „, αs 是一个n 维向量组.

1. n维向量β可用α1, α2, „, αs 线性表示，即β可以写为α1, α2, „, αs 线性组合, 也就是存在数组c 1,c 2, „,c s 使得

c 1α1+c2α2+„+cs αs =β .

判断β可否用α1, α2, „, αs 线性表示? 这也就是问：线性方程组

x 1α1+ x 2α2+„+xs αs =β 是否有解？

反过来, 判别“以(A |β)为增广矩阵的线性方程组是否有解？”的问题又可转化为“β是否可以用A 的列向量组线性表示? ”的问题.

三种情况: 不可以表示, 可以表示并且表示方式唯一, 有无穷多表示.

2. 向量组β1, β2, „, βt 可以用α1, α2, „, αs 线性表示, 即其中的每一个都可以用α1, α2, „, αs 线性表示.

向量组之间的线性表示问题与矩阵乘法有密切关系:

乘积矩阵AB 的每个列向量都可以表示为A 的列向量组的线性组合, γi =A βI =b1i α1+b2i α2+„+bni αn .

于是AB 的列向量组可以用A 的列向量组线性表示.

反过来, 如果向量组β1, β2, „, βt 可以用α1, α2, „, αs 线性表示, 则矩阵(β1, β2, „, βt ) 可分解为矩阵(α1, α2, „, αs ) 和一个矩阵C 的乘积.(矩阵分解)

其中C 可以这样构造: 它的第i 个列向量就是βi 对α1, α2, „, αs 的分解系数. 称C 为β1, β2, „, βt 对α1, α2, „, αs 的一个表示矩阵. (C 不是唯一的)

3. 当向量组α1, α2, „, αs 和β1, β2, „, βt 互相都可以线性表示时,就说它们等价,并记作{α1, α2, „, αs }≅{β1, β2, „, βt }.

向量组的线性表示关系有传递性, 等价关系也有传递性.

例如, 最矩阵A 作一次初等行变换化为B , 则A 的行向量组和B 的行向量组等价. 于是如果矩阵A 用初等行变换化为B , 则A 的行向量组和B 的行向量组等价. 如果矩阵A 用初等列变换化为B , 则A 的列向量组和B 的列向量组等价.

二. 向量组的线性相关性

讨论向量组的内在关系的性质. 1． 意义和定义 (1) 意义

线性相关性是描述向量组内在关系的概念.

说向量组α1, α2, „, αs 线性相关. 是指此向量组有内在的线性表示关系, 具体地说, 就是其中有向量可以用其它的s-1个向量线性表示..

如果向量组α1, α2, „, αs 中每个向量都不可以用其它的s-1个向量线性表示, 就说

α1, α2, „, αs 线性无关.

当向量组中有零向量时, 则一定线性相关.

两个向量线性相关就是它们的对应分量成比例.

如α=(a1,a 2, ⋯,a n ) 和β=(b1,b 2, ⋯,b n ) 相关, 不妨设β=cα, 即b 1=ca1, b2=ca12, ⋯,b n =can . (2)定义 如果存在不全为0的一组数c 1,c 2, „,c s 使得

c 1α1+c2α2+„+cs αs =0,

则说α1, α2, „, αs 线性相关,否则就说它们线性无关.

(α1, α2, „, αs 线性无关即:要使得c 1α1+c2α2+„+cs αs =0,必须c 1,c 2, „,c s 全为0.)

当向量组中只有一个向量α时, α线性相关就是它是零向量. α线性无关就是它不是零向量

(3)用齐次方程组看 α1, α2, „, αs “ 线性相关还是无关”就是向量方程x 1α1+ x 2α2+„+xs αs =0“有没有非零解”. 这个向量方程就是齐次方程组 AX=0,其中A =(α1, α2, „, αs ). 于是

α1, α2, „, αs 线性相关(无关) ⇔ 齐次方程组 AX=0有非零解(无非零解). 2. 性质

(1)线性无关向量组的每个部分组都无关.

比如α1, α2, α3, α4, α5线性无关⇒α1, α3, α 5线性无关

(逆否命题:如果向量组有线性相关的部分组, 则它本身也线性相关.)

(2) 若向量的个数s 等于维数n, 则 α1, α2, „, αn 线性相关⇔| α1, α2, „, αn |=0. 当向量的个数s 大于维数n 时, α1, α2, „, αs 一定线性相关.

用齐次方程组看, 注意:n是AX =0的方程数, s是AX =0的未知数个数. s=n时用克莱姆法则.

s>n即方程数n 少于是AX =0的未知数个数s, 一定有非零解. (逆否命题:如果 α1, α2, „, αs 线性无关,则s ≤n.)

(3) 如果β1, β2, „, βt 可用α1, α2, „, αs 线性表示, 并且t>s,则β1, β2, „, βt 线性相关.

(逆否命题: 如果β1, β2, „, βt 可用α1, α2, „, αs 线性表示,且β1, β2, „, βt 线性无关. 则t ≤s.)

推论:两个等价的线性无关向量组一定包含有相同多个向量. (4) 如果α1, α2, „, αs 线性无关,则

α1, α2, „, αs , β线性相关⇔β可用α1, α2, „, αs 线性表示. (α1, α2, „, αs , β线性无关⇔β不可用α1, α2, „, αs 线性表示.)

(5) 如果β可用α1, α2, „, αs 线性表示, 则表示方式唯一⇔α1, α2, „, αs 线性无关.

(表示方式无穷⇔α1, α2, „, αs 线性相关.)

三. 向量组的极大无关组和秩

这是对向量组的内在性质的定量的讨论. 向量组的秩是刻画向量组相关“程度”的一个数量概念. 它表明向量组有多大(指包含向量的个数) 的线性无关的部分组.

1. 定义与简单性质

定义 设α1, α2, „, αs 是n 维向量组,(I)是它的一个部分组. 如果 ① (I) 线性无关.

② (I) 再扩大就线性相关.

就称(I)为α1, α2, „, αs 的一个极大无关组. 称(I) 中所包含向量的个数为α1, α2, „, αs 的秩。记作r(α1, α2, „, αs ).

说明1 α1, α2, „, αs 的不同的极大无关组包含向量的个数会不会不同？ 任何αi 都可用极大无关组(I) 线性表示, 从而(I) 与α1, α2, „, αs 等价. 于是任意两个极大无关组 等价，因此包含向量的个数相同。 说明2 如果α1, α2, „, αs 全是零向量, 则规定r(α1, α2, „, αs )=0. 说明3 秩怎么刻画了“向量组相关的程度”？ 如果r(α1, α2, „, αs )=r,则

a) α1, α2, „, αs 有包含r 个向量的无关部分组. b) 含有多于r 个向量的部分组一定线性相关.

于是, α1, α2, „, αs 的一个线性无关部分组如果含有r 个向量，就一定是极大无关组. 如果r(α1, α2, „, αs )=r,该向量组的一个线性无关部分组含有r 个向量, 那么它就是极大线性无关组.

0≤r(α1, α2, „, αs ) ≤ Min{s,n}

2. 性质(应用于相关性和线性表示的判别)

(1) α1, α2, „, αs 线性无关⇔ r(α1, α2, „, αs )=s.

命题： r(α1, α2, „, αs , βα1, α2, „, αs ) ， 若β可用α1, α2, „, αs 表示，

r(α1, α2, „, αs )+1， 若β不可用α1, α2, „, αs 表示.

证明思路:看α1, α2, „, αs 的一个极大无关组(I)是否也是α1, α2, „, αs , β的极大无关组? β可用α1, α2, „, αs 表示⇔β可用(I)表示⇔ (I), β 线性相关⇔(I)也是α1, α2, „, αs , β的极大无关组，则r(α1, α2, „, αs , β)=r(α1, α2, „, αs ).

β不可用α1, α2, „, αs 表示⇔ β不可用(I) 表示⇔ (I), β 线性无关.

则(I)不是α1, α2, „, αs 的极大无关组, 而{(I),β }是α1, α2, „, αs , β的极大无关组,因此r(α1, α2, „, αs , β)=r(α1, α2, „, αs )+1.

(2) β可用α1, α2, „, αs 线性表示⇔r(α1, α2, „, αs , β)=r(α1, α2, „, αs ).

(3) β可用α1, α2, „, αs 唯一线性表示⇔r(α1, α2, „, αs , β)=r(α1, α2, „, αs )=s. (4) β1, β2, „, βt 可以用α1, α2, „, αs 线性表示⇔

r(α1, α2, „, αs , β1, β2, „, βt )=r(α1, α2, „, αs ). 推论: 如果 β1, β2, „, βt 可以用α1, α2, „, αs 线性表示, 则 r(β1, β2, „, βt ) ≤r(α1, α2, ⋯ ,αs ).

r(β1, β2, „, βt ) ≤ r(α1, α2, „, αs , β1, β2, „, βt )=r(α1, α2, ⋯ ,αs ). (5) α1, α2, „, αs 和β1, β2, „, βt 等价⇔

r(α1, α2, „, αs )= r(α1, α2, „, αs , β1, β2, „, βt )= r(β1, β2, „, βt ).

3. 秩的计算(有相同线性关系的向量组)

两个向量个数相同的向量组α1, α2, „, αs , 和 β1, β2, „, βs 称为有相同线性关系, 如果向量方程

x 1α1+x2α2+„+xs αs =0和x 1β1+x2β2+„+xs βs =0

同解, 即齐次线性方程组(α1, α2, „, αs ) X =0和( β1, β2, „, βs ) X =0同解.

当α1, α2, „, αs 和 β1, β2, „, βs 有相同线性关系时, ①它们的对应部分组有一致的线性相关性. 例如α1, α3, α4和 β1, β3, β4相对应.

如果α1, α3, α4相关, 比如3α1-α3+5α4=0,则(3,0,-1,5,0, „,0) 是x 1α1+x2α2+„+xs αs =0的解, 从而也是x 1β1+x2β2+„+xs βs =0的解, 就得到3β1-β3+5β4=0, β1, β3, β4相关.

②它们的极大无关组相对应, 从而它们的秩相等.

③它们有相同的内在线性表示关系. α2=2α1+α3-α4⇔ β2=2β1+β3-β4.

推论:当A 经过初等行变换化为B 时, AX =0和BX =0同解, 从而A 的列向量组和B 的列向量组有相同线性关系. 于是它们的极大无关组相对应, 秩相等.

阶梯形矩阵的非零行数就是它的列向量组的秩

⎛1 0 0 0⎝

030033001-1-10

2⎫⎛1⎪ 5⎪ 0→ ⎪20⎪

0⎪⎭⎝0

[1**********]

4⎫⎪1⎪

⎪-2⎪0⎪⎭

简单阶梯形矩阵的台角所在的那几个列向量构成列向量组的极大无关组.

这样, 就产生了计算一个向量组α1, α2, „, αs 的秩和极大无关组的方法:把此向量组作为列向量组构造矩阵(α1, α2, „, αs ), 用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B , 则B 的非零行数就是r(α1, α2, „, αs ), B 的各台角所在列号对应的α1, α2, „, αs 的部分组是的一个极大无关组.

(如果A 经过初等列变换化为B ，则A 的列向量组和B 的列向量组是等价关系，秩也相等, 但是极大无关组并没有对应关系.)

四. 矩阵的秩

1. 定义:一个矩阵A 的行向量组的秩和列向量组的秩相等, 称此数为矩阵A 的秩, 记作r(A ).

命题 r(A ) 就是A 的非0子式的阶数的最大值.(即A 的每个阶数大于r(A ) 的子式的值都为0, 但是A 有阶数等于r(A ) 的非0子式.)

如果A 是m ⨯n 矩阵, 则

0≤r(A ) ≤Min{m,n}. r(A )=0⇔ A =0.

当r(A )=m时, 称A 为行满秩的.(即A 的行向量组线性无关) 当r(A )=n时, 称A 为列满秩的. (即A 的列向量组线性无关) 对于n 阶矩阵A , 行满秩和列满秩是一样的, 就称A 满秩. 于是:

n 阶矩阵A 满秩⇔r(A )=n⇔A 的行(列) 向量组无关⇔|A |≠0⇔A 可逆.

2. 计算

① 初等变换保持矩阵的秩.

② 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

矩阵秩的计算:用初等变换将其化为阶梯形矩阵, 则此阶梯形矩阵的非零行数就是原矩阵的秩.

3. 矩阵秩的性质

T

① r(A )=r(A ).

② 如果c 不为0, 则r(cA )=r(A ). ③ r(A ±B ) ≤r(A )+r(B ).

④ r(AB ) ≤Min{r(A ),r(B )}.

AB 的列向量组可用A 的列向量组线性表示, ⇒ r(AB ) ≤ r(A ).

B T A T =(AB ) T ，

T T

r(AB )=r((AB ) ) ≤ r(B )=r(B ).

⑤ 当A 可逆时,r(AB )=r(B ), B 可逆时,r(AB )= r(A ).

-1

A (AB )=B , 因此r(AB ) ≥r(B ).

(A 可逆可弱化为A 列满秩, B可逆可弱化为B 行满秩,) ⑥ 如果AB =0,n为A 的列数(B 的行数), 则r(A )+r(B ) ≤n. ⑦ 设A *为n 阶矩阵A 的伴随矩阵, 则 若r(A )=n,

r(A *若r(A )=n-1,

0, 若r(A )

r(A *)=0⇔ A*=0⇔每个代数余栽子式=0⇔每个余栽子式=0⇔每个n-1阶子式=0⇔ r(A )

r(A )=n-1时AA *=0,用⑥, r(A )+r(A *) ≤n.

⑧ r ⎪⎪≤r (A ) +r (B )

A 行C →有r(A )+r(B ) 个非零行向量) r(A |B ) ≤r(A )+r(B ).

r(α1, α2, …, αs ,β1, β2, …, βt ) ≤r(α1, α2, …, αs )+ r(β1, β2, …, βt ).

例题部分 计算题

例1 已知α1=(1,2,-1,0), α2=(1,1,0,2), α 3 =(2,1,1,a)生成的向量空间是2维空间，则

a=( ).

分析：所谓三个向量生成的向量空间是2维空间，也就是说这三个向量的秩是2. 我们采用初等变换计算秩的办法。

⎛A ⎫⎝B ⎭

⎛1 2 -1 0⎝

1102

2⎫⎛1⎪ 1⎪ 0→ 1⎪0⎪

0a ⎪⎭⎝

1

-112

2⎫⎛1⎪ -3⎪ 0

→3⎪ 0⎪

a ⎪⎭⎝0

1

-120

2⎫⎛1⎪ -3⎪ 0

→a ⎪ 0⎪

0⎪⎭⎝0

1

-100

2⎫

⎪-3⎪

⎪6-a ⎪⎪0⎭

所得到的阶梯形矩阵的非零行数就是向量组的秩.

又因为该向量组的秩是2, 因此6-a =0, 即a =6.

11⎫⎛1+a

⎪

1+b 1⎪, 问：a,b 满足什么条件时r(A )=2 ? 例2 设A = 1

111-b ⎪⎝⎭

分析:我们用矩阵的初等行变换把A 化成阶梯形矩阵.

11⎫⎛111-b ⎫1-b ⎫⎛1+a ⎛11

⎪ ⎪ ⎪A = 11+b 1⎪→ 11+b 1⎪→ 0b b ⎪

0-a ab +b -a ⎪ 1 11-b ⎪11⎪⎝⎭⎝⎭⎝1+a ⎭

讨论:若b=0,第二行都是0, 容易继续往下做;

若b ≠0, 第二行可化为（0,1,1）, 也容易继续往下做. b=0时, 第三行变为(0,-a,-a),要使秩为2，应有a ≠0.

b ≠0时, 第二行提出b, 变为（0,1,1）, 把它的a 倍加到第三行, 第三行变为(0,0,ab+b),由于b ≠0，因此可化为(0,0,a+1)，由秩是2，得a+1=0,即a= -1.

-12⎫⎛1⎛3a -2⎫ ⎪ ⎪

1-3⎪, B = 05a ⎪, 求r (AB - A) ． 例3 已知A = 2

-1-25⎪ 00-1⎪⎝⎭⎝⎭

本题考查的是⑤ 当A 可逆时,r(AB )=r(B ), B 可逆时,r(AB )= r(A ).

AB - A=A(B-E), 而容易看出(B-E)是可逆的, 因此 r (AB - A)= r(A )

用初等行变换容易得出r(A )=2,因此r (AB - A)=2

⎛a b b ⎫ ⎪

例4 设A = b a b ⎪, 已知r(A )+r(A *)=3,求a,b 应该满足的关系.

b b a ⎪⎝⎭

分析:关键之处在于分析r(A )+r(A *)=3,该等式说明了r(A )=2.

我们把A 用初等变换化为阶梯形矩阵：

b b ⎫⎛a b b ⎫⎛a +2b b b ⎫⎛a +2b

⎪ ⎪ ⎪A = b a b ⎪→ a +2b a b ⎪→ 0a -b 0⎪

b b a ⎪ a +2b b a ⎪ 00a -b ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

显然, 若a-b ≠0且a+2b≠0, 不满足r(A )+r(A *)=3;

若a-b=0，则r(A ) ≤1, 亦不满足条件； 故而只有当a+2b=0且a-b ≠0时满足题中条件.

⎛a b -3⎫⎛b -1a 1⎫ ⎪ ⎪

10⎪, 例5 3阶矩阵A = 202⎪, B = -1

0 32-1⎪21⎪⎝⎭⎝⎭

已知r(AB ) 小于r(A ) 和r(B ), 求a,b 和r(AB ).

关键在于看出“r(AB ) 小于r(A ) 和r(B ) ”这个条件说明A 和B 都是不可逆矩阵. r(A ) 和r(B ) 都小于等于2, 因此r(AB ) 小于2; 又因为r(AB ) 大于0, 所以r(AB )=1. 因为AB 的秩是1, 因此它的任何两个行向量线性相关. 我们具体来看它的第二和第三个行向量,

得出2b-2=2(3b-5),2a+4=6a.

由以上两个式子，得出b=2,a=1. 事实上, 还可以用别的办法求a,b. B 的行列式为0,A 的行列式也为0,

|A|=2(4b-2a-6)=0,可以得出2b-a-3=0； |B|=b+a-3=0,可以得出b+a-3=0, 上述两个等式解得b=2,a=1.

例6 有一组n 维向量 α1, α2, …, αs , 秩r(α1, α2, …, αs , β)=r(α1, α2, …, αs )=k,而又已知

r(α1, α2, …, αs , β, γ)=k+1,求r(α1, α2, …, αs , β- γ).

分析: 由于r(α1, α2, …, αs ,)=k,因此r(α1, α2, …, αs , β- γ) 为k 或k+1.

当β- γ可以被α1, α2, …, αs , 线性表示时,r(α1, α2, …, αs , β- γ)=k; 否则r(α1, α2, …, αs , β- γ)=k+1.

由于r(α1, α2, …, αs , β)=r(α1, α2, …, αs ,)=k,因此β可以被α1, α2, …, αs 线性表示; 而r(α1, α2, …, αs , β, γ)=k+1,因此 γ不可以被α1, α2, …, αs 线性表示. 因此β- γ不可以被α1, α2, …, αs 线性表示. 所求答案是k+1.

例7 设α1=(2,1,2,3),α2=(-1,1,5,3), α3=(0,-1,-4,-3), α4=(1,0,-2,-1), α5 =(1,2,9,8).

(1) 求 r(α1, α2, α3, α4, α5).

(2)找α1, α2, α3, α4, α5的一个极大无关组, 并且把其余向量用此极大无关组线性表示． 分析:基础是用初等行变换

(α1

α2α3α4

⎛2 1α5)=

2 3⎝

-11530100

0-1-4-3-1/3-2/300

10-2-10010

1⎫⎪2⎪ ⎪9⎪8⎪⎭5/3⎫⎪1/3⎪

⎪-2⎪0⎪⎭

⎛1

−初等行变换−−−→

0 0⎝

台角所对应的列号是1,2,4, 因此r(α1, α2, α3, α4, α5)=3,α1, α2, α4是一个极大线性无关组.

我们把简单阶梯形矩阵的列向量记为 γ1, γ2, γ3, γ4, γ5, 则α1, α2, α3, α4, α5与 γ1, γ2, γ3, γ4, γ5有相同的线性关系.

显然, γ3=(-1/3) γ1-(2/3) γ2, γ5 =(5/3) γ1+(1/3) γ2-2 γ4 于是, α3=(-1/3)α1-(2/3)α2, α5 =(5/3)α1+(1/3)α2-2α4

例8 对于上题中的向量组,( B )是它的极大无关组．

(A) α1, α2. (B) α2, α3, α4. (C) α2, α3, α4, α5 . (D) α1, α2, α3.

例10 设α1 =(1，0，2，3) ，α2=(1，1，3，5) ，α3=(1，-1，a+2，1) ，α4=(1，2，4，a+8)，

β=(1,1,b+3,5)．

（1）a ，b 为何值时，β不可用α1，α2，α3，α4线性表示？ （2）a ，b 为何值时，β可用α1，α2，α3，α4唯一线性表示？

（3）a ，b 为何值时，β可用α1，α2，α3，α4线性表示, 并且表示方式不唯一? 分析:做法与上题一样, 我们要求出r(α1，α2，α3，α4) 和r(α1，α2，α3，α4, β). 若r(α1，α2，α3，α4) ≠r(α1，α2，α3，α4, β), β不可用α1，α2，α3，α4线性表示; 若r(α1，α2，α3，α4)=r(α1，α2，α3，α4, β)=4, β可用α1，α2，α3，α4唯一线性表示; 若r(α1，α2，α3，α4)=r(α1，α2，α3，α4, β)

下面我们求矩阵的秩.

⎛1 0

(α1, α2, α3, α4, β)=

2 3⎝

11351-1a +21124a +8

1⎫⎛11

⎪ 1⎪ 01

→ b +3⎪00

⎪

005⎪⎭⎝

1

-1a +10120a +1

1⎫⎪1⎪ b ⎪⎪0⎪⎭

用这个阶梯形矩阵我们可以进行讨论:

(1)a+1=0,b≠0时，β不可用α1，α2，α3，α4线性表示; (2)a≠-1, 即a+1≠0时, r(α1，α2，α3，α4)=r(α1，α2，α3，α4, β)=4,, β 可用α1，α2，α3，α4唯一线性表示;

(3)a=-1,b=0时, r(α1，α2，α3，α4)=r(α1，α2，α3，α4, β)

例11 给定向量组(Ⅰ) α1=(1,0,2)，α2=(1,1,3)，α3=(1,-1,a+2)和(Ⅱ) β1=(1,2, a+3)，

β2=( 2,1 ,a+6)，β3=(2,1,a+4)．当a 为何值时(Ⅰ) 和(Ⅱ) 等价? a 为何值时(Ⅰ) 和(Ⅱ) 不等价?(03四)

分析：首先考虑到两个向量组等价反映到秩上是什么.

r(α1，α2，α3, β1, β2, β3)=r(α1，α2，α3)=r(β1, β2, β3) 因此我们要求这些向量组的秩.

(α1

α2α3β1β2

122⎛111⎫

⎪

211β3)= 01-1⎪

23a +2a +3a +6a +4⎪⎝⎭

122⎫⎛111

⎪

211⎪ → 01-1

00a +1a -1a +1a -1⎪⎝⎭

若a+1=0,r(α1，α2，α3)=2,此时a-1≠0, r(α1，α2，α3, β1, β2, β3)=3,因此不是等价的; 若a+1≠0, r(α1，α2，α3, β1, β2, β3)= r(α1，α2，α3)=3,通过初等行变换, 可以求出(Ⅱ) 的秩为3, 故而向量组(Ⅰ) 和(Ⅱ) 等价.

例12 求常数a, 使得向量组α1=(1,1,a),α2=(1,a,1),α3=(a,1,1)可由向量组β1=(1,1,a),

β2=(-2,a,4),β3=(-2,a,a)线性表示, 但是β1, β2, β3不可用α1, α2, α3线性表示. 分析:把此要求用秩表示出来.

α1, α2, α3可用β1, β2, β3线性表示, 则r(α1, α2, α3, β1, β2, β3)=r(β1, β2, β3), β1, β2, β3不可用α1, α2, α3线性表示, 则r(α1, α2, α3, β1, β2, β3)>r(α1, α2, α3).

我们用两种方法来做. 方法一:与上题方法类似. (α1α2α3β1β2β3)

a 1-2-2⎫⎛11a 1-2-2⎫⎛11

⎪ ⎪

= 1a 11a a ⎪→ 0a -11-a 0a +2a +2⎪

⎪ a 11a 4a ⎪2-a -a 203a +64a +2⎭⎝⎭⎝00

我们记所化成的阶梯形矩阵为C,

2

若2-a-a ≠0, 即a ≠1，a ≠-2，此时r(α1, α2, α3)=3,不可能满足上述关系; a=1时,C 可以继续化简为下面矩阵:

⎛1111-2-2⎫ ⎪000033 ⎪ 00000-3⎪⎝⎭

此时r(α1, α2, α3)=1, r(α1, α2, α3, β1, β2, β3)=3, r(β1, β2, β3)=3.满足要求. a=-2时,C 可以继续化简为下面矩阵:

⎛11-21-2-2⎫ ⎪ 0-33000⎪ 00000-6⎪⎝⎭

容易看出, r(α1, α2, α3)=2, r(β1, β2, β3)=2,不满足要求. 综上,a=1时满足要求. 方法二

为了满足要求, r(α1, α2, α3)

a=-2时, α1=(1,1,-2), α2=(1,-2,1), α3=(-2,1,1), β1=(1,1,-2), β2=(-2,-2,4), β3=(-2,-2,-2),不满足要求.

概念测试题

例13 设向量组Ⅰ:α1, α2, „, αr 可由向量组Ⅱ:β1, β2, „, βs 线性表示, 下列命题正确的是( )

(A)若向量组Ⅰ线性无关, 则r ≤s (B)若向量组Ⅰ线性相关, 则r>s (C)若向量组Ⅱ线性无关, 则r ≤s (D)若向量组Ⅱ线性相关, 则r

正确答案: (A)

本题考查的是对性质" 如果β1, β2, „, βt 可用α1, α2, „, αs 线性表示, 并且t>s,则β1, β2, „, βt 线性相关." 的理解和运用.

例14 α1, α2 , „, αs 线性无关( )．

（A ） 存在全为零的实数k 1,k 2, „,k s ，使得k 1α1+ k2α2+„+ ks αs =0； （B ） 存在不全为零的实数k 1,k 2, „,k s ，使得k 1α1+ k2α2+„+ ks αs ≠0； （C ） 每个αi 都不能用其它向量线性表示； （D ） 有线性无关的部分组．

正确答案：（C ）

例15 设A是4⨯5矩阵, α1 , α2 , α3, α4, α5是A的列向量组，r(α1 , α2 , α3, α4, α5)=3，则( )

正确。

（A ） A的任何3个行向量都线性无关；

（B ） α1 , α2 , α3, α4, α5的含有3个向量的线性无关部分组一定是它的极大无关组； (C） A的3阶子式都不为0.

（D ） α1 , α2 , α3, α4, α5的线性相关的部分组含有向量个数一定大于3． 正确答案：（B ）

例16 α1, α2, α3线性无关, β可由α1, α2, α3线性表示, γ不能由α1, α2, α3线性表示, 则下列结论不

正确的是

(A) α1, α2, α3, γ线性无关. (B) α1, α2, α3, β, γ线性相关. (C) α1, α2, α3, β-γ线性相关. (D) α1, α2, α3, β+γ线性无关. 正确答案: (C)

例17 设α1, α2, α3, α4都是n 维向量. 判断下列命题是否成立.

① 如果α1, α2, α3线性无关, α4不能用α1, α2, α3线性表示, 则α1, α2, α3, α4线性无关. ② 如果α1, α2线性无关, α3, α4都不能用α1, α2线性表示, 则α1, α2, α3, α4线性无关. ③ 如果存在n 阶矩阵A , 使得A α1, A α2, A α3, A α4线性无关, 则α1, α2, α3, α4线性无关.

④ 如果α1=A β1, α2=A β2, α3=A β3, α4=A β4, 其中A 可逆, β1, β2, β3, β4线性无关, 则α1, α2, α3, α4线性无关.

其中成立的为 ① ③ ④ .

例18 设n 维向量组α1, α2 , „, αs 的秩等于r ，则( )不正确．

(A) 如果r=n,则任何n 维向量β都可用α1 , α2 , „, αs 线性表示. (B) 如果任何n 维向量都可用α1 , α2 , „, αs 线性表示, 则r=n.

(C) 如果r=s,则任何n 维向量都可用α1 , α2 , „, αs 唯一线性表示. (D) 如果r

例19 设α1, α2, …, αs 和β1, β2, …, βs 都是n 维向量, 数组k 1, k2, …, ks 和,p 1,p 2, …,p s 都不全为0, 使得(k1+p1) α1+(k2+p2) α2+…+(ks +ps ) αs +(k1-p 1) β1+(k2-p 2) β2+…+(ks -p s ) βs =0,则( ) (A) α1, α2, …, αs 和β1, β2, …, βs 都线性相关. (B) α1, α2, …, αs 和β1, β2, …, βs 都线性无关.

(C) α1+β1, α2+β2, …, αs +βs , α1-β1, α2-β2, …, αs -βs 线性无关. (D) α1+β1, α2+β2, …, αs +βs , α1-β1, α2-β2, …, αs -βs 线性相关. 正确答案：(D)

例20 设A 是m ×n 矩阵，B 是n ×m 矩阵，且AB=E,其中E 为m 阶单位矩阵，则（ ）

(A) r(A)=r(B)=m (B) r(A)=m r(B)=n (C) r(A)=n r(B)=m (D) r(A)=r(B)=n

分析：要求r(A)和r(B)，我们只要用到两个事实：1）m=r(AB)≤r(A)，m=r(AB)≤r(B)；2）一个矩阵的秩不能大于它的行数与列数，故而r(A)≤m ，r(B)≤m 。因此r(A)=r(B)=m，正确答案是A 。

例22 设α1, α2, …, αs 是n 维列向量,A 是m ×n 矩阵, 下列正确的是( )

(A)若α1, α2, …, αs 线性相关, 则A α1, Aα2, „, Aαs 线性相关.

(B)若α1, α2, …, αs 线性相关, 则A α1, Aα2, „, Aαs 线性无关.

(C)若α1, α2, …, αs 线性无关, 则A α1, Aα2, „, Aαs 线性相关.

(D)若α1, α2, …, αs 线性无关, 则A α1, Aα2, „, Aαs 线性无关.

正确答案: (A)

例23 设A,B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵, 则必有( )

(A) A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关

(B) A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关

(C) A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关

(D) A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关

分析: 由AB=0,易得r(A)+r(B)≤n,n 为A 的列数, 也是B 的行数.

又因为A 和B 都不是零矩阵, 因此r(A)>0,r(B)>0.

综上, 得r(A)

r(A)

r(B)

例24 设 α1，α2，α3 线性无关，则( )线性相关：

(A) α1-α2，α2-α3，α3-α1；

(B)α1+α2，α2+α3， α3+α1；

(C) α1-2α2，α2-2α3，α3-2α1；

(D) α1+2α2， α2+2α3，α3+2α1．

正确答案: (A)

例25 设 α1，α2，α3 线性无关，则( )线性无关.

(A) α1+α2，α2+α3，α3-α1；

(B) α1+α2，α2+α3， α1+2α2+α3；

(C) α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1；

(D) α1+α2+α3，2α1-3α2+22α3，3α1+5α2-5α3 ．

正确答案: (C)

补充:C矩阵法

有一组n 维向量α1, α2, „, αs 它们是线性无关的, 另有一组n 维向量β1, β2, „, βs 是α1, α2, „, αs 的线性组合, 判断β1, β2, „, βs 是否线性相关的方法如下.

把β1, β2, „, βs 作为列向量构造矩阵B, 把α1, α2, „, αs 作为列向量构造矩阵A, 由于β1, β2, „, βs 可以被α1, α2, „, αs 线性表示, 因此存在表示矩阵C, 使B=AC,|C|≠0是β1, β2, „, βs 线性无关的充分必要条件.

证明题

考题里, 经常用到的判断向量组线性无关的思路有:

(1)向量组的秩. 要判断向量组线性无关, 就判断向量组的秩等于向量个数.

(2)定义法.

(3)扩大法.

例26 已知 α1, α2都是3阶矩阵A 的特征向量, 特征值分别为-1和1, 又3维向量 α3满足

A α3= α2+α3.

证明α1, α2, α3线性无关.

定义法:设

c 1α1+c2α2+c3α3=0,①

用A 乘①, 得到

-c 1α1+c2α2+c3α2+c3α3=0,②

②-①得到

c3α2- 2c1α1 =0,③

用A 乘③, 得到

c3α2+2c1α1=0,④

比较③和④, 得c 3α2 =0 c1α1=0,

因为α1≠0, 得c 1=0. 因为α2≠0, 得c 3=0. 代入①得c 2=0.

扩大法:

根据特征向量的性质，α1, α2线性无关, 因为一组特征向量, 若它们所对应的特征值两两不同, 那么, 这组特征向量是线性无关的. 这样我们要说明α1, α2, α3线性无关, 只要说明α3不能被α1, α2线性表示

就可以. 我们用反证法来做.

假设α3能被α1, α2线性表示, α3=c1α1+c2α2, ①

我们用A 左乘上述等式的两边，得α2+α3=-c1α1+c2α2. ②

②-①得到 α2=-2c1α1. 说明α1, α2线性相关, 与前面所说的特征向量的性质矛盾.

说明α3能被α1, α2线性表示是错误的, 因此α1, α2, α3线性无关.

例27 设n 维向量组α1 , α2 , „, α t 是AX =0的一组线性无关的解，n 维向量β不是AX =0的

解．证明β , β+α1，β+α2，„，β+αt 线性无关．

我们用两种方法证明.

定义法:

设c 0β+c1(β+α1 )+c2(β+α2)+„+ct (β+α t )=0①, 我们要说明c 0=c1=„=ct =0.

我们把①式改写, 得到 c1α1 +c2α2+„+ct α t =-(c0+c1+c2+„+ct ) β ②.

由条件我们可以得出-(c0+c1+c2+„+ct )=0,因为如果不等于0的话, β可以被α1 , α2, „, α t 线性表示, 而这是不可能的.(因为α1 , α2, „, α t 是AX=0的一组线性无关的解, 它们的线性组合也要是方程组的解, 而β不是AX=0的解.)

综上, (c0+c1+c2+„+ct )=0.

又由于α1 , α2, „, α t 线性无关, 等式②的右边为0, 因此易得出c 1=„=ct =0,故而c 0=-(c1+„+ct )=0.

即证出了向量组的线性无关性.

扩大法:

因为α1 , α2 , „, α t 是AX=0的一组线性无关的解, β不可以被α1 , α2 , „, α t 线性表示, 所以β, α1 , α2 , „, α t 线性无关.

而我们所要证明的向量组与β, α1 , α2 , „, α t 是等价的, 因此它们的秩相等.

β, α1 , α2 , „, α t 线性无关, 它的秩是t+1;因此要证明的那个向量组的秩也是t+1,故

而所证明的向量组线性无关.

推论:如果有一个n 维向量组α1 , α2 , „, α s , α1≠0, 且i>1时, 每个α i 都不可以被它前面的那些向量线性表示, 那么向量组α1 , α2 , „, α s 线性无关.

k-1例28 设α1是AX =0的一个非零解，αk 是AX =α1的解,k=1,2, „,s. 证明α1 , α2 , „, αs 线

性无关．

本题我们用的思路是上述扩大法的推论.

因为α1是AX =0的一个非零解, 因此α1≠0, 推论的第一个条件满足.

下面我们再说明k>1时, 每个αk 都不可以被它前面的那些向量线性表示.

k-1k-1注意到条件αk 是AX =α1的解, 因此有αk 满足Aαk =α1≠0.

k-1k-1k-l l-1k-1但是l

k-1l 取1,2, „,k-1时, α1是AX =0的解, 而αk 不是, 所以αk 不可以被它前面的那些向量线

性表示.

满足了推论条件的第二个部分.

综合上述条件, 运用推论, 我们得出α1 , α2 , „, αs 线性无关．

k k-1例29 设A 为n 阶矩阵, α为n 维列向量. 正整数k 使得A α=0, 但是A α≠0, 证明α, Aα, „,

A k-1α线性无关.

k-1定义法: 设c 0α+c1 Aα+„+ck-1 Aα=0 ①,

k-1k-1k-1我们用A 乘以①的两端, 得到c 0A α=0,由于A α≠0, 因此c 0=0.

k-1因此①式变为c 1A α+„+ck-1A α=0②,

k-2k-1k-1我们用A 乘以②的两端, 得到c 1A α=0,由于A α≠0, 因此c 1=0.

逐个做下去, 我们可以得出c 0=c1=„=ck-1=0 .

便证明了向量组的线性无关性.

k-1反证法(严谨):设c 0α+c1 Aα+„+ck-1 Aα=0 ①,

如果c i （i=0,1,„,k-1）不全为0, 我们可以推出矛盾.

我们假设c i 是第一个不为0的系数,

i k-1这样①式变为c i A α+„+ck-1A α=0②,

k-i-1k-1k-1我们用A 乘以②的两端, 得到c i A α=0,由于A α≠0, 因此c i =0.

但是我们已经假设c i 是第一个不为0的系数, 矛盾.

本题还可以用刚才的推论来做, 但是要反过来看.

i 首先最后一个向量不为0, 然后证明每个A α不能被它后面的向量线性表示.

例30设α1，α2，„， αt 线性无关， βi =αi +αi+1(i=1,2,„,t-1) ，βt =αt +α1，判断β1 , β2 , „, βt

是否线性无关？

分析:用C 矩阵法, 要判断β1 , β2 , „, βt 的线性相关性, 只要求出它对向量组α1，α2，„， αt

的表示矩阵.

根据题中所给的表示式, 容易写出表示矩阵C.

⎛1 1

C = 0 0⎝1⎫⎪1 00⎪1 00⎪ ⎪ ⎪0 11⎪⎭0 0

β1 , β2 , „, βt 的是否线性相关, 就看|C|是否为0.

|C|很容易计算, 只要对第一行展开即可,

1+t|C|=A11+A1t =M11+(-1)M 1t

若t 是奇数,|C|=2,β1 , β2 , „, βt 线性无关;

若t 是偶数,|C|=0,β1 , β2 , „, βt 线性相关.

T 例31 设A 是m ⨯n 矩阵，证明r(A )=1⇔存在m 维非零列向量α=(a1,a 2, „，a m ) 和n 维非零

T T列向量β=(b1,b 2, „,b n ) ，使得A=αβ.

证明: 先证明充分性.

T因为A=αβ, 所以r(A ) ≤r(α)=1,r(A ) ≤r(β)=1.

又因为α和β都不是零向量, 所以A 不是零矩阵, 于是r(A )>0.

综上，r(A )=1.

再证必要性.

把A 用它的列向量组表示出来, 写成A =(α1, α2, „, αn ),

因为r(A )=1,因此A 的列向量不能全是0, 任取它的一个非零列向量作为α, 则α构成了列向量组的一个极大线性无关组. 故而任何一个αi 都可以被α线性表示, 记为αi =bi α (i=1,2,...,n). 根据乘法，可以写成A =α(b1,b 2, „,b n ) ，

T T我们记β=(b1,b 2, „,b n ) ，则有A=αβ.

T T例32设α, β 都是3维列向量, A=αα+ββ. 证明

(1) r(A ) ≤2.

(2) 如果α, β线性相关, 则r(A )

方法一:利用矩阵的秩的性质r(A +B ) ≤r(A )+r(B ).

T T根据这个性质, 有 r(A ) ≤ r(αα)+r(ββ) ≤ 1+1=2

如果α, β线性相关, 不妨设β=cα,

T2T T TT 2T 2T 于是ββ=cαα, A =αα+ββ=αα+cαα=(1+c) αα.

2T 由于1+c≠0,r(A )= r(αα)

T T T 方法二:设α=(a1,a 2,a 3) , β=(b1,b 2,b 3) , 则αα =α (a1,a 2,a 3)=(a1α,a 2α,a 3α),

β β T =β(b1,b 2,b 3)=(b1β ,b 2β ,b 3β ), A =(a1α+b1β ,a 2α+b2β ,a 3α+b3β ).

用矩阵分解, 可以得到

A =(α⎛a 1a 2a 3⎫β) b b b ⎪⎪ ⎝123⎭

显然,r(A ) ≤r(α, β) ≤2, 当α与β线性相关时,r(A )

下面我们来证明: r(A +B ) ≤r(A )+r(B ).

我们用矩阵里的最后一个性质:r ⎪⎪≤r (A ) +r (B ) ⎛A ⎫

⎝B ⎭

⎛A ⎫⎛A +B ⎫ B ⎪⎪ B ⎪⎪→ ⎝⎭⎝⎭

⎛A +B ⎫⎛A ⎫r (A +B ) ≤r B ⎪⎪=r B ⎪⎪≤r (A ) +r (B ) ⎝⎭⎝⎭

例34 设α1 , α2 , „, α r 和β1 , β2 , „, β s 是两个线性无关的n 维向量组．证明：向量组

{α1 , α2 , „, α r ；β1 , β2 , „, β s }线性相关的充分必要条件为:存在n 维非零向量γ，它既可用α1 , α2 , „, α r 表示，又可用β1 , β2 , „, β s表示． 证明: 先证必要性.

如果向量组{α1 , α2 , „, α r , β1 , β2 , „, β s }线性相关, 则存在不全为0的一组系数c 1, „,c r ,k 1, „,k s 使得c 1α1 +c2α2+„+cr α r +k1β1+k2β2+„+ks β s=0 我们记γ=c1α1 +c2α2+„+cr α r , 则γ=-(k1β1+k2β2+„+ks β s).

同时γ不能是零向量.

再证充分性.

若存在非零向量γ=p1α1 +p2α2+„+pr α r =q1β1+q2β2+„+qs β s,

因为γ≠0, 所以p 1,p 2, „,p r 不全为0,q 1,q 2, „,q s 不全为0.

且p 1α1 +p2α2+„+pr α r -(q1β1+q2β2+„+qs β s)=0.

按照定义, 向量组线性相关.

例35 (1) 设 α1, α2, α3是线性无关的4维向量组，β1, β2 也都是4维向量, 证明:存在不全为0

的c 1,c 2, 使得c 1β1+c2β2可以用α1, α2, α3线性表示.

(2) 设 4维向量组α1 , α2 , „, α t 的秩=3，β1, β2 也都是4维向量, 证明存在不全为0的c 1,c 2, 使得c 1β1+c2β2可以用 α1, α2, „, α t 线性表示.

证明:(1)题中有5个四维向量α1, α2, α3, β1, β2 ,因此它们是线性相关的. 因此存在不全为0

的c 1,c 2,c 3, c4,c 5, 使得c 1β1+c2β2+c3α1+c4α2+c5α3=0.

并且易证出c 1,c 2不全为0.

c 1β1+c2β2=-(c3α1+c4α2+c5α3), 证明了题目的要求.

(2)方法一：运用上面的结论. 由于4维向量组α1 , α2 , „, α t 的秩是3, 我们可以取它的

极大线性无关组, 不妨设为αι1, αι2, αι3, 那么根据(1)的结果, 存在不全为0的c 1,c 2, 使得c 1β1+c2β2可以用αι1, αι2, αι3线性表示. 由于αι1, αι2, αι3是向量组α1 , α2 , „, α t 的部分组, 因此c 1β1+c2β2可以用α1 , α2 , „, α t 线性表示.

方法二:用秩来看.

先来看r α1 , α2 , „, α t , β1) 的值.

若r(α1 , α2 , „, α t , β1)=3,那么β1可以被α1 , α2 , „, α t 线性表示, 此时取c 1=1,c2=0,则有c 1β1+c2β2可以用α1 , α2 , „, α t 线性表示.

若r(α1 , α2 , „, α t , β1)=4,则任何的4维向量都可以用α1 , α2 , „, α t , β1线性表示, 于是β2=k1α1+„+kt α t +kt+1β1,

我们取c 1=-kt+1,c 2=1,可以得到c 1β1+c2β2可以用α1 , α2 , „, α t 线性表示.