相似三角形在圆中的运用
的中点,过点D 作⊙O 的切线,25.如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,D 是BC
与AB ,AC 的延长线分别交于点E ,F ,连结AD . (1)求证:AF ⊥EF ; (2)若tan ∠CAD =
25. (1)证明:连结OD .
∵直线EF 与⊙O 相切于点D , ∴OD ⊥EF .
∵OA = OD,∴∠1=∠3.………………………….. 1分
1
,AB =5,求线段BE 的长. 2
A
E
的中点, ∵点D 为BC
∴∠1=∠2,∴∠2=∠3,
∴OD ∥AF ,∴AF ⊥EF . ……………….. ………… 2分 (2)解:连结BD . ∵tan ∠CAD =∴tan ∠1=
A
O
E
1
, 2
1
,………………. ……………….. …… 3分 2
在Rt △ADB 中,AB =5, ∴BD
AD
=
在Rt △AFD 中,可得DF =2,AF =4,
∵OD ∥AF ,∴△EDO ∽△EF A ,…. ……………… 4分 ∴
A
OD OE
=, AF AE
O
B
E
又∵OD =2.5,设BE=x,
2.52.5+x
=, 45+x 55
∴x =,即BE =.……………………. …. ……. 5分
33
∴
(1)圆题目的第二问通常需要作一条辅助线
(2)当涉及到求具体边的长度时,通常会利用到求半径长度
25.如图,在△ABC 中,AB=AC,AD ⊥BC 于点D ,过点C 作⊙O 与边AB 相切于点E ,交BC 于点F ,CE 为⊙O 的直径. (1) 求证:OD ⊥CE ;
(2) 若DF =1, DC =3,求AE 的长.
25. (本小题满分5分)
(1)证明: ⊙O 与边AB 相切于点E ,且 CE 为⊙O 的直径.
∴CE ⊥AB .
AB=AC,AD ⊥BC ,
∴BD =DC . ………………………………1分
又 OE=OC,
∴OD ∥EB .
∴ OD ⊥CE .………………………………2分
(2)解:连接EF .
CE 为⊙O 的直径,且点F 在⊙O 上, ∴∠EFC =90°. CE ⊥AB , ∴∠BEC =90°.
∴∠BEF +∠FEC =∠FEC +∠ECF =90°. ∴∠BEF =∠ECF .
∴tan ∠BEF =tan ∠ECF . ∴BF =EF .
EF
FC
又 DF =1, BD=DC=3, ∴ BF =2, FC =4.
∴EF =. ………………………………………………… 3分
∵∠EFC =90°,
∴∠BFE =90°.
由勾股定理,得BE . ……………………4分
EF ∥AD , BE BF 2∴==.
EA FD 1
∴AE =. ……………………………………………………5分
要锻炼找相似三角形的能力,圆中经常与相似三角形结合
25.如图,△ABC 内接于⊙O ,AB 是直径,⊙O 的切线PC 交BA 的延长线于点P ,OF ∥BC ,交AC 于点E ,交PC 于点F ,连接AF .
(1)求证:AF 是⊙O 的切线;
(2)已知⊙O 的半径为4,AF=3,求线段AC 的长.
F B
A
P
25.(1)证明:连接OC ,…………………..(1分)
∵AB 是⊙O 直径,
∴∠BCA =90°
∵OF ∥BC ∴∠AEO =90°, ∴OF ⊥AC ,∵OC =OA , B ∴∠COF =∠AOF , O A
∴△OCF ≌△OAF ∴∠OAF =∠OCF
∵PC 是切线∴∠OCF =90°,……………………..(2分) ∴FA ⊥OA ,∴AF 是⊙O 的切线……………………..(3分) (2)∵⊙O 的半径为4,AF =3,FA ⊥OA ,
∴OF =
=5 ∵F A ⊥OA ,OF ⊥AC ,
∴AF ·OA = OF ·EA ,……………………………..(4分) ∴3×4= 5×EA ,
12
解得AE =,
524
AC =2AE =………………………………………..(5分)
5
P
熟练掌握相似三角形基本图形
25. 如图,AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,过点C 作⊙O 的切线CM . (1)求证:∠ACM =∠ABC ; (2)延长BC 到D ,使CD = BC ,连接AD 与CM 交于点E ,若⊙O 的半径为2,ED =1,求AC 的长.
(1)证明:连接OC . ∵ AB 为⊙O 的直径, ∴ ∠ACB = 90°.
∴ ∠ABC +∠BAC = 90°.[来源:学科网] ∵ CM 是⊙O 的切线, ∴ OC ⊥CM .
∴ ∠ACM +∠ACO = 90°. ············· 1分∵ CO = AO , ∴ ∠BAC =∠ACO .
∴ ∠ACM =∠ABC . ················· 2分 (2)解:∵ BC = CD,OB=OA, ∴ OC∥AD. 又∵ OC ⊥CE , ∴CE ⊥AD . ------3分 ∵ ∠ACD =∠ACB = 90°, ∴ ∠AEC =∠ACD . ∴ ΔADC ∽ΔACE . ∴
AD AC
=. ···················· 4分[ AC AE
而⊙O 的半径为2, ∴ AD = 4. ∴
4AC =. AC 3
∴ AC = 23 . ··················· 5分[
21. 如图,AB 是 O 的直径,C 是圆周上一点,OD ⊥AC 于点D .
过C 作 O 的切线,交OD 的延长线于点P , 连接AP . (1)求证:AP 是 O 的切线. (2)若
AC 416
= ,PD = ,求 O 的半径. AB 53
P
21. 解:
(1)证明:连结OC.
AC 是 O 的弦,OD ⊥AC ,OA=OC ∴∠AOP =∠COP 在∆AO P 和∆CO P 中,
A
B
A
⎧OA =OC ⎪
⎨∠AOP =∠COP ∴∆AOP ≅∆COP ∴∠PCO =∠PAO ……………1⎪OP =OP ⎩
分
PC 切 O 于点C
∴∠PCO =90︒∴∠PAO =90︒即PA ⊥AO
又 OA 是 O 的半径,∴AP 是 O 的切线……………………………2分
(2)连结BC.
AB 是 O 的直径,∴AC ⊥BC 又 OD ⊥AC ∴OD //BC ∴
AD AC 4CD 4
==∴= AO AB 5CO 5
设CD=4k,则CO=5k,OD=3k.(k>0)
∠CPD +∠COD =90︒, ∠COD +∠OCD =90︒,
∴∠CPD =∠OCD
∠PDC =∠CDO =90︒,
∴∆CPD ∽∆OCD ∴
CD OD
…………………………………………………………………………3分 =
PD DC
16
k ……………………………4分 3
设CD=4k,则CO=5k,OD=3k.(k>0)∴PD = PD =
16
∴k =1∴OC =5 ∴ O 的半径长为5………………………5分 3
解直角三角形与相似结合
25.如图,AB 为⊙O 直径,C 是⊙O 上一点,CO ⊥AB 于点O ,弦CD 与AB 交于点F ,过点D 作∠CDE ,使∠CDE =∠DFE ,交AB 的延长线于点E . 过点A 作⊙O 的切线交ED 的延长线于点G .
(1)求证:GE 是⊙O 的切线;
(2)若OF :OB =1:3,⊙O 的半径为3,求AG 的长.
25.(1)
证明:连接OD
∵OC=OD, ∴∠C=∠ODC ∵OC ⊥AB
∴∠COF =90° ……………………………………1分 ∴∠OCD +∠CFO =90° ∴∠ODC +∠CFO =90° ∵∠EFD =∠FDE ∠EFD =∠CDE ∴∠CDO +∠CDE =90°
∴DE 为⊙O 的切线………………………………2分 (2)解:∵OF :OB =1:3,⊙O 的半径为3, ∴OF =1,
∵∠EFD =∠EDF , ∴EF=ED,
在Rt △ODE 中,OD =3,DE =x ,则EF =x ,OE =1+x , ∵OD 2
+DE2
=OE2
,
∴32
+x 2
=(x +1)2
,解得x =4……………………3分 ∴DE =4,OE =5, ∵AG 为⊙O 的切线,
G
题图E
G
∴AG ⊥AE , ∴∠GAE =90°, 而∠OED =∠GEA ,
∴Rt △EOD ∽Rt △EGA , ………………………4分 ∴
OD DE 34
==,即, AG AE AG 3+5
∴AG =6.…………………………………………5分
圆中一个倒角模型
25.如图,△ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ,过点D 作⊙O 的切线
DE 交AC 于点E . (1)求证:∠CED =90°; (2)若AB =13,sin ∠C =
25.(1)证明:如图,连接OD ,
∵DE 切⊙O 于D ,OD 是⊙O 的半径,
∴∠EDO =90°.
1分 ∵OD =OB , ∴∠ABC =∠
ODB . ∵AB =AC , ∴∠ABC =∠C , ∴∠ODB =∠C , ∴DO ∥AC ,
∴∠CED =∠EDO =90°. ………………………2分 (2)如图,连接AD ,
∵AB 为⊙O 直径,∴∠ADB =90°,即AD ⊥BC . ………………………3分 在Rt △CED 和Rt △BDA 中,
5
,求CE 的长. 13
∠C =∠ABC ,∠DEC =∠ADB =90°, ∴△CED ∽△BDA ,
AD 5
=sin ∠C =, AB 13
∴sin ∠ABC =
∴AD =
5
AB =5, 13
∴CD =BD =AB 2-AD 2=12.
∴CE =
12⨯12144
=. ………
1313