正四面体的性质及其应用
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第 J船
高 1 中毒 学赦 与曹
山东省单县第一中学 刘允忠
四面 体是空间 中最基本 的几 何 图形 , 也是 最重 要 的几何体 之一 ,
它 在立体 几何 中的地位相 当于 平 面几何 中的三 角 形 而正 四面体 又 是特殊 的 四蔼体 , 它 有着 许 多 优美性 质 在 多年 的高考 与竞 赛试 题 中, 以正 四面体 为背景 的题 目更 是额频 出现 . 因此 , 适 当掌握 正 四 面 体的有 关性质 , 显得尤 为重 要 . 现就正 四面体 的性 质及其应 用作一归
纳, 供参考 .
一
、
正 四面体 的性质
( 1 ) 设 正四面体 的棱 长为 n , 高为 h, 全面 积 为 S, 体积 为 V, 相 邻两 面的二面 角为 , 内切 球半径为 r , 外接球半 径 为 R, 则有 :
Oh :4 6 口 ; ② s: n ; ③v = 4 ;
 ̄ c o s = { n n = ; ⑤ r = n ; @ R = 譬 。 .
( 2 ) 正 四面体 内接于 一正方体 , 且 它们 内接 于同一个球 , 球的 直 径等 于 正方体 的对角线 ( 3 ) 正四面体 内 任 意一 点到 四个 面的 距 离 之 和 为 该 四面 体 的 高.
:、 性质 的应 用
1 . 求空 间南的太 小 例1 ( 1 9 8 8年 上海 高考 题 )如 图 1 , 在棱 长都 相 等 的 四面 体
AB C D 中, E、 F分别 为棱 A D、 B C的 中点 , 连结 AF、 C E.
( 1 ) 求异 面直线 AF与 C E 所成 的 角 ;
( 2) 求 C E 与 面 B( 1 D 所 成 的角.
・
2 7 -
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解 ( 1 ) 连结 F D, 在平 面 A F D内,
2 0 0 2 l
过 E作 E G/ /A F交 F D 于G, 则 C E G 即为异面直 线 A F与 C E所 成的角 ( 或 为
其补 角) . 设正 四面 体 A B C D 的棱 长 为 8 , 可
得 E G = 吉 A F = 等 a , c E = 訾 n , ∞
√ 7 ^ A 一 a . 由余弦定理知: c  ̄LC E G 了 2
C 翻
故异面直线 A F与 c E所成的角为 a r c c o s 导.
( 2 ) 易证平 面 AF D 上 平面 B C D, 在 平面 A阳 内 , 过 E作E H- L
F D, 连结 C H, 则 E C H 为C E 与平 面 B C D 所成 的角 . E H 为正 四面 体高的一半 , 由性 质( 1 ) _ 知 E H
s i n LE C H=面 E H =垣
3,
C E 与 底 面 B c D 所 成 的 角 为 a r c s i n 埠 .
例2 ( 第 十一届 希望杯 高一培训
题 ) 正 四面体 A B C D 的 四顶点 6
a 在 同一 个 球 面 上 , C C 和 D E } 是 该球 的直 径, 则平面 A B C 与平 面
AC , D 所成 角的正弦值 为
—
.
—
解 由性 质( 2 ) 知, 正 四面体 内接 于 一正 方体 , 该正方体 也 内接 于该球 , 且
该 正方体 的对 角线 即为该 球 的 直径 , 即
C C 、 D D 为该 球 的直 径( 如图 2 ) . 连结 C. D 交A B于M , 连结 MC.
‘
.
A
图2
MC- LA B, 朋D 上A B,
.
.
C MD 为平 面 A B C 与平 面 A C, D 所成的角
设 正方体棱 长为 。.
・
2 8・
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第 1期
击中 矗毒l 曩 点学
在 AC A4 D 中 , s i n LC MD = .
‘
.
.
平面 A B C 与平 面 A c t D 所成 的角 的正 弦值为
2 .求 空 问 距 离
一
恻3 ( 2 0 0 1 年北京 东城 区高考模 拟试 题 ) 已知 A 、 B、 C、 D为同 球 面上 的四点 , 且 连接 每两点 闻的线 段 长都等 于 2 , 则球心 O 到平
)
面B C D 的距离为 (
( A ) 譬( B ) ( c ) ( 1 ) ) 案
解 如 圈 3 , 正 四面体 内接 于一 球 ,
则球 心位 于 正 四 面体 的 中心 0, A H 为
正四面 体 的 高 , 且 0在A l l 上, O H =
{ A H , 而 A H : , . ・ . O H : { × 譬 一 . 故 应 选 ( B ) .
-
C 图 3 D
2 4 6
=
3
铡4 ( 1 9 9 4 年上海高 中数学 竞赛试题 ) 在一个棱 长为 5 √ 6 c r n 的
正四面体 内有 一点 P, 它 到三 个 面 的距 离 分别 是 l c m、 2 c m、 3 c m, 则
它到第 四个面 的距离是—
—
.
解 由正 四面体 的性 质 ( 3 ) : 正 四面体 内任意 一 点到 四个平 面 的距离之 和为定值 — — 正 四面体的高 . 而 高 ^= 口= × 5 =
J J
l o ( 口 n ) , 镀它刊第四平面的距离为 h =4 c m.
3 求体积的 大小
恻5 ( 2 o o 1 年 广州市高 考模拟试题 ) 甲烷分子 c t - h的空 间结 构
为一正 四面体 , 碳原 子位 于该 四面体的 中心 , 四个氢 原子 分别 位 于该 四面体 的 四个顶 点 , 若将 碳 原 子和氢 原 子 视为 一 个点 ( 体 积忽 略 不 计) , 且 已知 碳原子和每个 氢 原子 闻 的距 离都 为 口 , 则 以 四个 氢 原 子 为硬点 的这 个正 四面体 的体积 为
.
— —
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2
9 .
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2 0 0 2 i
解 由已知条件知该 正 四面体 的外 接球 的半径 为 口, 则 该正 四
面休 的外接 正方 体 的对角线 长为 2 。, 其棱 长为
=
。, 其 体积 v 正 l
( 学n ) = 学 3 , 而 正 四 面 体 的 体 积 等 于 该 正 方 体 体 积 的 { . 故 v 正 = { = { × 学n = n 3 .
倒6 ( 第 十 一届 希望 杯 数 学 邀请 赛 试 题 )正 四面体 的捩 长 为 n , 以面三 角形 的重心 的连线段 为边的正 四面体 的体 积是 解 如图 4 , 在 正 四面体 S A B C中 , E、 F分别 为面 S A B、 S B C 的 重心 . 连 接
S E、 S F延 长分别 交 A B、 B C 于 G、 H 两
A
.
点,  ̄
E F/ /G H, 且E F:
G H. 又
G H = 竽, E F : { A c = { n . 而 以
4 . 术相 关球 的 问题
图 4
E F 为 棱 长 的 正 四 面 体 的 体 积 为 : V : × ( 号 ) : 翕 。 , .
倒7 ( 2 0 O 0年全国高中数学竞赛试题) 一个妹与正四面体的 6
条棱 都 相 切 , 若 正 四面体 的棱 长 为 口 , ’ 这 个 球 的 体 积 V 为 解 如图 5 , 将 正 四面体补 成正 方 体, 由一 k 述 结 论可 知 所求 体积 的球 即为
正方 体的 内切球 .
。
.
’ 正 四面体 的棱 长 为 口 , 正 方体的棱 长为 n ,
‘
’
.
.
图 5
^
’ . .
正方体 的内切球半 径 r= n ,
3 0 r
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高中^蓐蠢 与母
・ . .
V = 导 一 3 : 号 × ( 等 。 ) = 当
t N s ( 1 9 9 6 筝爱朋券杯数学蠢赛试詹) 四个半径幸 B 是l 霸球两
两相切 , 都 在一个 大 球里 面 , 且都 与大 球相 切 , 则 这个 大球 的半 径是 解 四个半 径都是 1的球两两 相切 , 其球心 的连线构 成一正 四 面体 , 棱长为 2 . 又这 四个 球都 与大球 相切 , 则该 正 四面体 的外 接 球 与这个 大 球 为同心 球 , 大 球 的半径 等 于该正 四面体 的外接 球韵 半 径 再加 上小球 的半径 , 故 由性 质 ( 1 ) 知
厂 :
正 四 面 体 的 外 接 球 的 半 径d = 华× 2 = 4 6 .
’ ‘
r z
故 大璩 的半径 R = r+d = 1 + .
‘
例9 ( 1 9 9 8 年 全 国高考 数学试题 ) 球 面 上有 3个点 , 其 中任意
●
两点的球面 距离都等于大圆周长的÷, 经过这 3 个点的小圆的周长
为
4 , 那 么这个球 的半径为 ( ) ( A) 4 √ 3 ( B ) 2√ 3 ( c ) 2 ( D ) √ 3
解 由球 面上 三点 A、 B、 C中任意
1
两点的球面距离都等于大圆 周长的{,
可 知这三点 两两之 间的距离都 等于球半 径, 故球 心 0 与这三点 的连线 构成 一正 四面 体 0 c, 球 半 径 即 为正 四面体 的 棱 长. 又以正 四面 体棱 长 为边的正三 角形 A B C的外 接 圆周 长为 4 , 半径 为 2 , 故棱 长为 2 √ 3 , 即球半径 为 2 √ 3 . 通过 以上 例子可 以看出 , 正 四面体在考查学 生空 间想 象能力 、 逻 辑推 理能 力等方 面有 着许 多独 到之处 . 如果 我们 在平 时 的学习过 程 中, 注意对 正四面 体性 质进 行挖 掘与 总结 . 深 入理解 , 是活应 用 , 就会 收到理 想的解题效 果 .
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