第八章期权价值评估
第八章 期权价值评估
第一节 期权的概念、类型和投资策略
一、期权的概念 1.含义
期权是指一种合约,该合约赋予持有人在某一特定日期或该日之前的任何时间以固定价格购进或售出一种资产的权利。
2.要点
二、期权的类型
(二)期权的到期日价值(执行净收入)和净损益 三个要点
多头和空头彼此是零和博弈
多头:净损失有限(最大值为期权价格),而净收益却潜力巨大。 空头:净收益有限(最大值为期权价格),而净损失不确定
2.看跌期权
【教材例8-3】投资人持有执行价格为100元的看跌期权。
总结
①若市价小于执行价格,多头与空头价值:金额的绝对值相等,符号相反; ②若市价大于执行价格,多头与空头价值:均为0。
多头:净损失有限(最大值为期权价格),净收益不确定;最大值为执行价格-期权价格。 空头:净收益有限(最大值为期权价格),净损失不确定;最大值为执行价格-期权价格。
看涨、看跌期权总结
(1)多头和空头彼此是零和博弈:即“空头期权到期日价值=-多头期权到期日价值”;“空头期权净损益=-多头期权净损益” (2)多头是期权的购买者,其净损失有限(最大值为期权价格);空头是期权的出售者,收取期权费,成为或有负债的持有人,负债的金额不确定。
三、期权的投资策略(2015年计算题、2014年单选题、2012年单选题、2010年单选题、2014年多选题
)
(一)保护性看跌期权 1.含义
股票加多头看跌期权组合,是指购买1股股票,同时购入该股票的1股看跌期权。
2.图示
3.组合净损益
组合净损益=到期日的组合净收入-初始投资
(1)股价执行价格:股票售价-(股票初始投资买价+期权购买价格)
4.特征
锁定了最低净收入和最低净损益。但是,同时净损益的预期也因此降低了。
【例题•计算题】某投资人购入1份ABC公司的股票,购入时价格为40元;同时购入该股票的1份看跌期权,执行价格为40元,期权费2元,一年后到期。该投资人预测一年后股票市价变动情况如下表所示:
(二)抛补性看涨期权 1.含义
股票加空头看涨期权组合,是指购买1股股票,同时出售该股票1股看涨期权。
2.图示
3.组合净损益
组合净损益=到期日组合净收入-初始投资
(1)股价执行价格:执行价格+期权(出售)价格-股票初始投资买价
【教材例8-6】依前例数据,购入1股ABC公司的股票,同时出售该股票的1股的看涨期权,期权价格C=5元,执行价格X=100元,1年后到期。在不同股票市场价格下的净收入和净损益,如表8-2所示。
4.结论
抛补看涨期权组合锁定了最高净收入,最多是执行价格。 (三)对敲 1.多头对敲 (1)含义
多头对敲是指同时买进一只股票的看涨期权和看跌期权,它们的执行价格、到期日都相同。
(2)图示
(3)适用范围
多头对敲策略对于预计市场价格将发生剧烈变动,但是不知道升高还是降低的投资者非常有用。
(4)组合净损益
组合净损益=到期日组合净收入-初始投资 ①股价执行价格:(股票售价-执行价格)-两种期权(购买)价格
(5)结论
多头对敲的最坏结果是到期股价与执行价格一致,白白损失了看涨期权和看跌期权的购买成本。股价偏离执行价格的差额必须超过期权购买成本,才能给投资者带来净收益。 【提示】
多头对敲锁定最低净收入(0)和最低净损益[-(P+C)] 2.空头对敲
(1)含义
是同时出售一只股票的看涨期权和看跌期权,它们的执行价格、到期日都相同。
(2)图示
(3)适用范围
空头对敲策略对于预计市场价格相对比较稳定,股价与执行价格相比没有变化时。 (4)组合净损益
组合净损益=到期日组合净收入-初始投资
①股价执行价格:-(股票售价-执行价格)+两种期权(购买)价格 (5)结论
空头对敲的坏的结果是到期股价与执行价格不一致,无论股价上涨或下跌投资者都会遭受较大的损失;最好的结果是到期股价与执行价格一致,投资者白白赚取出售看涨期权和看跌期权的收入。
【提示】股价偏离执行价格的差额只要不超过期权价格,就能给投资者带来净收益。 【例题•单选题】下列关于期权投资策略的表述中,正确的是( )。(2010年) A.保护性看跌期权可以锁定最低净收入和最低净损益,但不改变净损益的预期值
B.抛补看涨期权可以锁定最低净收入和最低净损益,是机构投资者常用的投资策略 C.多头对敲组合策略可以锁定最低净收入和最低净损益,其最坏的结果是损失期权的购买成本
D.空头对敲组合策略可以锁定最低净收入和最低净损益,其最低收益是出售期权收取的期权费
【答案】C
【解析】保护性看跌期权可以锁定最低净收入和最低净损益,但净损益的预期也因此降低了,选项A错误;抛补看涨期权可以锁定最高净收入和最高净损益,选项B错误;空头对敲组合策略可以锁定最高净收入和最高净损益,其最高收益是出售期权收取的期权费,选项D错误。
总结
多头由于主动,所以被锁定的是最低的收入和损益; 空头由于被动,所以被锁定的是最高的收入和损益。
第二节 金融期权价值评估
一、金融期权价值的影响因素 (一)期权的内在价值和时间溢价 期权价值=内在价值+时间溢价 1.期权的内在价值
期权的内在价值,是指期权立即执行产生的经济价值。内在价值的大小,取决于期权标的资产的现行市价与期权执行价格的高低。
2.期权的时间溢价
(二)影响期权价值的因素
总结
【例题•多选题】假设其他因素不变,下列各项中会引起欧式看跌期权价值增加的有( )。(2015年)
A.到期期限延长 B.执行价格提高
C.无风险报酬率增加 D.股价波动率加大 【答案】BD 【解析】无风险报酬率越高,看跌期权的价值越低,选项C不正确。对于欧式期权来说,较长的时间不一定能增加期权价值,所以,选项A不正确; (三)期权价值的范围
【扩展】看跌期权的价值上限是执行价格。
结论:x为执行价,St为股票现值 1.股票价格为0,期权价值为0; 2.期权价值下限为内在价值。
在执行日之前,期权价值永远不会低于最低价值线;
3.看涨期权的价值上限是股价,看跌期权的价值上限是执行价格。
【例题•单选题】对于看涨期权来说,期权价格随着股票价格的上涨而上涨,当股价足够高时( )。
A.期权价格可能会等于股票价格 B.期权价格可能会超过股票价格 C.期权价格不会超过股票价格 D.期权价格会等于执行价格 【答案】C
【解析】期权价格如果等于股票价格,无论未来股价高低(只要它不为零),购买股票总比购买期权有利。在这种情况下,投资人必定抛出期权,购入股票,迫使期权价格下降。所以,看涨期权的价值上限不会超过股价。
二、金融期权价值的评估方法( 2015年计算题、2009年计算题、 2008年计算题)
(一)期权估值原理
1.复制原理(构造借款买股票的投资组合,作为期权等价物)
(1)基本思想
构造一个股票和借款的适当组合,使得无论股价如何变动,投资组合的损益都与期权相同,那么,创建该投资组合的成本就是期权的价值。
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【教材例8-10】假设ABC公司的股票现在的市价为50元。有1股以该股票为标的资产的看涨期权,执行价格为52.08元,到期时间是6个月。6个月以后股价有两种可能:上升33.33%,或者下降25%。无风险报酬率为每年4%。拟建立一个投资组合,包括购进适量的股票以及借入必要的款项,使得该组合6个月后的价值与购进该看涨期权相等。
【解析】
H=(14.58-0)/50×(1.3333-0.75)=0.5(股)
借款数额=价格下行时股票收入的现值=(0.5×37.50)÷1.02≈18.38(元) 期权价值=投资组合成本 =购买股票支出-借款 =H×S0-借款
=0.5×50-18.38=6.62(元) 验证:
该投资组合为:购买0.5股的股票,同时以2%的利息借入18.38元。这个组合的收入同样也依赖于年末股票的价格,如表8-7所示。
(2)计算公式
【例题·计算题】假设甲公司的股票现在的市价为20元。有1份以该股票为标的资产的看涨期权,执行价格为21元,到期时间是1年。1年以后股价有两种可能:上升40% ,或者下降30%。无风险报酬率为每年4%。拟利用复制原理,建立一个投资组合,包括购进适量的股票以及借入必要的款项,使得该组合1年后的价值与购进该看涨期权相等。
要求:
(1)计算利用复制原理所建组合中股票的数量为多少?
(2)计算利用复制原理所建组合中借款的数额为多少?
(3)期权的价值为多少?
(4)若期权价格为4元,建立一个套利组合。 (5)若期权价格为3元,建立一个套利组合。
【答案】
(1)上行股价=20×(1+40%)=28(元) 下行股价=20×(1-30%)=14(元) 股价上行时期到期价值=28-21=7(元) 股价下行时期到期价值=0
组合中股票的数量(套期保值率)=
(2)借款数额=
(3)期权价值=投资组合成本=购买股票支出-借款=0.5×20-6.73=3.27(元)
(4)由于目前看涨期权价格为4元高于3.27元,所以存在套利空间。套利组合应为:出售1份看涨期权,借入6.73元,买入0.5股股票,可套利0.73元。
(5)由于目前看涨期权售价为3元低于3.27元,所以存在套利空间。套利组合应为:卖空0.5股股票,买入无风险债券6.73元,买入1股看涨期权进行套利,可套利0.27元。 【例题·计算题】甲公司股票当前每股市价50元,6个月以后股价有两种可能:上升20%或下降17%,市场上有两种以该股票为标的资产的期权,看涨期权和看跌期权,每份看涨期权可买入1股股票,每份看跌期权可卖出1股股票,两种期权执行价格均为55元,到期时间均为6个月,期权到期前,甲公司不派发现金股利,半年无风险报酬率为2.5%。
要求:
(1)利用套期保值原理,计算看涨期权的股价上行时到期日价值、套期保值比率及期权价值;利用看涨期权-看跌期权平价定理,计算看跌期权的期权价值。 (2)前已讲(略)(2015年试卷Ⅰ) 【答案】
(1)上行股价SU=50×(1+20%)=60
股票上行时的到期日价值CU=SU-X=60-55=5(元) 下行时的股价Sd=50×(1-17%)=41.5(元) 则:下行时的到期日价值Cd=0。
套期保值比率H=(CU-Cd)/(SU-Sd)=(5-0)/(60-41.5)=0.27
借款支出=(H×Sd-Cd)/(1+r)=(41.5×0.27-0)/(1+2.5%)=10.93(元) 期权价值=H×S0-借款支出=0.27×50-10.93=2.57(元) 根据看涨期权-看跌期权的平价定理(后面考点) 2.57-看跌期权价值=50-55/(1+2.5%)
看跌期权价值=2.57-50+55/(1+2.5%)=6.23(元) 3.多期二叉树模型
(1)原理:从原理上看,与两期模型一样,从后向前逐级推进,只不过多了一个层次。 (2)股价上升与下降的百分比的确定:
期数增加以后带来的主要问题是股价上升与下降的百分比如何确定问题。期数增加以后,要调整价格变化的升降幅度,以保证年报酬率的标准差不变。
把年报酬率标准差和升降百分比联系起来的公式是:
其中:e-自然常数,约等于2.7183; σ-标的资产连续复利报酬率的标准差; t-以年表示的时段长度
【教材例8-10】采用的标准差σ=0.4068
该数值可以利用函数计算期直接求得,或者使用Excel的EXP函数功能,输入0.2877,就可以得到以e为底、指数为0.2877的值为1.3333。
d=1÷1.3333=0.75 【教材例8-12】利用【例8-10】中的数据,将半年的时间分为6期,即每月1期。已知:股票价格S0=50元,执行价格为52.08元,年无风险利率为4%。股价波动率(标准差)为0.4068,到期时间为6个月,划分期数为6期(即每期1个月)
(1)确定每期股价变动乘数。
【注意】计算中注意t必须为年数,这里由于每期为1个月,所以t=1/12年 (2)建立股票价格二叉树
(3)按照股票价格二叉树和执行价格,构建期权价值二叉树
【提示】运用风险中性原理的关键是计算概率。概率的计算有两种方法: (1)直接按照风险中性原理计算
期望报酬率=(上行概率×股价上升百分比)+下行概率×(-股价下降百分比) 【教材例题】
4%÷12=上行概率×12.46%+(1-上行概率)×(-11.08%)
上行概率=0.4848
下行概率=1-0.4848=0.5152 (2)概率的计算也可以采用下式
【例题•计算题】假设A公司的股票现在的市价为40元。有1份以该股票为标的资产的看涨期权,执行价格为40.5元,到期时间是1年。根据股票过去的历史数据所测算的连续复利报酬率的标准差为0.5185,无风险报酬率为每年4%,拟利用两期二叉树模型确定看涨期权的价格。
要求:
(1)若保证年报酬率的标准差不变,股价的上行乘数和下行乘数为多少? (2)建立两期股价二叉树与两期期权二叉树表; (3)利用两期二叉树模型确定看涨期权的价格。 【答案】
(1)股价二叉树
(2)期权二叉树:
Cuu=83.27-40.5=42.77(元)
(3) 解法1
解法2:
2%=上行概率×44.28%+(1-上行概率)×(-30.69%) 上行概率=0.4360
下行概率=1-0.4360=0.5640 Cu=(上行概率×上行期权价值+下行概率×下行期权价值)÷(1+持有期无风险报酬率) =(0.4360×42.77+0.5640×0)/(1+2%) =18.28(元) Cd=(上行概率×上行期权价值+下行概率×下行期权价值)÷(1+持有期无风险报酬率) =0
期权价格C0=(0.4360×18.28+0.5640×0)/(1+2%) =7.81(元)
(三)布莱克-斯科尔斯期权定价模型(BS模型)(2009年计算题) 1.假设
(1)在期权寿命期内,买方期权标的股票不发放股利,也不作其他分配; (2)股票或期权的买卖没有交易成本;
(3)短期的无风险报酬率是已知的,并且在期权寿命期内保持不变; (4)任何证券购买者能以短期的无风险报酬率借得任何数量的资金; (5)允许卖空,卖空者将立即得到所卖空股票当天价格的资金; (6)看涨期权只能在到期日执行;
(7)所有证券交易都是连续发生的,股票价格随机游走。 2.公式(不用背)
式中:
C0-看涨期权的当前价值; S0-标的股票的当前价格;
N(d)-标准正态分布中离差小于d的概率; X-期权的执行价格;
e-自然对数的底数,约等于2.7183; rc-连续复利的年度的无风险报酬率; t-期权到期日前的时间(年); ln(S0÷X)-S0÷X的自然对数; 2
σ–连续复利的以年计的股票回报率的方差。 【教材例8-13】沿用[例8-10]的数据,某股票当前价格为50元,执行价格为52.08元,期权到期日前的时间为0.5年。每年复利一次的无风险报酬率为4%,相当连续复利的无风
2
险报酬率rc=ln(1.04)=3.9221%,连续复利的标准差σ=0.4068,即方差σ=0.1655。 【补充要求】
(1)计算期权的价格;
(2)利用敏感分析法分析股价、股价的标准差、利率、执行价格和到期时间对于期权价值的影响。 【解析】 (1)
N(d1)=N(0.07035)=0.5280 N(d2)=N(-0.217)=0.4140
-3.9221%×0.5
C0=50×0.5280-52.08×e×0.4140 =26.40-52.08×0.9806×0.4140 =26.40-21.14 =5.26(元)
【提示】随着二叉树模型设置期数的增加,其计算结果不断逼近BS模型。 根据例8-10的资料,采用单期二叉树模型计算的期权价值是6.62元,采用两期二叉树模型计算的期权价值是5.06,采用6期二叉树模型计算的期权价值是5.30元,采用BS模型计算的期权价值是5.26元。 (2)
①当前股票价格:如果当前股票价格提高20%,由50元提高到60元,期权价值由5.26元提高到11.78元,提高123.92%。可见,期权价值的增长率大于股价增长率。
②标准差:如果标准差提高20%,期权价值提高21.73%。可见,标的股票的风险越大,期权的价值越大。
③利率:如果利率提高20%,期权价值提高1.58%。可见,虽然利率的提高有助于期权价值的提高,但是期权价值对于无风险报酬率的变动并不敏感。
④执行价格:执行价格提高20%,期权价值降低57.55%。可见,期权价值的变化率大于执行价格的变化率。值得注意的是,此时期权价值的下降额(5.26-2.23=3.03)小于执行价格的上升额(62.50-52.08=10.42)。
⑤期权期限:期权期限由0.5年延长到0.6年,期权价值由5.26元提高到5.89元。可见,期权期限的延长增加了股票价格上涨的机会,有助于提高期权价值。
3.参数估计
(1)无风险报酬率的估计 ①期限要求:无风险报酬率应选择与期权到期日相同的国库券利率。如果没有相同时间的,应选择时间最接近的国库券利率。
②这里所说的国库券利率是指其市场利率(根据市场价格计算的到期收益率),而不是票面利率。
③模型中的无风险报酬率是按连续复利计算的利率,而不是常见的年复利。 连续复利假定利息是连续支付的,利息支付的频率比每秒1次还要频繁。
如果用F表示终值,P表示现值,rc表示连续复利率,t表示时间(年);则:F=P×