高中数学试题:三角函数单元基础题
三角函数单元复习题（二）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
π4
1．已知x ∈(－，0) ，cos x ，则tan2x 等于 （ ）
25
A. 7
24
724
B. C.
247
24
D.
7
ππ
23 cos －的值是 （ ）
1212
A.0
B. 2 C. 2
D.2
53，cos βα＋β的值为 （ ） 3．已知α，β均为锐角，且sin α＝
510
A. π4 或3π
4
B.
3π4 C. π4
D.2kππ
4
(k ∈Z )
4．sin15°cos30°sin75°的值等于 （ A.
34
B.
38 C. 18
D. 1
4
5．若f (cosx ) ＝cos2x ，则f (sinπ
12
) 等于 （ A. 12
B. －12 C. 3
2
D.
3
2
6．sin(x ＋60°) ＋2sin(x －60°) －3 cos(120°－x ) 的值为 （ A. 1
B.
3
2
2
C.1
D.0
7．已知sin α＋cos α＝1
3
，α∈(0，π) ，那么sin2α，cos2α的值分别为 （ A. 89，179 B. －89，17
9
C. －89 ，－179
D. －81799
8．在△ABC 中，若tan A tan B >1，则△ABC 的形状是 （ A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定 cos （π9．化简4 ＋α）－sin （π
4
＋α）
的结果为 （ cos （ππ
4 －α）＋sin （4 －α）
A.tan α B. －tan α C.cot α D. －cot α
10．已知sin α＋sin β＋sinγ＝0，cos α＋cos β＋cosγ＝0，则cos(α－β) 的值为 （ A. －1
2
B. 1
2
C. －1
D.1
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11．sin70＋cos150sin80cos7－sin15sin8 的值等于_____________.
12．若1－tan A 1＋tan A
＝4＋5 ，则cot( π4 ＋A ) ＝_____________.
13．已知tan x ＝43 (π＜x ＜2π) ，则cos(2x －π3 )cos(πππ
3 －x ) －sin(2x －3 )sin(3－x ) ＝_____.
14．sin(π4－3x )cos(πππ
3 －3x ) －cos(6 ＋3x )sin(4
＋3x ) ＝_____________.
）
）
）
）
）
）
）
2π1ππ
15．已知tan(α＋β) ＝，tan(β－) ＝ ，则sin(α＋ )·－α) 的值为____________.
54444α－βββα
16．已知5cos(α－) ＋＝0，则tan tan ＝_____________.
2222
三、解答题（本大题共5小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） π12ππ
17．（本小题满分12分）已知cos(α－) ＝ ，＜α＜ ，求cos α.
61362
π
18．（本小题满分14分）已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0， ) ，
2
求sin α、tan α.
19．（本小题满分14分）在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列， A C A C
求tan ＋tan ＋3 tan 的值.
2222
1217233
20．（本小题满分15分）已知cos α＝－，cos(α＋β) ＝α∈(π， π) ，α＋β∈( π，2π) ，求β.
132622
2α
21．（本小题满分15分）是否存在锐角α和β，使得（1）α＋2β＝ π，(2)tan tan β＝2－3 同时成立？若存在，则
32求出α和β的值；若不存在，说明理由.
三角函数单元复习题（二）答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．D 2．C 3．C 4．B 5．C 6．D 7．C 8．A 9．B 10．A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 2－63
11．23 12．45 13．－ 14．
54ππ3
15．【解析】 ∵tan(α＋) ＝tan ［(α＋β) －(β－) ］＝
4422
ππ
∴原式＝sin(α＋ )cos(α＋ )
44
πππ
sin(α＋)cos(α＋) tan(α＋ )
44466
＝＝＝.
493
sin 2(α＋) ＋cos 2(α＋) 1＋tan 2(α＋)
444ββ
16．【解析】 由5cos(α－) ＋7cos ＝0得：
22
α－βαα－βα
5cos （＋ ）＋7 cos（ － ）＝0
2222α－βα－βββ
展开得：12cos cos ＋2sin sin ＝0，
2222
α－βα－ββα
两边同除以cos cos 得tan tan ＝－6.
2222
三、解答题（本大题共5小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） π12ππ
17．（本小题满分12分）已知cos(α－) ＝ ，＜α＜ ，求cos α.
61362
πππ12
【解】 由于0＜α－ ＜，cos(α－) ＝
63613π
所以sin(α－ ) 6
5
1－cos 2(α－ ) ＝
613
3－5ππ
所以cos α＝cos ［(α－) ］＝
6626
π
18．（本小题满分14分）已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0， ) ，
2
求sin α、tan α. 【解】 ∵sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1 ∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0
即：cos 2α(2sin2α＋sin α－1) ＝0 cos 2α(sinα＋1)(2sinα－1) ＝0 π
又α∈(0， ) ，∴cos 2α>0，sin α＋1>0.
21π3
故sin α，α＝，tan α＝263
19．（本小题满分14分）在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列， A C A C
求tan ＋tan ＋3 tan 的值.
2222
2πA C π【解】 因为A 、B 、C 成等差数列，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝，＋ ＝
3223
A C tan ＋tan 22A C
∴tan( ＋ ) ＝，由两角和的正切公式，得
22A C
1－tan tan 22A C A C
tan ＋tan ＝3 －3 tan tan 2222A C A C
tan ＋tan ＋3 tan tan 3 . 2222
1217233
20．（本小题满分15分）已知cos α＝－，cos(α＋β) ＝α∈(π， π) ，α＋β∈( π，2π) ，求β.
132622
【分析】 要求β就必须先求β的某一个三角函数值，对照已知与欲求的目标，宜先求出cos β的值，再由β的范
围得出β.
33
【解】 ∵π＜απ， π＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π.
22
122572
又∵cos α＝－ ，cos(α＋β) ，∴sin α＝－ ，sin(α＋β) ＝－
13261326故cos β＝cos ［(α＋β) －α］＝3
而0＜β＜π，∴β＝ π.
4
【评注】 本题中若求sin β，则由sin β＝得考虑.
2α
21．（本小题满分15分）是否存在锐角α和β，使得（1）α＋2β＝ π，(2)tan tan β＝2－3 同时成立？若存在，则
32求出α和β的值；若不存在，说明理由.
【分析】 这是一道探索性问题的题目，要求根据（1）、（2）联解，若能求出锐角α和β，则说明存在，否则，不
αα
存在. 由于条件（2）涉及到 与β的正切，所以需将条件（1）变成 ＋β＝，然后取正切，再与（2）联立求解.
223
απ
【解】 由（1）得：＋β＝
23α
tan ＋tan β2α
∴tan( ＋β) ＝3
2α
1－tan tan β
2α
将（2）代入上式得tan ＋tan β＝3－3 .
2
α
因此，tan 与tan β是一元二次方程x 2－(3－3 ) x ＋2－3 ＝0的两根，解之得x 1＝1，x 2＝2－3 .
2ααπ
若 ＝1, 由于0 ＜. 所以这样的α不存在；
224α
故只能是tan ＝23 ，tan β=1.
2ππ
由于α、β均为锐角，所以α＝，β＝
64ππ
故存在锐角α＝，β使（1）、（2）同时成立.
64
23
0＜β＜π不能直接推出β＝π，因此本类问题如何选择三角函数值24
17212752×（－ ）＋（－）（－ . 261326132