大一数学分析复习题

数列极限练习题

3n 3+2

1. lim =_____

n →∞2n 3+n

n +1

2. lim =_____

n →∞3n 2+n

(-5) n +3n +2

3. lim =_____

n →∞(-5) n +1+3n

4. lim =______

n →∞

1-2+3-4+.... +(2n -1) -2n

5. lim =_____

n →∞n -1

(-2) n +1

6. lim =______

n →∞1-2+4-... +(-2) n -1n 2-3

-n ) =______

n →∞n +2

111⎤⎡1

8. lim ⎢-++.... +(-1) n -1n ⎥=______

n →∞9273⎦⎣37. lim(

⎛n 2+1⎫9. lim -an -b ⎪=0, 则a =____,b =_____

n →∞

⎝n +1⎭

n

10.(1) 若lim(1-2x ) 存在, 则实数x 范围_____

n →∞

(2)已知无穷等比数列的各项和是4, 则首项a 1的取值范围是__11. 已知lim(2a n +b n ) =5, lim (a n -3b n ) =-1, 求lim(a n ⋅b n ) 的值

n →∞

n →∞

n →∞

1⎧

1≤n ≤3⎪⎪n (n +1)

12. 若a n =⎨

⎪3⋅1n ≥4⎪⎩2n -1

(1) lim a n (2)lim S n

n →∞

n →∞

S n 为数列{a n }的前n 项和, 求

13. 数列{a n }为等比数列, a 1+a 2=9, a 1a 2a 3=27, 前n 项和为S n , 求lim S n

n →∞

14. 数列{a n }为等比数列, a 1=-1, 前n 项和为S n , 求lim S n

n →∞

S 1031

=, S 532

15. 已知a ∈R +, 且3n +1-2a n

lim =4lim n →∞n →∞3n +2a n 求a 范围

1111⎤⎡

1-+-+.... +(-1) n -1n -1⎥, ⎢39273⎣⎦

a n

=2, b n

16. 数列{a n },{b n }都是公差不为0的等差数列, lim 求lim

a 1+a 2+... +a n

nb 2n

n →∞

n →∞

17. 数列{a n }为无穷等比数列, a 1=1, a n =k (a n +1+a n +2+...) 求实数k 的范围18. 数列{a n }是公比为q (q >0) 的无穷等比数列, a 1=a , 前n 项和为S n , 求lim

n →∞

S n S n

, lim 2

S n +1n →∞a 1+a 22+... a n 2

19. 无穷等比数列{a n }公比为q , 前n 项和为S n , lim

n →∞

a n +1

=q -1, 求q 范围S n

1+a 2+a 4+... +a 2n

20. 求lim

n →∞a +a 3+a 5+... +a 2n -121. 等比数列{a n }公比为q , lim(

n →∞

a 11

-q n ) =

1+q 2

求a 1取值范围

22. 数列{a n }前n 项和为S n , 且S n =1-(1) lim S n

n →∞

(2)lim(a 1S 1+a 2S 2

n →∞

2

a n , 求3

+... +a n S n )

23. 设正数等比数列{a n },a 2=4, a 4=16, 求lim

lg a n +1+lg a n +2+... +lg a 2n n →∞n 224. 数列{a n }前n 项和为S n , a n =5S n -3, 求

n →∞

lim(a 1+a 3+... +a 2n -1) 25. 已知函数f (x ) =x -(1) 求反函数f

-1

+2(x ≥2)

(x )

-1

(2)若正数数列{a n }前n 项和S n 对所有大于1的自然数n 都有S n =f (3)设C n

n →∞

(S n -1) 且a 1=2, 求{a n }通项公式

a n +12+a n 2

=又设数列{C n }前n 项和为T n ,

2a n +1a n

求lim(T n -n ) 的值

方法一：应用数列极限的定义(证明题)

用定义求数列极限有几种模式：

∀ε>0，（1）作差

（2）将

a -a ，解方程a -a f (ε)，则取N =f (ε)或N =f (ε)+1,

n

n

a

n

-a 适当放大，解出n >f (ε)；

（3）作适当变形，找出所需N 的要求。

方法二：常用方法：约去零因子求极限，分子分母同除求极限，分子(母) 有理化求极限

{a }{, b }都以a 为极限，数列{c }满足：存在正整数N , 当

n >N 时有： a ≤c ≤b 则数列{c }收敛，且lim c =a 。

方法三（迫敛性）设收敛数列

n n n 0

n n n n

n →∞

n

方法四：（单调有界定理）在实系数中，有界的单调数列必有极限。

sin x 11

=1和lim (1+) x =lim (1+) n =lim (1+x ) x =e 方法五：两个重要极限是lim

x →0x →∞n →∞x →0x x n

方法六：（柯西收敛准则）数列N ，使得当n ，m >N 时，有

1

{a }收敛的充要条件是：对任给的ε>0，存在正整数

n m

a -a

n

≤ε

方法七：Stolz 定理：设n>N时，（l 为有限数或无穷大），则

y

n

y

n +1

且

lim y

n →∞

n

=+∞，若lim

n →∞

--n n

n -1n -1

=l

lim n →∞

n n

=lim

n →∞

--n n

n -1n -1

=l

方法八：形如

x

n +1

=f (x n ) 数列极限

方法九：用等价无穷小量代换求极限（等价无穷小量代换, 只能代换极限式中的因式），．．常见等价无穷小有：当x →0 时, x ~sin x ~tan x ~arcsin x ~arctan x ~ln(1+x ) ~e -1,

x

1-cos x ~

12b

x , (1+ax )-1~abx ； 2

g (x )

方法十：用罗必塔法则求极限，用对数恒等式求lim f (x ) 数极限求解。

算术－几何－调和平均不等式： 对∀a 1, a 2, , a n ∈R +, 记

极限，数列极限转化成函

a 1+a 2+ +a n 1n

M (a i ) = = ∑a i , (算术平均值)

n n i =1

G (a i ) =a 1a 2 a n = H (a ) =

i

n

++ +a 1a 2a n

⎛

⎫

a ∏i ⎪⎪, (几何平均值) ⎝i =1⎭

=

111∑n i =1a i

n

n

1n

=

n 1∑i =1a i

n

. (调和平均值)

有均值不等式: H (a i ) ≤ G (a i ) ≤ M (a i ), 等号当且仅当a 1=a 2= =a n 时成立. （3） Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 对∀x >0, 由二项展开式 (1+x )

n

=1+nx +

n (n -1) 2n (n -1)(n -2) 3

x +x + +x n , 2! 3!

(n >1)

⇒(1+x ) n >1+nx ,

（４）Cauchy －Schwarz 不等式: ∀a k , b k (k =1, 2, , n ), 有

⎛n ⎫⎛n ⎫

∑a k b k ⎪≤ ∑a k b k ⎪≤

⎝k =1⎭⎝k =1⎭

（５）∀n ∈N ，

22

∑a ∑b

2

k k =1

k =1

n n

2k

111

11

1+2+3+ +n =n (n +1) ； 12+22+32+ +n 2=n (n +1)(2n +1)

26

13+23+33+ +n 3=

112

n (n +1) 2； 14+24+34+ +n 4=n (n +1)(2n +1)(3n 2+3n -1) 430

15+25+35+ +n 5=

6

12

n (n +1) 2(2n 2+2n -1) ； 12

1+26+36+ +n 6=

1

n (n +1)(2n +1)(3n 4+6n 3-3n +1) 42

1

7

+27+37+ +n 7=

12

n (n +1) 2(3n 4+6n 3-n 2-4n +2) 24

2+4+6+ +2n =n (n +1) 1+3+5+ +(2n -1) =n 2

1+3+5+ +(2n -1) =

2

2

2

2

1

n (4n 2-1) 13+33+53+ +(2n -1) 3=n 2(2n 2-1) 3

导数微分及应用习题

判断:

1、若f (x ) 可微，且为[-l , l ]上的偶函数，则f '(x ) 必为[-l , l ]上的偶函数；（ ） 2 若 f (x ) 是[-l , l ]上的奇函数，则f '(x ) 必为[-l , l ]上的偶函数；（ ） 3、如果函数y =f (x ) 在x 0点 的左、右 极限都存在，则函数在x 0点的极限存在（ ） 4、若函数f (x ) 在点x =x 0连续，则f (x ) 在x 0点可导 ； （ ） 5、若函数f (x ) 在点x =x 0连续，则f (x ) 在x 0点的极限一定存在；（ ） 6、若函数f (x ) 在点x =x 0可微，则f (x ) 在x 0点可导 ； （ ）

7、如果函数y =f (x ) 在 x 0点 的左、右 极限都存在，则f (x ) 在x 0点可导 ；（ ） 8、若函数f (x ) 在点x =x 0连续，则函数y =f (x ) 在 x 0 点 的左、右 极限都存在且相等；（ ）

9、若f (x ) 在x 0点不可导，则函数f (x ) 在点x =x 0一定不连续；（ ） 10、若函数f (x ) 在点x =x 0不可微，则f (x ) 在x 0点不可导 ； （ ） 11、若函数f (x ) 在点x =x 0不可微，则f (x ) 的左、右 极限一定不存在；（ ） 12、设函数f (x ) 在x 0点可导，导数为f '(x 0) ，则lim

f (x 0) -f (x 0-∆x )

=-f '(x 0) （ ）

∆x →0∆x

13、设函数f (x ) 在x 0点可导，导数为f '(x 0) ，则lim

f (x 0+∆x ) -f (x 0-∆x )

=f '(x 0) （ ）

∆x →02∆x

14、设函数f (x ) 在x 0点可导，导数为f '(x 0) ，则lim 15、函数y =x -在x =1处不可导；（ ） 16、函数y =x -在x =1处不连续；（ ） 17. 若f '(x 0) 存在，且f '(x 0) ≠0，则lim

f (x 0+2∆x ) -f (x 0)

=f '(x 0) （ ）

∆x →0∆x

f (x 0+∆x ) -f (x 0)

=1 （ ）

∆x →0

f '(x 0) ⋅∆x

18、若f (x ) 在[a , b ]上可导，则f (x ) 在[a , b ]上有界； （ ）

19、若f (x ) 在x 0点导数不存在，则曲线y =f (x ) 在(x 0, f (x 0)) 点处没有切线；（ 20、曲线y =cos x 上点⎛ π⎝3, 1⎫

2⎪⎭

处的法线的斜率为23；（ ）

21. 设y =f (x ) 在x =x 0可微，则当∆x →0时，

f (x 0+∆x ) -f (x 0) -f '(x 0) ∆x 是关于∆x 高阶的无穷小；（ ） 22、若lim

f (x ) -f (a )

x →a

(x -a ) 2

=l (0

（ ） 23、若m i l

f (x ) -f (a )

x →a

(x -a )

2

=l (0

f (x ) -f (a )

x →a

(x -a )

2

=l (0

π2，则y '=1x +cos π

2

； （ ） 1. 设f (x ) 在x =x '(x 0+h ) -f '(x 0-h )

0的某个邻域内具有二阶连续导数，则h lim

f →0

h

=（ A 、0； B、f '(x 0) ； C、f ''(x 0) ； D、2f ''(x 0) ；.

2、设ϕ(x ) 在x 0的邻域内连续，且有f (x ) =(x -x 0) ϕ(x ) ，则f '(x 0) =（ A 、0； B、ϕ(x 0) ； C、ϕ'(x 0) ； D、∞. 3. 设f '(sin2x ) =cos 2x ，则f (x ) =（ ）.

）

） ） ）.

.

）

x 2

+c . A 、sin x ； B、cos x +c ； C、1-x +c ； D、x -2

2

2

4. 设f (x ) 在x =1点处可微，f (e x ) =e 2x +1，则lim f (x ) =（ ）.

x →1

A 、2； B、1； C、0； D、e 2+1. 5. 设y =e f (x ) ，其中f (x ) 为二阶可导函数，则y ''=（ ）.

A 、e f (x ) ；B 、e f (x ) [f '(x ) +f ''(x )]；C 、e f (x ) [(f '(x )) 2+f ''(x )]；D 、e f (x ) [f '(x )]2. 6. 如果在区间(a , b ) 内，f '(x ) =ϕ'(x ) ，则在(a , b ) 内f (x ) 与ϕ(x ) （ ）. A 、仅相差一个常数； B、完全相等；C 、均为常数； D、7. 设f (x ) 为可导的偶函数，则f '(x ) 为（ ）.

A 、偶函数； B、可能是偶函数； C 、奇函数； D、非奇非偶函数.

8、设f (x )在x =x 0处可导，则 lim

h →0

f (x )

=c (c 为常数）. ϕ(x )

f (x 0+ah ) -f (x 0-bh )

=（ ）.

h

A 、0； B、(a +b ) f '(x 0) ； C、(a -b ) f '(x 0) ； D、f '(x 0) . 9、设f '(x 0) =3，则lim

f (x 0-∆x ) -f (x 0)

=（ ）.

∆x

∆x →0

A 、－3； B、3； C、0； D、∞. 10、设f (x )在区间(a , b ) 内连续，x 0∈(a , b ) ，则在点x 0处f (x )（ ）.

A 、极限存在且可导； B、极限不存在，但可导； C 、极限存在，但不一定可导； D、极限不一定存在.

⎧x 2, x

11. 设f (x )=⎨，则在x =0处f (x )（ ）.

⎩x , x ≥0A 、 无定义；B 、不连续；C 、连续且可导；D 、连续但不可导.

⎧e ax , x ≤0

12、设f (x )=⎨，在x =0可导，则必有（ ）. 2

⎩b (1-x ) , x >0

A 、a =2, b =1； B、a =b =1； C、a =b =2； D、a =-2, b =1. 13、y =x ，则在x =0处f (x )的导数f '(0) =（ ）.

A 、0； B、－1； C、不存在 ； D、1. 14、可微的周期函数其导数（ ）.

A 、一定是周期函数，且周期不变； B、一定是周期函数，但周期可能发生变化；C 、不一定是周期函数； D、一定不是周期函数.

1

15、设f (x )为可微的偶函数，且对任意的x 0(x 0≠0), f '(x 0) =，则f '(-x 0) =（ ）.

2

11

A 、； B、-； C、2； D、－2.

2216. 曲线y =x 2-4x 上，切线平行于直线2x -y +3=0的点的坐标为（ ）.

A 、（1，－3）； B、（3，－3）； C、（－1，5）； D、（2，0）. 17、设y =f (lnx ) ，其中f (u ) 为可微函数，则y ''=（ ）.

1

； x 2111

C 、f ''(lnx ) -2f '(lnx ) ； D、2[f ''(lnx ) -f '(lnx )].

x x x

A 、f ''(lnx ) ； B、-

18、设y =x ln x ，则y (10) =（ ）. A 、-

118! 8!

-； B、； C、； D、. x 9x 9x 9x 9

19. 设f (u ) 为可微函数，若y =f (cos2x ) ，则dy =（ ）.

-sin 2xdx ；2f '(cos2x ) dx ；A 、 B、C 、 D、[f (cos 2x )]'d cos 2x ；-2f '(cos 2x )sin 2xdx .

1

20、下列函数中导数等于sin 2x 的是（ ）.

2

1111

A 、cos 2x ； B、sin 2x ； C、cos 2x ； D、cos 2x .

2224

21、曲线y =x 2+x -2在点M 处的切线与直线x +4y +3=0垂直，则此曲线在点

M 处的切线方程为（ ）.

16x -4y -17=0；16x +4y -21=0；2x -8y +11=0；2x +8y -17=0. A 、B 、C 、 D、

⎧x =arctan t d 2y

22. 设⎨，则2=（ ）. 2

dx ⎩y =ln(1+t )

22(1-t 2) 2

A 、； B、2(1+t ) ； C、2； D、. 22

1+t 2(1+t )

23、设y =2+x 2-x ) ，则y ''=（ ）.

A 、-

x 2+x

2

； B、-

x (2+x 2)

32

； C、

x 2+x

2

； D、

x (2+x 2)

32

.

24、下列函数中在点x =0连续且可导的是（ ）.

A 、f (x ) =3x 2； B、f (x ) =sin x ；

⎧xe x , x

C 、f (x ) =⎨； D、f (x ) =⎨2.

x ≥0⎩x -1, x

A 、e -y ； B、1； C、

1-y

； D、0. e y

d 2y ⎛1⎫

26. y =xf ⎪其中f 为可微函数，则2=（ ）.

dx ⎝x ⎭

A 、-

1111⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫

；B 、-2f '' ⎪；C 、3f '' ⎪；D 、-3f '' ⎪. x x x x ⎝x ⎭⎝x ⎭⎝x ⎭

27. 设 lim

x →a

f (x ) -f (a )

=l ，其中l 为有限值，则f (x )在x =a 处（ ）. 2

(x -a )

A 、可导且f '(a ) =0； B、可导但f '(a ) ≠0；C 、不一定可导； D、肯定不可导. 28. 曲线y =x 2+x -4在点M 处的切线斜率为3，则M 点的坐标为（ ）.

A 、（1，0）； B、（0，1）； C、（1，3）； D、（1，－2）. 29、设y =ln(1-x 2) +-a 2，则dy =（ ）.

⎛1⎛2x 2x 1⎫1 ⎪ -dx +dx +A 、 ； B、； C、22 1-x 22⎪1-x 1-x 2-a -a 2⎝⎭⎝

⎫2x

⎪dx ； D、-. 2⎪1-x ⎭

30. 设ϕ(u ) 具有二阶导数，y =x ϕ(x )，则y ''=（ ）.

A 、ϕ''(x )； B、x ϕ''(x )+ϕ'(x )； C、x ϕ''(x )+x ϕ'(x )； D、x ϕ''(x )+2ϕ'(x ).

⎧ln(1-x 2)

⎪, 31、函数f (x )=⎨x ⎪0, ⎩

x ≠0，则f (x )在x =0处（ ）.

x =0

A、间断； B、连续但不可导；C 、连续且导数为0；D 、连续且导数为－1.

⎧e ax , x ≥0

32. 设f (x )=⎨，在x =0可导，则a , b 的值为（ ）.

⎩b +sin 2x , x

A 、a =0, b =1； B、a =-2, b =1； C、a =2, b =1； D、a =1, b =2.

⎧x =ln t +e 2

d 2y ⎪

33、⎨1，则2|t =1=（ ）.

dx 2⎪y =

1-t ⎩

33

A 、； B、-； C、6； D、－6.

88

34. 若f (x ) 在x 0处不可导，则f (x ) 在x 0点（ ）.

A 、无意义； B、左、右极限不相等； C、不一定可导； D、不可微.

⎡⎛1⎫2tx ⎤

35、若f (x ) =lim ⎢x ⋅ 1+⎪⎥，则f '(x ) =( ).

t →∞

⎢⎣⎝t ⎭⎥⎦

A 、(2x +1) e 2x ； B、e 2x ； C、(x +1) e 2x ； D、xe 2x .

1

，且f (0) =0，则f (x ) =（ ）. x e 1111

A、(e x -x ) 2； B 、e x +x -2； C、e x -x ； D、-e x +x ．

e e e e

36. 若f '(x ) =e x +

37、设函数f (x ) =lim (1+tx ) ，则f '(0) =（ ）.

t →0

1

t

1

A 、-1； B、e ； C、1； D 、．

e

1⎧2

⎪x sin , x ≠0

38. f (x ) =⎨，在x =0处（ ）. x

⎪x =0⎩0,

A 、不可导； B、连续且可导； C、不连续但可导； D、不连续.

⎧x , x >0

⎪

39、设f (x ) =⎨0, x =0，则f (x ) 的有关论证正确的是（ ）.

⎪-x , x

A 、f (x ) 在点x =0处可微； B、f '(x ) =⎨0,

⎪-1, ⎩

x >0x =0， x

⎧1, ⎪

C 、f (x )=⎨不可导,

⎪-1, ⎩

x >0

x =0， D、f (x ) 在点x =0处可导. x

40. 设y =x n +a 1x n -1+a 2x n -2+ +a n （其中 a 1, a 2, , a n 为常数），则y (n +1) =（ ）.

A 、n ! ； B、0； C、1； D、x .

41、设y =x n +a 1x n -1+a 2x n -2+ +a n （其中 a 1, a 2, , a n 为常数），则y (n ) =（ ）.

A 、n ! ； B、0； C、1； D、x . 42. 设f (x ) =e

1

2

-

x 22

，则lim

x →1

f (x ) -f (1)

=（ ）.

x -1

-12

12

A 、-e ； B、-e ； C、e ； D、0.

1⎧

⎪x sin , x ≠0

43. 设函数f (x ) =⎨，则函数f (x ) 在x =0处（ ）. x

⎪x =0⎩0,

A 、不连续； B、连续，不可导；

C 、可导，但不连续； D、可导且导数也存在.

⎧x =a (t -sin t ) d 2y

44、设⎨，则2=（ ）.

dx ⎩y =a (1-cos t )

A 、

sin t -11-1

；B 、；C 、；D 、. 2

1-cos t 1-cos t 1-cos t a (1-cos t )

⎧x , x

45. 已知函数f (x ) =⎨3，则函数f (x ) 在点x =0处的导数（ ）.

⎩x , x ≥0

A 、f '(0) =0； B、f '(0) =1； C、f '(0) =3； D、不存在. 46. 设f (x ) =ln x 2，则[f (2) ]'=（ ）.

A 、

11

； B、； C、1； D、0. 24

47. 设y =(x +1)(x +2) 2(x +3) ，则f '(-1) =（ ）.

A 、0； B、1； C、－1； D、2. 48、设y =x n +e x ，则y (n +1) =（ ）.

A 、(n +1)! +e x ； B、e x ； C、n ! +e x ； D、0. 49、设y =x x ，则y '=（ ）.

A 、x x (lnx +1) ； B、x x ln x ； C、x x -1； D、x ⋅x x -1. 50. 下列命题中正确的是（ ）.

A 、若f '(x ) =g '(x ) ，则有f (x ) =g (x ) ； B、若f (x ) =g (x ) ，则有f '(x ) =g '(x ) ；

C 、若f '(x 0) =0，则f (x 0) =0； D、若f (x 0) =0；则f '(x 0) =0.

51. y =f (x ) 在点x 0处的左、右导数存在且相等是f (x ) 在点x 0处可导的 （ ）.

A 、必要条件； B、充分条件； C、充分必要条件； D、无关条件.

⎧x 2+1, 0≤x

1≤x ⎩3x -1,

A 、2； B、3； C、－1； D、不存在.

1. × ；2. ∨；3、×；4、×；5、∨；6、∨；7、 × ；8、 ∨ ；9、 × ；10、 ∨ ；11、×；12、×；13、 ∨ ；14、×；15、∨ ；16、×；17、 ∨ ；18、∨ ；19、×；20、∨ ；21、 ∨ ；22、×；23、×；24、∨；25、× ； 1、D ；2、B ；3、D ；4、A ；5、C ；6、A ；7、C ；8、B ；9、A ；10、C ；11、D ； 12、D ；13、；C ；14、A ；15、B ；16、B ；17、D ；18、C ；19、D ；20、B ；21、A ；22、B ；23、D ；24、C ；25、B ；26、C ；27、A ；28、D ；29、B ；30、D ；31、D ；32、C ；33、C ；34、D ；35、A ；36、C ；37、C ；38、B ；39、C ；40、B ；41、A ；42、B ；43、B ；44、B ；45、D ；46、D ；47、D ；48、B ；49、A ；50、B ；51、C ；52、D.

中值定理和罗比达法则

★1. 下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值

ξ。

（1）

f (x ) =2x 2-x -3, [-1, 1. 5]；

（2）

f (x ) =x -x , [0, 3]。

★2. 验证拉格朗日中值定理对函数

y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上的正确性。

。

★3. 已知函数

f (x ) =x 4在区间[1, 2]上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ

y =px 2+qx +r 应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ

★★4. 试证明对函数总是位于区间的正中间。

★5. 函数

f (x ) =x 3与g (x ) =x 2+1在区间[1, 2]上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请

求出满足定理的数值ξ。

★★★6. 设

f (x ) 在[0, 1]上连续，1) 内可导，在(0, 且f (1) =0。求证：存在ξ∈(0, 1) ，使f '(ξ) =-f (x ) 在(a,b ) 内具有二阶导函数，且f (x 1) =f (x 2) =f (x 3)

，使得

f (ξ)

。 ξ

★★7. 若函数

(a

★★8. 若4次方程

f ''(ξ) =0。

a 0x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x +a 4=0有4个不同的实根，证明：

4a 0x 3+3a 1x 2+2a 2x +a 3=0的所有根皆为实根。

★★★9. 证明：方程

x 5+x -1=0只有一个正根。

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★★10. 不用求出函数

f (x ) =(x -1)(x -2)(x -3)(x -4) 的导数，说明方程f '(x ) =0有几个实根，

并指出它们所在的区间。

★★★11. 证明下列不等式：

（1）

arctan a -arctan b ≤a -b ； （2） 当 x

>1时，e x >ex ；

。

11

>0，证明ln (1+x ) 0时，ln (1+) >

x 1+x

2x

=π(x ≥1) . ★★12. 证明等式：2arctan x +arcsin 2

1+x

（3） 设 x

★★★13. 证明：若函数

f (x ) 在(-∞, +∞) 内满足关系式f '(x ) =f (x ) ，且f (0) =1，则f (x ) =e x 。

★★★14. 设函数

f (x ) 在[a,b ]上连续，在(a,b ) 内有二阶导数，且有

，使

f (a ) =f (b ) =0,f (c ) >0(a

15. 设

f ''(ξ)

f (x ) 在[a,b ]上可微，且f +'(a ) >0, f -'(b ) >0, f (a ) =f (b ) =A, 试证明f /(x ) 在(a,b ) 内至少有两个零点。

f (x ) 在闭区间[a,b ]上满足f ''(x ) >0，试证明存在唯一的c,a

f '(c ) =

f (b ) -f (a )

。

b -a

★★★16. 设

★★★17. 设函数

y =f (x ) 在x =0的某个邻域内具有n 阶导数，且

(n -1)

f (0)=f '(0)= =f (0)=0, 试用柯西中值定理证明：

f (x ) f (n ) (θx)

=(0

n! x

★★1. 用洛必达法则求下列极限：

1

ln(1+)

sin x -sin a e -e ln sin x ；

（1） lim ； （2） lim ； （3）lim ； （4）lim 2πx →a x →0x →+∞arc cot x x-a sin x x →(π-2x )

x

-x

2

ln tan 7x tan x -x x 3-1+ln x

lim （5）lim ； （6）lim ； （7）

x →+0ln tan 2x x →0x-sin x x →1e x -e

1

； （8）lim x cot

x →0

2x ；

（9） lim x

x →0

2

e x

2

； （10）lim x (e

x →∞

1

x

11x 1lim (-x ) ；lim (-) ；-1) ； （11） （12）x →0x x →1x-1ln x e -1

a x 1tan x e x +ln(1-x ) -1sin x

x ； （15）lim +() ； （16）lim （13）lim (1+) ； （14）lim ； +x →∞x →0x →0x →0x x x-arctan x 1x 1n 22x (ln) lim (n tan ) 。lim (1+sin x ) ；lim (x ++x ) （17） （18）lim ； （19）； （20）

x →0x →+∞x →0+n →+∞+x n

1

x

1

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