信号检测理论第一章

信号检测理论

信号检测理论

绪论

《信号检测理论》是多门课程的一个集成，其基础知识包括：

参考教材

信号分析与处理 徐科军 清华大学出版社 信号检测理论 信号检测理论

统计信号处理基础 Steven M.Kay 电子工业出版社

信号检测与估计 景占荣 化学工业出版社

1

傅里叶变换的演进

Fourier 变换：一首描述自然界的诗

傅 里 叶

1807，研究 太阳黑子等 活动周期

傅里叶变换 的离散形式

1965，库利、 图基，基2快 速傅里叶变 换

各类快速算 法，分裂基、 Winograd算 法等

FFT West,一 套以C语言为 基础的FFT计 算软件包

傅里叶变换

拉格朗日

拉普拉斯

让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶

考试方式

成绩 = 考试(70%)+平时(30%) 考试类型： 笔试，闭卷 填空、问答、计算 考试只是手段，并非目的。

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2

第一章 信号检测理论基础

信号检测理论

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提纲

1.1 信号的定义 1.2 信号的类型 1.3 信号的相关 1.4 信号通过线性系统

1.1 信号的定义

信号检测理论

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3

1.1 信号的定义

所谓信息，是指人类社会和自然界中需要传递、 交换、存储和提取的抽象内容。因而，人们称 表示信息的语言、文字、图像或数据等为消息； 而运载消息的声、光、电等物理量被称为信号。 所以，信息是信号的具体内容，信号则是信息 的一种物理表现形式，它反映了物理系统的状 态和特性，是信息的函数。

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1.1 信号的定义

广义的说，任何带有信息的事物，如振动、光 强、温度、压力、电压、电流乃至语音、图像 等各种物理量，均可称为信号。描述信号的基 本方法是其对应的数学表达式。表达式是时间 的函数，此时间函数的图形便是信号的波形。 不同波形的信号具有不同的特点，因而在不同 的研究领域和场合，对信号也就有着不同的分 类。

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1.2 信号的类型

• A. 连续信号

– 自变量（时间）的整个连续区间内都有定义的信号； – 例如：指数信号、矩形脉冲信号等。 – 连续信号与模拟信号的区别（时间与幅度）。

f(t) 1

f (t ) 1

1.2 信号的类型

• A. 离散信号

– 离散时间上的信号序列； – 可以通过对连续信号的采样获得。 – 例如：股票每天的点数等。

2

(a)

0

3

t

−3π −2π −π 0 (b) π 2π 3π t

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4

1.2 信号的类型

• B. 确定信号

– 任意时刻的信号取值都是确定的信号； – 可以用明确的数学表达式表示的信号。 – 例如：指数信号、矩形脉冲信号等。

s1 ( t ) s 2 (t )

1.2 信号的类型

• B. 随机信号

– 给定某一时刻，无法确定该时刻信号的取值； – 无法用

确定函数表示的信号，但信号有一定的统计规 律。换言之，带有信息的信号都是随机的。 – 例如：语音信号、图像信号、电路噪声、地震波等。

s3 (t )

O

O

t

t

O

t

你 信号检测理论 信号检测理论

好

1.2 信号的类型

• C. 能量信号

– 将信号x(t)看作是作用在单位电阻上的电流，在 所分析的时间区间-T≤t≤T内，其消耗的能量

1.2信号的类型

• C. 功率信号

– 信号的平均功率定义为

W  lim  x 2 (t )dt

T  T

T

G  lim

T 

1 2T



T

T

x 2 (t )dt

– 若能量W为有限值，即 0

– 若信号x(t)的能量趋于无穷，而信号的功率G （或平均功率）是不为零的有限值，即 0

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1.2 信号的类型

• 一般的有限长非周期的绝对可积信号一定是能量 信号。 • 一个幅值有限的周期信号或随机信号其能量是无 限的，但是只要功率有限，该信号就是功率信号。 … … …

能量信号 功率信号 信号检测理论

1.2信号的类型

• D. 周期信号

– 按一定时间间隔周而复始，且无始无终的信号

x(t )  x(t  nT )

nZ

– 满足上式的最小T称为信号x(t)的周期 … … …

信号检测理论

1.2 信号的类型

• D. 非周期信号

– 在时间上既非周而复始又不是无始无终的信号 – 非周期信号又被称为脉冲信号或有限长信号.

1.2 信号的类型

• E. 奇异信号

– 信号本身具有不连续点，或其导数与积分有不 连续点，这种信号称之为奇异信号。 – 冲击信号和阶跃信号就是两种最常用的奇异信 号. …

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1.3 信号的相关分析

• 1.3.1 相关定义(definition)

1.3 信号的相关分析

x(t)与y(t)的波型很近 似，只不过前者相对 后者延迟了一段时间τ x(t) = y(t+T) y(t) = x(t　T)

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1.3 信号的相关分析

推广与联想： 傅立叶变换与相关

1.3 信号的相关分析

相关的性质

它衡量了信号x(t)与核函数 ejఠ௧ 之间的相似程度 对于拉普拉斯 变换，小波变换等各类变换而言， 他们均是分析被测函数与核函数(族)的相似程度， 并将其表示成为核函数的线性组合。

信号检测理论 信号检测理论

X ( )   x(t )e jt dt  x(t ), e jt 





7

1.3 信号的相关分析

对实信号x(t)，由上面关于互相关的物理解释, 不难量解当时差　= 0时，自相关取得最大值，即

rxx (0)  rxx ( )

1.3 信号的相关分析

对于两个周期为T0的 实信号x(t)与y(t) ，它们 的互相关定义为：

rxx (  )  rxx ( )

显然，互相关函数也是周期的且其周期为T0

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信

号检测理论

1.3 信号的相关分析

• 1.3.2 相关定理(Parserval 定理)

假定函数x(t)和y(t)的傅里叶变为X (ω)和Y(ω)， 根据傅里叶变换的定义可得：Parserval 定理：

 

1.3 信号的相关分析

将Parserval 定理与自相关的定义相结合：

rxx ( )   1 * j  X ( ) X ( )e d 2π  1 2 j  X ( ) e d 2π 

 





x (t ) y* (t )dt 

1 *  X ( )Y ( )d 2 π 

它意味着自相关函数 rxx ( ) 与 里叶变换对。

X ( )

2

是一个傅

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1.3 信号的相关分析

令τ=0，则存在Plancheral等式



1.4 信号通过线性系统

rxx (0) 





X (t ) dt 

2

1 2  X ( ) d 2π 

y (t )  x(t ) * h(t )   x(k )h(t  k )dk

 



它说明 X ( ) 2 描述了信号能量在频域内的分布。

线性非时变（模拟）系统的数学描述

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1.4 信号通过线性系统

R x(t) C y(t)

相应 令

1.4 信号通过线性系统

1 R=0.5 R=0.1 R=0.3 0.8

|H( )| Amplitude

0.6 0.4

0.2

RC滤波电路

y (t )  Y ( s ) dy  sY ( s ) dt 2 d y  s 2Y ( s ) dt 2

0

0

2

4

 (Hz)

6

8

10

et 

1 s 1

H ( )   arctan( RC )

对传递函数H(s)做拉普拉斯反变 换可得到系统的冲激响应函数h(t)

H (s)  Y ( s) 1 1 ( LP )1 e    h(t )  X ( s ) RCS  1 RC

t  RC

H(ω)的低通特性，说明RC滤 波电路的本质：限制高频通过 低频。而h(t)是一个指数衰减

t 1 k 1 e  k ks  1

,t  0

函数，则说明了电容器的充放 电过程。

常用LP变换对应关系

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1.4 信号通过线性系统

1.4 信号通过线性系统

线性常系统差分方程的一般形式为：

a0 y (n)  a1 y (n  1)    aN y (n  N )  b0 x(n)  b1 x( n  1)    bM x(n  M )

k 0

 ak y (n  k )   br x(n  r )

r 0

N

M

(1.13)

由差分方程描述的系统称为数字滤波器。 (1.13)式中，若

y ( n)  x ( n) * h ( n) 

k 

则可写为：

M

 x ( k ) h( n  k )



y ( n)   h( r ) x( n  r ), h( r ) 

r 0

线性非时变（离散）系统的数学描述

br a0

(1.14)

n时刻的输出y(n) 实际上是当前时刻的输入x(n) 及过去M 个时刻的输 入x(n1), x(n  2),, x(n  M)的加权平均. h(r)是数字滤波器的冲激响应,且只有有限个非零值，故称为FIR滤波器。 信号检测理论 信号检测理论

1.4 信号通过线性系统

则为IIR滤波器，此时(1.14)可写为 IIR 滤波器存在反馈

1.4 信号通过线性系统

例 算术平均器。 设FIR滤波器的冲激响应为h(r)，考察其传递函数和频谱响应。

h(r )  1 ,0  r  N  1 N

(1.17)

n时刻的输出y(n)，除与当前输入x(n)

及过去M个时刻的输入x(nr), r=1,2,...,M有关外，还与过去N 个时刻的输出y(n  k),k=1,2,...,N 有关。 传递函数 (1.16) 易得

y ( n) 

1 N 1  x (n  r ) N r 0

(1.18)

输出是将n时刻及以前(n-1)个时刻的输入的算术平均。 传递函数

1 N 1  r 1 1  z  N z  . N r 0 N 1  z 1

除Z=0外，FIR滤波器没有其他极点，故FIR滤波器又被称为全 零点滤波器。 信号检测理论 信号检测理论

H ( z) 

(1.19)

10

1.4 信号通过线性系统

H(z)的零点：

1  z  N  0  z  N  1  e jk 2 π  z  e

j 2π k N

1.4 信号通过线性系统

令z=ejω可得，系统的频率响应： (1.17)

H ( z)  1 1 zN N 1  z 1 1 1  e  jN  1 e 2 e 2  e 2  1 1 j   j  N 1  e  j N  j1 e 2 e 2 e 2 N sin(  ) 2 sin(

N j  N j  N j 

, k  0,1, 2, , N  1

H(z)的极点：

1  z 1  0  z  1  e j0

所以

y ( n)  1 N 1  x (n  r ) N r 0

H (e j )  H ( z ) |z e j 

(1.17)

(1.18) 所以



e

j

N 1  2

N



2

位于z=1处的零极点抵消。 最终，H(z)的零点：

)

| H (e j ) |

j 2π k N

ze

信号检测理论

, k  1, 2,  , N  1

k0

N sin(  ) 1 2 | | N sin(  ) 2

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1.4 信号通过线性系统

不难看出，

2π | H (e j ) | =0   k , k  1, 2, 处， N

1.4 信号通过线性系统

例 一阶IIR滤波器。

y ( n)  ay ( n  1)  x (n) y ( n)  ay (n  1)  x(n)

 =0时，依据极限定理

 0

1

传递函数

0.8 0.6

lim | H (e j ) | N sin(  ) 1 2 |  lim |  0 N  sin( ) 2 N N cos(  ) 1 2  lim | 2 | 1  0 N 1  cos( ) 2 2

Amplitude

1 1 H ( z)   1  az 1 z  a

x(n)

+

Σ + z-1 a y(n-1)

y(n)

0.4

系统冲激响应

X: 0.4054 Y: 0.03125

0.2

h( n)  a n u ( n)

1.5 2 Frequency (Rad) 2.5 3 3.5

(| z || a |) (| z || a |)

0

0

0.5

1

h(n)  a nu ( n  1)

| H (e j ) | 呈现低通特性，其主瓣宽度为2π/N

有反馈，用存储单元存储以前的输出。 信号检测理论

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