绝对值及有理数大小的比较

绝对值及有理数大小的比较

一、教学内容 本讲我们主要学习有理数的意义, 具体地有： 1. 绝对值； 2．有理数大小的比较． 二、重点、难点剖析 1．绝对值

什么叫一个数的绝对值？

从代数角度看，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。＋3.5的绝对值是3.5；-3.5的绝对值是3.5，0的绝对值是0．

从几何角度看，一个数的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．-2离开原点两个长度单位，＋2离开原点两个长度单位，所以＋2，-2的绝对值都是2．

用什么符号表示一个数的绝对值呢？通常在一个数的两旁各画一条竖线，即加上“ ‖”（叫做绝对值符号）的方法表示这个数的绝对值．例如： |+3.5|=3.5（读作：正3.5的绝对值等于3.5）． |-2|=2（读作：负2的绝对值等于2）． |0|=0（读作：零的绝对值等于0）． 由此可知:

1.去掉原数的性质符号就得原数的绝对值，规定零的绝对值就是零； 2.互为相反数的两个数绝对值相等； 3.有理数的绝对值都是非负数。

如果用字母a 表示有理数，则数a 绝对值要由字母a 本身的取值来确定了： 当a 是正有理数时，a 的绝对值是它本身a ；

当a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数-a ； 当a 是零时，a 的绝对值是零．即

(a >0) ⎧a 　　⎪

(a =0) a =⎨0　　⎪-a 　⎩(a

也可归纳为下述两种形式： a =⎨

(a ≥0) (a 0) ⎧a 　　⎧a 　　

或a =⎨

(a

2．有理数的大小比较

怎样比较两个有理数的大小？我们可以借助于数轴这个工具．在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大．

由此，我们也可得到有理数大小比较的法则： 1.正数都大于0； 2.负数都小于0；

3.正数大于一切负数；

4.两个负数，绝对值大的其值反而小． 例４ 比较下列各组数的大小： （1）-

3645

和-； （2）-和-； 741913

（3）已知a >b >0,试比较-a 和-b 的大小．

20332155∣= =, ∣-∣= = [1**********]1 ∵＜

2828

35

∴ －＞ -, （两个负数，绝对值大的反而小）．

7466124412

(2)∣-∣ = =,∣-∣= =, [**************]2 ∵＞

3849

64

∴ －＜ －, （两个负数，绝对值大的反而小）

1913

解 (1) ∣- (3) ∵ a ＞ b ＞ 0，∴-a ＜ 0,-b ＜ 0,

|-a | =a , |-b | = b , 又∵ a ＞ b , ∴ -a ＜ -b .

此题若借助于数轴, 则非常容易得出结论。

∵ a ＞ b ＞ 0，∴表示a ，b 的点均在原点右边，且表示数a 的点在表 示数b 的点的右边。

∵ 互为相反数的两个数分别在原点两旁且到原点的距离相等 ∴ 表示 –a 的点在表示 –b 的点的左边 ∴ -a

专题训练 一、选择题

(1)若│x │=-x，则x 一定是( )。

A. 负数 B.正数 C.负数或零 D.零 (2)下列结论中，正确的是( )。

A.-a 一定是负数 B.-│a │一定是非正数 C. │a │一定是正数 D.-│a │一定是负数

(17)若有理数a 、b 在数轴上对应点如右图所示，则下列错误的是( )。

A. │b │＞-a B.│a │＞-b C.b ＞a D.│a │＜│b │

(18)若│a │+│b │=0，则a 与b 大小关系一定是( )。

A.a=b=0 B.a与b 不相等 C.a 、b 互为相反数 D.a、b 异号

二、判断题

1．互为相反数的两个数的绝对值相等； （ ） (2)-│-5│=-(-5) ( ) (3)负数没有绝对值。 ( )

(4)因任何数的绝对值都不是负数，所以任何数的绝对值一定是正数。( ) (5)绝对值最小的有理数是0。 ( ) (6)1是绝对值最小的整数。 ( ) (7)绝对值小于1

1

的整数只有1。 ( ) 2

三、填空

1.3的绝对值是 ,-3的绝对值是 ,绝对值是3的数有 ； 2.绝对值是它本身的数有 ,绝对值是它相反的数 有 ；

3.绝对值小于5的负整数有 ；绝对值小于5的正整数有 ；绝对值小于5的整数有 ；

4. 有理数中, 绝对值最小的数是 ；

5．如果

| a |

=-1，那么a 0。 a

6.用“ ＞ ”、“＜”号填空： -8 -6；0 -18；+0.01 0；； 四、解答下列问题：

1．两个数的绝对值相等，这两个数一定相等吗？举例说明； 2．两个数不相等，它们的绝对值能相等吗？举例说明；

3．大于负数的整数中，哪一个数最小？小于正数的整数中，哪个数最大？

4．甲潜水艇所在的高度是-120m ，乙潜水艇所在的高度是-90m ，哪艘潜水艇所在的高度高？高多少米？

5. 比较下列各对数大小：(1)-3.14和-3.145；(2)-(+0.5)和-｜+50｜

6.(1)在数轴上表示下列各数，并用“＞”号连接：-3,-(-2),-｜-1.5｜,-［+(-4)］ （2）写出下列各数的相反数-2、1、3.5、

1

、0，把这些数和它们的相反 数用数轴上3

的点表示，并用“＜”号连接。

7. 已知：若a ＞0，b ＜0，│b │＞│a │，试把a 、-a 、b 、-b 四个数用“＜”号按从小到大的 顺序连接起来。 五、【创新能力训练】

1. 若｜a ｜=3，｜b ｜=4,且a ，b 同号，求｜a+b｜的值 2. 有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如右图所示 化简：-3｜c ｜+4｜b ｜+2｜b-a ｜ 六、【实践能力训练】

绝对值小于3的整数有几个? 它们分别是什么? 在数轴上将它们表示出来。

中考考点 1．了解绝对值的概念，会求有理数的绝对值。 2．掌握有理数大小比较的法则，会利用绝对值比较两个负数的大小。 考点讲解

1．绝对值的意义：

（1）几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。距离是一个非负的数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负的数，所以若a 是有理数，则|a |≥0。

（2）代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。这个意义可用式子表示为：

(a >0) ⎧a 　　

(a ≥0) ⎧a 　　⎪

(a =0) 或 a =⎨ a =⎨0　　

(a

绝对值的几何意义可以通过数形结合使我们加深对绝对值概念的理解，如两个互为相

反数的数分别在原点的两旁，与原点的距离相等，所以它们的绝对值相等。而绝对值的代数意义应用比较方便，常用它求一个数的绝对值和进行含绝对值式子的化简。其中理解当a

考题例析 1．（20001 长沙市）|- 考点：绝对值。 评析：根据绝对值的意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它本身的相反数，0的绝对值是0。直接求可得答案为3，要注意去掉绝对值符号的条件。

|x |=3，|y |=2，2．（2001年 河北省）已知：且xy

考点：绝对值的意义

评析：思路∵x·y

考点：绝对值 评析：由|a |=⎨

⎧a (a >0)

可知：首先判断x-2的取值符号再化简。

⎩-a (a

4．(2001年 吉林省) 如果|x -3|=0，那么x=__________。

考点：绝对值的意义。

评析：思路，因绝对值的结果是0，那么x －3=0,∴x=3. 5、（2001 河南）-|-5|=_______。 考点：绝对值、相反数 6、（2001 呼和浩特）若|m|=-m, 则m 是_______。 考点：绝对值的意义

评析：根据绝对值的意义|a|=⎨

⎧a (a ≥0)

, 可知m 是非正数。

-a (a

真题实战

1．（2001 石家庄市）比较大小：－－1.67。 2．（2001 徐州市）-5；2的相反数是3、（12001 河北）若a

4

的倒数是 ； 5

33

是-的相反数 55

2

2

B 、a +b的意义是a 与b 的和的平方 C 、|a|=-a D、-8>-3 5、（2001 广州）|-2|+|2|=（ ） A 、0 B、4 C、-4 D、±4

6．（2001 北京市海淀区）－6的绝对值是（ ） A -6; B 6; C -; D

7.( 2001 黑龙江省哈尔滨市) 若a ＜0，则2a+5｜a ｜等于（ ） A ．7a B．－7a C．－3a D．3a

16

16

2.5 有理数的大小比较

一、课内训练: 1．比较-

34

和-的大小． 45

1

，0.5的大小，应有（ ） 51111

A．->-0.5>0.5 B．0.5>->-0.5 C．-0.5>->0.5 D．0.5>-0.5>-

5555

22

3．将有理数0，-3.14，-，2.7，-4，0.14按从小到大的顺序排列，用“

2．比较-0.5，-起来．

4．把-3.5，│-2│，-1.5，0的绝对值，3 5．比较- 6．设a=-

7．在有理数-π，0，│-（-3

1

，-3.5•的相反数按从大到小的顺序排列起来． 3

5

与0.626363． 8

191919

，b=-，试比较a ，b 的大小． 919191

1

）│，-│+1000│，-（-5）中最大的数是（ ） 3

A．0 B．-（-5） C．-│+1000│ D．-π 8．比较下列每对数大小：

（1）-（-5）与-│-5│； （2）-（+3）与0；

（3）-

43

与-│-│； （4）- 与-│3.14│． 54

二、课外演练: 1．在7，-6，-

12

，0，-，0.01中，绝对值小于1的数是________． 43

2．绝对值最小的有理数是_______，绝对值最小的负整数是________．

3．│-2005│的倒数是________．

4．若a│b │，那么a ，b 的大小关系是________． 5．比较下列各组数的大小． （1）- （3）-3

333与-0.76； （2）-与-； 41011

13与-3； （4）-│-3.5│与-[-（-3.5）]． 310

6．下列判断，正确的是（ ）

A．若│a │=│b │，则a=b B．若│a │>│b │，则a>b C．若│a │

7．已知有理数a 为正数，b 、c 为负数，且│c │>│b │>│a │，用“

8．某工厂生产一批零件，根据零件质量要求“零件的长度可以有0.2厘米的误差”．现抽查5个零件，检查数据如下（超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记为负数）：

从表中可以看出，符合质量要求的是_______，它们中质量最好的是_______． 9．（1）表示负数的点都在原点______侧；绝对值越大的负数，•表示它离原点就越________，因此，两个负数，绝对值大的反而_______；

（2）大于-2且小于7的整数是______，其中偶数是_______． （3）相反数大于-3的正整数是________．

（4）绝对值大于2且小于7的整数有_______．

10．设a 是最大负整数的相反数，b 是最小自然数，•c•是绝对值最小的有理数，•则a 、b 、c 三个数的和为（ ）

A．1 B．0 C．-1 D．2 11．阅读下列文字，然后回答问题:

在小学里，我们就知道，要比较两个分数的大小，可将它们都化成小数来比较．另外，两个正分数，分母相同，分子大的分数较大；分子相同，分母大的反而小．[A]•现在我们知道，两个负数比较时，绝对值大的反而小．[B] （1）根据[A]前面的文字，你有几种方法比较

（2）根据[B]前面的文字，若要比较-是_______（•填“>”、“

68

与的大小？ 79

6868

与-的大小，应先比较-______-，结论7979

[1**********]4

，b=，c=，比较a ，b ，c 的大小．（提示：用整数1分别减去[1**********]5

a ，b ，c ）

答案：

一、课内训练:

1．解法一：利用绝对值知识 因为|-

334434|=，|-|=，

34

>-． 45

所以根据两个负数，绝对值大的反而小，可得-

解法二：利用数轴，把它们表示在数轴上（如图所示）．

根据右边的数总比左边的大，可得：-

34

>-． 45

提示：比较两个有理数的大小可用有理数的大小比较法则，也可利用数轴． 2．B 3．-4

22

提示：涉及多个数的大小比较时，可先将它们分三类：正数，0，负数，•因为正数都

大于0，负数都小于0，正数的大小比较我们在小学就已学过，•故本题的关键是几个负数的大小比较．应用本节学习负数的大小比较方法，则问题就迎刃而解了．•在比较时应注意分数与小数的互化．

4．│-3.5│>│-2│>│-1.5│>0>-35．

1 3

55

>-0.626363 提示：将化为小数． 88

191919⨯1011919

6．∵│a │===，│b │=，∴│a │=│b │，而a

91919191⨯10191

7．B 提示：先将各数化简，再比较．

8．解：（1）化简，得-（-5）=5，-│-5│=-5．因为正数大于一切负数，

所以-（-5）>-│-5│；

（2）化简，得-（+3）=-3，因为负数小于零，所以-（+3）

33

│=-．这是两个负数大小比较， 44

[1**********]5因为|-|==，│-│==，且>，

[1**********]043

所以-

54

（4）化简，得-│-3.14│=-3.14，•这是两个负数比较大小． 因为│-π│=π，│3.14│=3.14， 又因为π>3.14，所以-π

提示：本题应先化简符号，再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数”，还是“两个负数”，然后比较． 二、课外演练:

12

，0，-，0.01 导解：绝对值小于1的数应在-1到1之间． 43

1

2．0 -1 3．

2005

1．-4．a （2）│b │，所以有c0，b│a │，所以-b>a，它们在数轴上表示如图所示．

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大小关系为c9．（1）左 远 小 （2）-1，0，1，2，3，4，5，6 0，2，4，6 （3）1，2 （4）±3，±4，±5，±6

10．A 导解：a=-（-1）=1，b=0，c=0 11．（1）答：有三种方法，方法一：化成小数，从高位到低位逐个比较：

因为

6868

=0.85„，=0.88„，所以

方法二：化为同分母分数，看分子大小来判断：因为

65485668

=，=，所以

方法三：化为同分子数，看分母大小判断：因为=，=，所以

72892779

68

（2）与的大小 >

79

12．a