有理数知识点.考点专题

有理数考点专题

（一）基本知识点梳理 一、正数和负数 知识点1 负数的引入

正数和负数是根据实际需要而产生的，随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，比如一些有相反意义的量：收入200元和支出100元、零上6C 和零下4C 等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎样表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的的量规定为负的，这样就产生了正数和负数。

用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。

知识点2 正数和负数的概念 （1） 像3、1.5、

1

、58等大于0的数，叫做正数，在小学学过的数，除0以外都是正2

1

、－584等在正数前面加“－”(读作负) 号的数，叫做负数。2

数，正数比0大。

（2） 像－3、－1.5、

负数比0小。

（3） 零即不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。

注意：（1）为了强调，正数前面有时也可以加上“＋”（读作正）号，例如：3、1.5、可以写作＋3、＋1.5、＋

1

也2

1。 2

（2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。例如：－a 一定是负数吗？答案是不一定。因为字母a 可以表示任意的数，若a 表示的是正数，则－a 是负数；若a 表示的是0，则－a 仍是0；当a 表示负数时，－a 就不是负数了（此时－a 是正数）。 知识点3 有理数的有关概念

（1） 有理数：整数和分数统称为有理数。

注：（1）有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括整数。但是本讲中的分数不包括分母是1的分数。

（2）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来

表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。

（3）“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。

（2） 整数包括正整数、零、负整数。例如：1、2、3、0、－1、－2、－3等等。 （3） 分数包括正分数和负分数，例如：

1313

、3、0.6、－、－3、－0.6等等。 2424

知识点4 有理数的分类

（1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：

⎧⎧正整数

⎪⎪整数⎨0⎪⎪⎪负整数有理数⎨⎩⎪

正分数⎪分数⎧⎨⎪⎩负分数⎩

⎧⎧正整数

正有理数⎨⎪

⎩正分数⎪

⎪

有理数⎨0

⎪负整数⎪负有理数⎧⎨⎪⎩负分数⎩

注：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。如果用字母表示数，则a>0表明a 是正数；a

二、 数轴

数轴是理解有理数概念与运算的重要工具，数与表示数的图形（如数轴）相结合的思想是学习数学的重要思想。正如华罗庚教授诗云： 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。 数缺形时少直觉，形少数是难入微。 数形结合百般好，隔裂分家万事非。

切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！

数与形的第一次联姻——数轴，使数与直线上的点之间建立了对应关系，揭示了数与形的内在联系，并由此成为数形结合的基础。 知识点1 数轴的概念

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴

数轴的定义包含三层含义：一，数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二，数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；三，原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）；四，注意下标单位，上标数。

知识点2 数轴的画法

（1）画一条直线（一般画成水平的直线）。

（2）在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下面标上“0”）。 （3）确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来。

（4）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3„„；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为－1，－2，－3„„

注 （1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取；

（2）确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以每隔两个(或更多的) 单位长度取一点，从原点向右，依次表示为2，4，6，„„；从原点向左，依次表示为－2，－4，－6，„„； 知识点3 数轴上的点与有理数的关系

所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。 知识点4 利用数轴比较有理数的大小

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。

知识点5 数形结合思想解决问题

数轴是将有理数具体化的工具，主要用于研究距离问题。

三、相反数

知识点1 相反数的概念

（1）相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。如下图，4与－4互为相反数，1与－1互为相反数。

（2）相反数的代数定义：只有符号不同的两个数（除了符号不同以外完全相同），我们说其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。 知识点2 相反数的表示方法

一般地，数a 的相反数是－a 。这里a 表示任意的一个数，可以是正数、负数、或者0。 知识点3 多重符号的化简

（1）在一个数的前面添上一个“＋”号，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5。 （2）在一个数的前面添上一个“－”号，就成为原数的相反数。如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3。

四、绝对值

知识点1 绝对值的概念

（1）绝对值的几何定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作“a ”；有a =-a 。

（2）绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即

1

515

⎧a , （a >0)

⎧a ， （a ≥0）⎪

a =⎨0, (a =0) 或a =⎨

－a 。（a ≤0）⎩⎪-a 。 (a

⎩

知识点2 两个负数大小的比较

因为两个负数在数轴上的位置关系是：绝对值较大的负数一定在绝对值较小的负数的左边，所以，两个负数，绝对值大的反而小。

比较两个负数大小的方法是：一、先分别求出这两个负数的绝对值；二、比较这两个绝对值的大小；三、根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。 知识点3 有理数大小的比较法则

正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 知识点4 a -b 的几何意义

a -b 是表示数a 的点与表示数b 的点的距离，因此有a -b =b -a 。

五、有理数的运算 （1）、有理数的加法 知识点1 有理数的加法

把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。

相加的两个有理数有以下几种情况：（1）两数都是正数；（2）两数都是负数；（3）两数异号，即一个是正数，一个是负数；（4）一个是正数，一个是0；（5）一个是负数，一个是0；（6）两个都是0。

知识点2 有理数加法法则

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 （3）一个数同0相加，仍得这个数。 知识点3 有理数加法的运算定律 （1）加法交换律：a +b =b +a 。

（2）加法结合律：(a +b ) +c =a +(b +c ) 。 （2）、有理数的减法 知识点1 有理数减法的意义

有理数减法的意义与小学学过的减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。减法是加法的逆运算。 知识点2 有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a -b =a +(-b ) （3）、有理数的加减混合运算

知识点1 有理数加减法统一成加法的意义

对于有理数的加减混合运算中的减法，可以根据有理数减法法则将减法转化为加法。这样一来，就将原来的混合运算统一为加法运算。统一成加法以后的式子是几个正数或负数的和的形式，有时，我们把这样的式子叫做代数和。 知识点2 有理数加减混合运算的方法

一、运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。 二、运用加法法则、加法交换律、加法结合律简便运算。 （4）、有理数的乘法 知识点1 有理数乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。 知识点2 有理数乘法法则的推广

（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。

（2）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0。 知识点3 有理数乘法的运算定律 （1）乘法交换律：ab =ba 。 （2）乘法结合律：(ab ) c =a (bc ) 。 （3）分配律：a (b +c ) =ab +ac 。 （5）、有理数的除法 知识点1 倒数的概念 乘积是1的两个数互为倒数。 由于a ⨯

11

=1 (a ≠0) ，所以当a 是不为0的有理数时，a 的倒数是。若a 、b 互为倒数，a a

则ab ＝1。

知识点2 有理数除法法则

一、除以一个数等于乘以这个数的倒数。即a ÷b =a ⨯

1

(b ≠0) 。 b

二、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。

（6）、有理数的乘方 知识点1 有理数乘方的意义

求n 个相同因数的积的运算，叫乘方。a ⨯a ⨯a ⨯

n 个a

n

n

。乘方的结果叫做幂。⨯a 记作“a n ”

在a 中，a 叫做底数，n 叫做指数， a 读作a 的n 次方，(a m ) n =a mn 。 知识点2 乘方运算的符号法则

正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 知识点3 科学计数法

把一个大于10的数记成“a ⨯10”的形式，其中a 是整数数位中只有一位的数，这种记数法叫做科学记数法。如42 000 000＝4.2×10。 （7）、有理数的混合运算

知识点1 有理数混合运算的运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 （8）、近似数与有效数字 知识点1 研究近似数的意义

在生产实践和实际生活中，不仅存在着大量的准确数，同时也存在着大量的近似数。近似数就是与实际接近的数。出现近似数的原因有两点：一是有时候不能得到完全准确的数，如太阳的半径大约是696 000千米；二是有时也没有必要弄得完全准确，如买10千克大米，有时可能多一点，有时也可能少一点。 知识点2 精确度

一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 知识点3 有效数字

四舍五入后的近似数，从左边第一个不为0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。

7

n

（二）、例题讲解 1、三个重要的定义

（1）正数：像1、2.5、这样大于0的数叫做正数；

（2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数；

（3）0即不是正数也不是负数，0是一个具有特殊意义的数字，0是正数和负数的分界，不是表示不存在或无实际意义。 例1 下列说法正确的是( )

A、一个数前面有“－”号，这个数就是负数； B、非负数就是正数； C、一个数前面没有“－”号，这个数就是正数； D、0既不是正数也不是负数； 例2 把下列各数填在相应的大括号中 8，正整数集合{

31

，0.125，0，-，-6，-0. 25， 43

} 整数集合{} }

负整数集合{ } 正分数集合{

例3 如果向南走50米记为是-50米，那么向北走782米记为是 ____________, 0米的意

义是______________。

例4 对某种盒装牛奶进行质量检测，一盒装牛奶超出标准质量2克，记作+2克，那么-5克表示_________________________

例5 若a >0 ，则a 是 ；若a b ，则a -b 是；（填正数、负数或0） 2、有理数的概念及分类

例6 若a 为无限不循环小数且a >0，b 是a 的小数部分，则a -b 是（ ）

A 、无理数 B、整数 C、有理数 D、不能确定 例7 若a 为有理数，则a 不可能是（ ）

A、整数 B、整数和分数 C、q (p ≠0) D、π

p

3、数轴

例8 在数轴上表示数3的点到表示数a 的点之间的距离是10，则数a = ；若在数轴上表示数3的点到表示数a 的点之间的距离是b ，则数a = 。 例9 a,b两数在数轴上的位置如图，则下列正确的是（ ）

、 a+b

＜0 B、 ab＜0 C、a ＜0 D、a

-b

例10 下列数轴画正确的是（ ）

0 -1 1 A C D B

4、相反数

例11 下列说法正确的是（

）

A 、若两个数互为相反数，则这两个数一定是一个正数，一个负数； B 、如果两个数互为相反数，则它们的商为-1； C 、如果a +b =0，则数a 和数b 互为相反数； D 、互为相反数的两个数一定不相等；

例12 求出下列各数的相反数

①

a 2 ②a +1 ③a -b ④3c 4

例13 化简下列各数的符号

①+(-4. 5) ②-(-1) ③-[-(+2) ] ④-{-[-(-0. 2)]}

5、绝对值

例14 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数是( )

A、互为相反数 B、相等 C、积为0 D、互为相反数或相等 例15 已知ab>0,试求

35

|a ||b ||ab |

++的值。 a b ab

例16 若|x|=-x，则x 是_________数；

例17 若│χ+3∣+∣y—2∣=0，则（x +y ) 2005； 例18 将下列各数从大到小排列起来

0、 -

53

、 -、0. 0001

46

例19 如果两个数a 和b 的绝对值相等，则下列说法正确的是（ ） A、a =b B、

a

=-1 C、a +b =0 D、不能确定 b

二、有理数的运算 1、有理数的加法

例20 计算下列各式

① （– 4）+7 ② (-5. 3)+(-3. 2)

例21 计算下列各式

①(-7) +(+3) +(+8) +(-10) +2 ②0. 125+3

2、有理数的减法

例22 计算：-7-11-9+5

例23 月球表面的温度中午是101C ，半夜是-153C ，中午比半夜高多少度？ 例24 已知m 是6的相反数，n 比m 的相反数小5，求n 比m 大多少？

o

o

112

+(-3) +(+11) +(-0. 25) 483

3、有理数的乘法

例25 计算下列各式：

① (-1. 25) ⨯1⨯(-2. 5) ⨯(-) ② (-12) ⨯(

③(-45. 75) ⨯2

1778111

-+-1) 462

55424

+(-35. 25) ⨯(-2) +10. 5⨯(-7) ④49⨯(-5) 99925

4、有理数的除法

例25 倒数是其本身的数有_________； 例26 计算下列各式：

①-2. 5÷1⨯(-8) ②(-5) ÷7

③(-48) ÷(-6)

5、有理数的乘方

例27 ①2的意义是_________________________；

②-5的意义是________________________； ③(-) 的意义是_________________________；

例28 当a =-3，b =例29 计算：(-2)

例30 若a , b (a ≠0, b ≠0) 互为相反数，n 是自然数，则（ ） A 、a

2n

43

181

2

67

5

322

时，则a +b =_________； 2

2008

+(-2) 2009

和b

2

2n

互为相反数 B、a

2n +1

和b

n

2n +1

互为相反数

C 、a 和b 互为相反数 D、a 和b 互为相反数

2n

6、有理数的混合运算 例31 计算下列各式

⎡1⎛1⎫⎤1⎛2⎫⎛1⎫3

①10÷⎢- -1+1⎪⎥⨯6 ②(-3)÷2⨯ -⎪+4-22⨯ -⎪

3⎭⎦4⎝3⎭⎝3⎭⎣2⎝

例31 已知a 的绝对值为3、且a 满足x 的一元一次方程(a -b ) x 2+(3+a ) x -2=0，则

2

a 3+b 2+

a

的值为多少？ b

7、科学记数法

例32 用科学记数法表示下列各数

①1893400000 ②800032000

③0.[1**********]2 ④120万人民币；

例33 ①3.256有_________位效数字，它们分别是_________________________；

②0.032560有_________位效数字，它们分别是_________________________；

③3. 2560⨯10有_________位效数字，它们分别是_________________________； ④3. 256⨯10有_________位效数字，它们分别是_________________________；

例34 用四舍五入法完成下列各题

①0. 02954≈_________（精确到千分位），所得结果有___________位效数字，它们

分别是_______________________；

②0. 999999≈_________（精确到万分位），所得结果有___________位效数字，它

们分别是_______________________；

③0. 93≈_________（精确到个位）所得结果有___________位效数字，它们分别是_______________________；

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