常用数学公式集锦
目 录
(按字母拼音顺序排列)
差乘与点乘....................................................................................................................................... 2 多项式展开公式 . .............................................................................................................................. 3 反三角函数知识表格 . ...................................................................................................................... 3 傅立叶变换....................................................................................................................................... 4 幂级数 .............................................................................................................................................. 6 求导公式........................................................................................................................................... 6 积分公式........................................................................................................................................... 7 三角函数基本公式 . .......................................................................................................................... 8 三角形的基本定理 . ........................................................................................................................ 12 排列组合......................................................................................................................................... 12 泊松方程和拉普拉斯方程 . ............................................................................................................ 13 数列 ................................................................................................................................................ 13 双曲函数......................................................................................................................................... 14 泰勒展开式..................................................................................................................................... 15 小量展开......................................................................................................................................... 19
差乘与点乘
(主要摘自郭硕鸿《电动力学》附录I)
a ⋅(b ⨯c ) =b ⋅(c ⨯a ) =c ⋅(a ⨯b )
(I.1)
=-a ⋅(c ⨯b ) =-b ⋅(a ⨯c ) =-c ⋅(b ⨯a ),
c ⨯(a ⨯b ) =(c ⋅b ) a -(c ⋅a ) b
, (a ⨯b ) ⨯c =(c ⋅a ) b -(c ⋅b ) a
, ∇=∂ ∂x i +∂ ∂y j +∂∂z k
; A =A x i +A y j +A z k
∇⋅A =∂A x ∂A y ∂A z
∂x +∂y +∂z
;
i
j k ∇⨯A =∂∂∂∂A z ∂A y ∂A x ∂A z ∂∂x ∂y ∂z =(∂y -∂z ) i +(∂z -∂x ) j +(A y ∂x -∂A x ∂y ) k
A x A y A z
∇⨯∇ϕ≡0, ∇⋅∇⨯
f =0, ∇⋅(ϕψ) =ϕ∇ψ+ψ∇ϕ, ∇⋅(ϕ f ) =(∇ϕ) ⋅ f +ϕ∇⋅
f , ∇⨯(ϕ f ) =(∇ϕ) ⨯ f +ϕ∇⨯
f , ∇⋅( f ⨯g ) =(∇⨯ f ) ⋅g - f ⋅(∇⨯g
), ∇⨯( f ⨯g ) =(g ⋅∇) f +(∇⋅g ) f -( f ⋅∇) g
-(∇⋅ f ) g , ∇( f ⋅g ) = f ⨯(∇⨯g ) +( f ⋅∇) g +g ⨯(∇⨯ f ) +(g
⋅∇) f , ∇⋅∇ϕ≡∇2ϕ, ∇⨯(∇⨯ f ) =∇(∇⋅ f ) -∇2
f , (I.2) (I.3)
(I.14)
(I.15)
(I.18)
(I.19) (I.20)(I.21) (I.22) (I.23) (I.24) (I.25)
多项式展开公式
a 2+b 2=(a +bi )(a -bi ) a 2-b 2=(a +b )(a -b ) a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2) a 3-b 3=(a +b )(a 2+ab +b 2) (a +b ) 2=a 2+2ab +b 2 (a -b ) 2=a 2-2ab +b 2
(a +b ) 3=(a +b ) 2(a +b ) =(a 2+2ab +b 2)(a +b ) =a 3+3a 2b +3ab 2+b 3 (a -b ) 3=(a -b ) 2(a -b ) =(a 2-2ab +b 2)(a -b ) =a 3-3a 2b +3ab 2-b 3
反三角函数知识表格
由于三角函数都是周期函数,对值域中的任何y 值,自变量x 都有无穷多个值与之对应,故在整个定义域上三角函数不存在反函数。但是,如果限制x 的取值区间,使三角函数在选取的区间上为单调函数,则可考虑三角函数的反函数,此即反三角函数。
傅立叶变换
————————————基本公式(傅立叶变换和逆变换)————————————
F (w ) =⎰
+∞
-∞
f (t ) e -iwt dt
+∞-∞
1f (t ) =
2π
⎰
F (w ) e dw
iwt
—————————————————线性特性——————————————————
∑a f (t ) ∑a F (w )
i i
i i
i =1
i =1
n n
—————————————————标度变换性质————————————————
f (at )
1w F () |a |a
证明: f(at)=
对称性(了解)
F (t ) 2πf (-w )
证明:
不是F (w ) 2πf (-t )
时延特性
频延特性
时域卷积特性
频域卷积特性
巴塞瓦尔定理
相关特性
自相关定理
f (t -t jwt 0) F (w ) e 0
e jw 0t f (t ) F (w -w 0)
x (t )*y (t ) X (t ) Y (t )
2πx (t ) y (t ) X (t )*Y (t )
⎰
+∞
-∞
|f (t ) |=
12π
⎰
+∞
-∞
|F (w ) |2dw R (τ) =⎰
+∞
-∞
f (t ) f (t +τ) dt R (-τ) =⎰
+∞
-∞f (t ) f (t -τ) dt R +∞
xy (τ) =⎰
-∞x (t ) y (t +τ) dt R ) =⎰
+∞
yx (τ-∞
x (t +τ) y (t ) dt
R (τ) =R (-τ) R xy (τ) ≠R yx (τ)
R (τ) |F (w ) |2
幂级数
函数f (z ) 在点z 0处的Taylor 级数展开式为
f ''(z 0) f (n ) (z 0) 2
f (z ) =f (z 0) +f '(z 0)(z -z 0) +(z -z 0) + +(z -z 0) n +
2! n !
如果f (z ) 在z 0为圆心的圆域内解析,则级数收敛于f (z ) 。如果r 是该圆的半径,则r 称为级数的收敛半径。如果取z 0为零,则级数称为麦克劳林(Maclaurin )级数,于是写成
f ''(0) 2f (n ) (0) n
f (z ) =f (0) +f '(0) z +z + +z +
2! n !
求导公式
1.基本求导公式
⑴ (C ) '=0(C 为常数)⑵ (x n ) '=nx n -1;一般地,(x α) '=αx α-1。
2
特别地:(x ) '=1,(x ) '=2x ,() '=-
1x
11
'(x ) =,。
x 22x
⑶ (e ) '=e ;一般地,(a ) '=a ln a (a >0, a ≠1) 。 ⑷ (lnx ) '=
x x x x
11
(a >0, a ≠1) 。 ;一般地,(loga x ) '=
x x ln a
2.求导法则 ⑴ 四则运算法则
设f (x ) ,g (x ) 均在点x 可导,则有:(Ⅰ)(f (x ) ±g (x ) ) '=f '(x ) ±g '(x ) ; (Ⅱ)(f (x ) g (x ) ) '=f '(x ) g (x ) +f (x ) g '(x ) ,特别(Cf (x ) ) '=C f '(x ) (C 为常数); (Ⅲ)(
f (x ) f '(x ) g (x ) -f (x ) g '(x ) 1g '(x )
',特别。 ) '=, (g (x ) ≠0) () =-
g (x ) g (x ) g 2(x ) g 2(x )
3.微分 函数y =f (x ) 在点x 处的微分:dy =y 'dx =f '(x ) dx 4.三角函数求导公式:
(sinx ) '=cos x ,(cosx ) '=-sin x ,(tanx ) '=sec 2x ,(cotx ) '=-csc 2x ,
(secx ) '=sec x tan x ,(cscx ) '=-
csc x cot x
(arcsinx ) '=
,
(arccosx ) '=,
(arctanx ) '=
11+x 2
,
(arc cot x ) '=-
1
, 1+x 2
积分公式
1. 常用的不定积分公式
1α+1x 2x 32
⎰x dx =α+1x +C (α≠-1), ⎰dx =x +c , ⎰xdx =2+c , ⎰x dx =3(1) ;
4x 3
x dx =+c ⎰4
α
1a x x x x
+C (a >0, a ≠1) ; (2) ⎰dx =ln |x |+C ; ⎰e dx =e +C ; ⎰a dx =
x ln a
(3)kf (x ) dx =k f (x ) dx (k 为常数) 2. 定积分
⎰⎰
⎰
b
a
f (x ) dx =F (x ) |b a =F (b ) -F (a )
⑴
⎰
b
a
[k 1f (x ) +k 2g (x )]dx =k 1⎰f (x ) dx +k 2⎰g (x ) dx
a
a
b b
⑵ 分部积分法
设u (x ) ,v (x ) 在[a ,b ]上具有连续导数u '(x ), v '(x ) ,则
⎰
b
a
u (x ) dv (x ) =u (x ) v (x ) a -⎰v (x ) du (x )
a
b
b
更多积分公式见积分表
三角函数基本公式
定义:
sin θ=斜边,cos θ=(余弦),tan θ=cos θ(正切) θ 1 1 cot θ=cos ,sec θ= ,csc θ= sin sin θ(余切)θ(正割)θ(余割)
对边
邻边
正弦
余弦
正切 余切
正割 余割
π
或其奇数倍时,先依象限取正负号,再将正函数→余函数(余函数2
→正函数);变换角出现π或其整数倍时,依象限取正负号,函数不变即可。 变换角出现
如cos(α+π/2) =-sin α=sin(α+π) 。
1. 两角和与差的三角函数
sin (α±β)=sin αcos β±cos αsin β
cos (α±β)=cos αcos β sin αsin β
2. 二倍角公式:
sin 2α=2sin αcos α
cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α tan2α=1-tan 2α
3. 半角公式
sin
α α =±c o =±2222
sin α1-cos α
tan ===1+cos αsin α
4. 万能公式:
2t a 1-tan t a n α=cos α=sin α=21-t a n 1+tan 21+tan 22tan 25. 积化和差:
sin αcos β=cos αsin β=
1
[sin (α+β)+sin (α-β)] 2
1
[sin (α+β)-sin (α-β)] 2
1
[cos (α+β)+cos (α-β)] 21
sin αsin β=-[cos (α+β)-cos (α-β)]
2cos αcos β=
6. 和差化积:
α+β⎪cos α-β⎪ sin α+sin β=2sin
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎛
⎫
⎛
⎫
α+β⎪sin α-β⎪
sin α-sin β=2cos
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎛
⎫
⎛
⎫
α+β⎪cos α-β⎪
cos α+cos β=2cos
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎛
⎫
⎛
⎫
cos α-cos β
⎛α+β=-2sin
⎝⎫⎛α-β
⎪sin ⎪ ⎭⎝
⎫
⎪ ⎪⎭
三角恒等式
sin 2θ+cos2θ=1;1+tan2θ=sec2θ;1+cot2θ=csc2θ
反三角余角关系
π
sin -1x +cos-1x =
2π
tan -1x +cot-1x =
2π
sec -1x +csc-1x =
2
tan(arcsinx)=? cos(arcsinx)=? sin(arctanx)=? sin(arccosx)=? tan(arccosx)=?
http://zhidao.baidu.com/link?url=97CP2N7yKWoQr4wJc1OkyTmFXYB2qwyRCloE0cQTeMvFKhn-pNXnCRQwsI8T5Cum37eXA82i7nMxvmRMACpMM_ 首先明确
arcsinx 的范围是[-π/2,π/2] arccosx 的范围是[0,π] arctanx 的范围是(-π/2,π/2)
1.cos(arcsinx)
因为cosx 在[-π/2,π/2]上是正的
cos(arcsinx)=√[1-sin^2(arcsinx)]=√(1-x^2)
2.tan(arcsinx)
tan(arcsinx)=sin(arcsinx)/cos(arcsinx)=x/√(1-x^2)
3.sin(arctanx)
sin(arctanx)=tan(arctanx)cos(arctanx)=tan(arctanx)/sec(arctanx) 因为secx 在(-π/2,π/2)上是正的
=tan(arctanx)/√[1+tan^2(arctanx)]=x/√(1+x^2)
4.sin(arccosx)
因为sinx 在[0,π]上是正的
sin(arccosx)=√[1-cos^2(arccosx)]=√(1-x^2)
5.tan(arccosx)
tan(arccosx)=sin(arccosx)/cos(arccosx)=√(1-x^2)/x
双曲线函数
1
sinh(x )= (e x -e -x )
21
cosh(x )= (e x +e -x )
2
sinh x (e x -e -x ) /2e x -e -x
tanh x ==x -x =x -x
cosh x (e +e ) /2e +e
sinh ix (e ix -e -ix ) /2e ix -e -ix 2i sin x
tanh ix =====i tan x
cosh ix (e ix +e -ix ) /2e ix +e -ix 2cos x 双曲函数有时也写为sh ( ), ch ( ), th ( ),具体参见“双曲函数”。
三角形的基本定理
1.正弦定理: a b c
===2R 外
sin A sin B sin C
B
2.余弦定理:
a 2=b 2+c 2-2bc cos A , b
2+c 2-a 2
cos A =
2bc
排列组合
泊松方程和拉普拉斯方程
数列
等差数列求和公式:
S n =(a 1+a n ) n /2 S n =na 1+n (n -1) d /2
等比数列求和公式:
a 1(1-q n n )
S n =
1-q
双曲函数
双曲函数及反双曲函数
双曲函数
在应用中我们经常遇到的双曲函数是:(用表格来描述)
我们再来看一下双曲函数与三角函数的区别:
双曲函数也有和差公式:
反双曲函数
双曲函数的反函数称为反双曲函数. a) :反双曲正弦函数 b) :反双曲余弦函数
其定义域为:(-∞,+∞); 其定义域为:[1,+∞);
c) :反双曲正切函数 其定义域为:(-1,+1);
泰勒展开式
一、问题提出
1. 何谓泰勒展开式?有何意义? 2. 如何求泰勒展开式?
3. 泰勒展开式有哪些应用? 二、主要事实
1. 带皮亚诺余项的泰勒展开式
若f (x ) 在x =x 0处有直至n 阶导数,那么有
f (x ) =T n (x ) +o ((x -x 0) n ) (x →x 0) .
其中T n (x ) =f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0) +f ''(x 0)(x -x 0) /2!
2
+ +f (n ) (x 0)(x -x 0) n /n ! ,
称之为f 在x 0处的泰勒多项式.
注(i )(背景介绍)泰勒展开式(也称泰勒公式)最早以泰勒
级数的形式出现在泰勒(Taylor,1685-1731,[英])在1715年出版的著作《增量及其逆》中,泰勒没有给予证明. 现在的形式及其严格的证明是由柯西在十九世纪初才给出. 泰勒公式的特殊情形即x 0=0时的泰勒公式称为马克劳林(Maclaurin,1698-1746,[英])公式. (ii )带皮亚诺(Peano,1858-1932,[意])余项的泰勒展开式的实质是局部增量公式的深化. 即把局部地用“线性函数替代”改作“用多项式替代”,将产生一个高阶无穷小. 值得注意的事项是既使存在多项式P n (x ) 使得
f (x ) =P n (x ) +o ((x -x 0) n )(x →x 0) ,
也未必能保证泰勒多项式T n (x ) 存在.
例如考虑函数f (x ) =x n +1D (x ) (其中D (x ) 是狄利克雷函数)即可.
(iii )带皮亚诺余项的泰勒公式仅是一个定性估计式,但它在近似计算尤其是计算一些比较复杂的极限非常有效.
(iv )易见T n (i ) (x 0) =f
(i )
(x 0) (i =0, 1, 2, , n ) .
证 令R n (x ) =f (x ) -T n (x ) ,Q n (x ) =(x -x 0) n ,那么有
(i ) R n (x 0) =0,i =0, 1, 2, , n
(n ) (i )
(x 0) =n ! Q n (x 0) =0,i =0, 1, 2, , n -1;Q n
再对R n (x ) 与Q n (x ) 连续使用(n -1) 次罗比塔法则,再用一次n 阶导数的定义就可证得
R n (x ) R '(x )
=lim n =
x →x 0Q (x ) x →x 0Q '(x ) n n lim
f (n -1) (x ) -f (n -1) (x 0) -f (n ) (x 0)(x -x 0)
=lim
x →x 0n (n -1) 2⋅(x -x 0) f (n -1) (x ) -f (n -1) (x 0) 1
=lim [-f (n ) (x 0)]=0.
n ! x →x 0x -x 0
2. 带拉格朗日余项的泰勒公式
若f (x ) 在[a , b ]上有直至n 阶连续导数,而且f
(n +1)
(x ) 在(a , b ) 内存在,那么有
f (x ) =T n (x ) +R n (x )
其中R n (x ) =f (x ) -T n (x ) =1/(n +1)! f
(n +1)
(ξ)(x -x 0) n +1(ξ介
在x 0与x 之间),并称其为泰勒公式的拉格朗日余项.
注(i )(背景介绍)带拉格朗日余项的泰勒公式首次出现在拉格朗日在1813年出版的著作《解析函数论》中,该公式证明所用的常数变易法是拉格朗日首创的.
(ii )带拉格朗日余项的泰勒公式的实质是拉格朗日微分中值定理的深化,它是一个定量估计式,该公式在不等式证明、近似估算、微分不等式证明及较为复杂的极限计算中有着广泛的应用.
证 用常数变易法证之. 令
F (t ) =f (x ) -(f (t ) +f '(t )(x -t ) +f ''(t )(x -t ) 2/2!
+ +f (n ) (t )(x -t ) n /n ! )
G (t ) =(x -t ) n +1,
不妨设x 0
ξ∈(x 0, x ) ⊂[a , b ]使得
F (x 0) F (x 0) -F (x ) F '(ξ) f (n +1) (ξ)
===
'G (x 0) G (x 0) -G (x ) G (ξ) (n +1)!
再把t =x 0代入F (t ) 与G (t ) 的表达式重新整理即得.
3. 常见函数的马克劳林公式(带皮亚诺余项)
1
=1+x +x 2+ +x n +o (x n )(x →0) 1-x
121x
x + +x n +o (x n )(x →0) (2)e =1+x +2 ! n ! 1213
(3)ln(1+x ) =x -x +x -
23
(1)
(-1) n -1n +x +o (x n )(x →0)
n
(4)sin x =x -
1315
x +x + 3 ! 5 !
(-1) m -12m -1
+x +o (x 2m )(x →0) (2m -1)!
(5)cos x =1-
1214
x +x + 2 ! 4 !
(-1) m 2m +x +o (x 2m +1)(x →0) (2m )!
(6)(1+x ) =1+αx +
α
1
α(α-1) x 2+ 2 !
+
1
α(α-1) (α-n +1) x n +o (x n )(x →0) n !
注(i )上述公式可直接通过求被展开函数的高阶导数获得, 这种求展开式的方法称之为直接法. 如果通过函数的四则运算、变量代换(函数的复合运算),利用已知的展开式求展开式的方法称为间接展开法,在实际应用中普遍使用间接法.
(ii )上述公式如果改作带拉格朗日余项只须注意到各个函数的n 阶导数表达式及余项的表示方式即可.
三、例题选讲
1. 求泰勒(马克劳林)展开式例题选
例1 求函数f (x ) =ln x 在x =2处的泰勒展开式(带皮亚诺余项).
(+(x -2) /2) 解 ln x =ln(x -2+2) =ln 2+l n 1
=ln 2+
11
(x -2) -(x -2) 2+ 222⋅2
(-1) n -1n n
+(x -2) +o ((x -2) )(x →2) n
n ⋅2
例2 求下列函数的马克劳林展开式(到x 项) (1)f (x ) =e x ln((2)f (x ) =1+x ) ,(3)f (x ) =x /(e -1) 解(1)e ln(1+x )
x
x
4
cos x ,
x 2x 3x 2x 3x 43
=(1+x +++o (x ))(x -+-+o (x 4))
2! 3! 234=x +
121314
x +x -x +o (x 4)(x →0) . 236
(2)f (x ) =+(cosx -1)
=1+(cosx -1) /2-(cosx -1) 2/8 +o ((cosx -1) 2)(x →0)
cos x =1=-
1214
x +x +o (x 4) (x →0) 2! 4!
f (x ) =1-
1214x -x +o (x 4) (x →0) 496
(3)补充f (0) =1. 设
f (x ) =a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+o (x 4)(x →0)
e x -1=x +
121314
x +x +x +o (x 4) (x →0) 2 ! 3 ! 4 !
代入相乘再比较两边的系数可得
111
. a 0=1,a 1=-,a 2=,a 3=0,a 4=-
212720
例3 写出f (x ) =e
-x 2
2
的马克劳林公式,并求f
(98)
(0) 与
f (99) (0) .
解 e
-x 2/2
=1-
121x +x 4+ 22⋅2 !
(-1) n 2n +n x +o (x 2n )(x →0) . 2⋅n !
1(98) (-1) 491f (0) =49, f (99) (0) =0.
98 ! 2⋅49 ! 99 !
小量展开
(此公式来源于网络,没查到更多的资料)
f (x +dx ) =f (x ) +f x (x ) dx
f (x +∂x , y +∂y ) =f (x , y ) +f x (x , y ) ∂x +f y (x , y ) ∂y 其中f x , f y 是f 对x , y 的偏微分。例如:
sin(θn +∂θn ) =sin θn +cos θn ∂θn
sin(θn +∂θn -θn -1-∂θn -1) =sin(θn -θn -1) +cos(θn -θn -1) ∂θn -cos(θn -θn -1) ∂θn -1