初中平分面积周长问题
1. 如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分,我们把这条直线称为这个平面图
形的一条面积等分线.如,平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线.
(1)三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________;
(2)如图1,梯形ABCD 中,AB ∥DC ,如果延长DC 到E ,使CE =AB ,连接AE ,那
么有S
梯形ABCD
=S △ABE .请你给出这个结论成立的理由,并过点A 作出梯形ABCD
的面积等分线(不写作法,保留作图痕迹);
(3)如图,四边形ABCD 中,AB 与CD 不平行,S △ADC >S △ABC ,过点A 能否作出四边
形ABCD 的面积等分线?若能,请画出面积等分线,并给出证明;若不能,说明理由.
2如图1,在△ABC 中,AB =BC ,且BC ≠AC ,在△ABC 上画一条直线,若这条直线既平..分△ABC 的面积,又平分△ABC 的周长,我们称这条线为△ABC 的“等分积周线”. (1)请你在图1中用尺规作图作出一条△ABC 的“等分积周线”;
(2)在图1中过点C 能否画出一条“等分积周线”?若能,说出确定的方法;若不能,请说明理由;
(3)如图2,若AB =BC =5cm ,AC =6cm ,请你找出△ABC 的所有“等分积周线”,并简要说明确定的方法. E
C
图1
D
C
图2
D
A
C B B C
图2
图1
3在△ABC 中,∠C =90°,AC =3,BC =4,CD 是斜边AB 上的高,点E 在斜边AB 上,
过点E 作直线与△ABC 的直角边相交于点F ,设AE =x ,△AEF 的面积为y . (1)求线段AD 的长;
1
(2)若EF ⊥AB ,当点E 在线段AB 上移动时,
①求y 与x 的函数关系式(写出自变量x 的取值范围) ②当x 取何值时,y 有最大值?并求其最大值;
(3)若F 在直角边AC 上(点F 与A 、C 两点均不重合),点E 在斜边AB 上移动,试问:是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分?若存在直线EF ,求出x 的值;若不存在直线EF ,请说明理由.
4问题探究
(1)请你在图①中作一条直线,使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分; ..
(2)如图②,点M 是矩形ABCD 内一定点,请你在图②中过点M 作一条直线,使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分; 问题解决
(3)如图③,在平面直角坐标系中,直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图,其中DC ∥OB ,OB =6,BC =4,CD =4.开发区综合服务管理委员会(其占地面积不计)设在点P (4,2)处.为了方便驻区单位,准备过点P 修一条笔直的道路(路的宽度不计),并且使这条路所在的直线l 将直角梯形OBCD 分成面积相等的两部分.你认为直线l 是否存在?若存在,求出直线l
C ①
B ②
③
2
5. 如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC=90°,已知AD=AB=3,BC=4,动点P 从B 点出发,沿线段BC 向点C 作匀速运动;动点Q 从点D 出发,沿线段DA 向点A 作匀速运动.过Q 点垂直于AD 的射线交AC 于点M ,交BC 于点N .P 、Q 两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度.当Q 点运动到A 点,P 、Q 两点同时停止运动.设点Q 运动的时间为t 秒.
(1)求NC ,MC 的长(用t 的代数式表示);
(2)当t 为何值时,四边形
PCDQ 构成平行四边形;
(3)是否存在某一时刻,使射线QN 恰好将△ABC 的面积和周长同时平分?若存在,求出此时t 的值;若不存在,请说明理由;
(4)探究:t 为何值时,△PMC 为等腰三角形.
6(江苏省苏州市)如图,在△ABC 中,∠C =90°,AC =8,BC =6.P 是AB 边上的一个动点(异于A 、B 两点),过点P 分别作AC 、BC 边的垂线,垂足为M 、N .设AP =x . (1)在△ABC 中,AB =_________;
(2)当x =_________时,矩形PMCN 的周长是14;
(3)是否存在x 的值,使得△PAM 的面积、△PBN 的面积与矩形PMCN 的面积同时相等?请说出你的判断,并加以说明.
A P B
7某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究,他们发现如下结论: (1)有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比; (2)有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比;
„
现请你继续对下面问题进行探究,探究过程可直接应用上述结论.(S 表示面积) 问题1:如图1,现有一块三角形纸板ABC ,P 1,P 2三等分边AB ,R 1,R 2三等分边AC .经
探究知
S 四边形P 1P 2R 1R 2=3 S △ADE ,请证明.
1
A
R 1
R 2
图1
3
C
问题2:若有另一块三角形纸板,可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD ,如图2,
Q 1,Q 2三等分边DC .请探究S 四边形P 与S 四边形ABCD 之间的数量关系. 1Q 1Q 2P 2
1
Q 1
图2
Q 2
问题3:如图3,P 1,P 2,P 3,P 4五等分边AB ,Q 1,Q 2,Q 3,Q 4五等分边DC .若S 四边
形ABCD
=1,求S 四边形P Q Q P .
2
2
33
问题4:如图4,P 1,P 2,P 3四等分边AB ,Q 1,Q 2,Q 3四等分边DC ,P 1Q 1,P 2Q 2,P 3Q 3
将四边形ABCD 分成四个部分,面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4.请直接写出含有S 1,S 2,S 3,S 4的一个等式.
4
1.如图,一次函数y =-x +7与正比例函数y \= (1)求点A 和点B 的坐标;
(2)过点A 作AC ⊥y 轴于点C ,过点B 作直线l ∥y 轴。动点P 从点O 出发,以每秒1个单位长的速度沿O —C —A 的路线向点A 运动;同时直线l 从点B 出发,以相同的速度向左平移,在平移过程中,直线l 与x 轴交于点R ,交线段BA 或线段AO 于点Q 。当点P 到达点A 时,点P 和直线l 都停止运动。在运动过程中,设动点P 运动的时间为t 秒。
①当t 为何值时,以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8?
②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由。
4
x 的图象交于点A ,且与x 轴交于点B 。 3
备用图
2.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=10cm,AC :BC=4:3,点P 从点A 出发沿AB 方向向点B 运动,速度为1cm/s,同时点Q 从点B 出发沿B→C→A方向向点A 运动,速度为2cm/s,当一个运动点到达终点时,另一个运动点也随之停止运动. (1)求AC 、BC 的长;
2
(2)设点P 的运动时间为x (秒),△PBQ 的面积为y (cm ),当△PBQ 存在时,求y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (3)当点Q 在CA 上运动,使PQ ⊥AB 时,以点B 、P 、Q 为定点的三角形与△ABC 是否相似,请说明理由;
(4)当x=5秒时,在直线PQ 上是否存在一点M ,使△BCM 得周长最小,若存在,求出最小周长,若不存在,请说明理由.
5
222
答案:解:(1)设AC=4x,BC=3x,在Rt△ABC中,AC +BC=AB,
222
即:(4x )+(3x )=10,解得:x=2,∴AC=8cm,BC=6cm; (2)①当点Q 在边BC 上运动时,过点Q 作QH⊥AB于H ,
∵AP=x,∴BP=10﹣x ,BQ=2x,∵△QHB∽△ACB,
1QH QB
=,∴QH=错误!未找到引用源。x ,y=错误!未找到引用源。BP•QH=(10﹣x )
2AC AB
42
•错误!未找到引用源。x=﹣x +8x(0<x≤3),
5
∴
②当点Q 在边CA 上运动时,过点Q 作QH′⊥AB于H′,
∵AP=x,
∴BP=10﹣x ,AQ=14﹣2x ,∵△AQH′∽△ABC,
AQ QH ' 14-x QH '
==∴,即:错误!未找到引用源。,解得:QH′=错误!未找到引AB BC 106
用源。(14﹣x ), ∴y=
1133236
PB•QH′=(10﹣x )•(14﹣x )=x ﹣x+42(3<x <7); 225105
⎧42
-x +8x (0
∴y与x 的函数关系式为:y=⎨错误!未找到引用源。;
336⎪x 2-x +42(3
(3)∵AP=x,AQ=14﹣x ,
∵PQ⊥AB,∴△APQ∽△ACB,∴用源。,
6
AP AQ PQ x 14-x PQ
===,即:=错误!未找到引AC AB BC 8106
14
561434PQ 21BC
解得:x=,PQ=,∴PB=10﹣x=,∴错误!未找到引用源。, ==≠
939PB 17AC 9
∴当点Q 在CA 上运动,使PQ⊥AB时,以点B 、P 、Q 为定点的三角形与△ABC不相似;
(4)存在.
理由:∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4,AP=x=5,∵AC=8,AB=10, ∴PQ是△ABC的中位线,∴PQ∥AB,∴PQ⊥AC,
∴PQ是AC 的垂直平分线,∴PC=AP=5,∴当点M 与P 重合时,△BCM的周长最小, ∴△BCM的周长为:MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16.∴△BCM的周长最小值为16.
7