初升高衔接课程T同步(集合的定义及表示方法3星)

同步T：集合的定义及表示方法(★★★)

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3min.

Xxx学生，现在班主任邀请所有的高一学生到我们的北大厅参加我们的俱乐部活动，你愿意参加不？你有什么特长或才艺不？【引导孩子的兴趣，让孩子和老师说话，增加亲切感，从兴趣特长入手，拉近师生的隔阂】；【峰回路转，探讨式新的概念】试问这个邀请的对象是全体的高一学生还是个别学生？

在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的数学概念——集合，即是研究一些特定对象的总体。

知识梳理

1、有关集合的一些概念：

10 min.

对象:我们看到的，听到的，闻到的，触摸到的，想到的各种各样的事物或一些抽象的符号，都可以看作对象；

元素：一般地，我们把研究对象统称为集合的元素. 集合：一般地，把一些元素组成的总体叫做集合（或集） 2、关于集合的元素的特征：

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体元素，则或者是A的元素，或者不是A

的元素，两种情况必有一种且只有一种成立，可以很明确确定的；

（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，因此，同一集合中不应重复出现同一元素； （3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就成为这两个

集合石相等的；【关于集合的特征，必须第一次讲解时让学生很清晰这些性质，解释讲解时可以参考具体例子分析讲解，始终要依赖于集合的定义】 3、集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；

（1）集合通常用大写拉丁字母A,B,C„来表示，它们的元素通常用小写拉丁字母a,b,c„来表示； （2）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A；

（3）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA；【关于元素与集合的关系，讲解时必须用具体例子，让学生参与到分析例子中，把话语权交给学生，引导学生根据集合以及元素关系的概念分析问题】

4、常用数集的记法：非负整数集（或自然数集），记作N；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；正整数集，记作N*或N；【可用英语单词类似记忆，自然数的“自然”英语单词记忆，其他可以类似】

5、集合的表示方法：集合的表示方法，常用的有列举法和描述法

（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在花括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x，3x+2，5y-x，

x+y}，„；各元素之间用逗号分开.

（2）描述法：例如，我们不能用列举法表示不等式x-7

的，但是，我们可以这个集合中元素所具有的共同特征来描述，D={x∈R|x

集合可以根据它含有元素的个数分为两类：

含有有限个元素的集合叫做有限集；含有无限个元素的集合叫做无限集.

2

2

2

3

典例精讲：

例1、（★★）判断下列描述是否是集合 （1）很小的实数的全体； （2）个子高的学生； （3）班级170cm以上的学生；

解析：（1）错.因为“很小的”不明确，也就是集合的元素不确定. （2）错. 因为“个子高”不明确，也就是集合的元素不确定.

27min.

（3）是.明确了170cm以上的学生.【本题主要考查了集合的概念及性质，这些内容虽然比较基础，但很重要，因为在后来的学习中会经常用到，需引起重视，加强理解记忆】。

跟踪练习：（★★★）下列关系是否正确

（1）0N （2）

31

Q （3）Q （4）Q 24

（5

R （6）3Z （7）0Z （8）0.9R

解析：正确：（2）（4）（5）（6）（7）（8）； 错误：（1）（3）【本题考查对常用集合的理解记忆，考查了属于符号“”和不属于符号“”的理解】

例2、（★★★）用列举法表示下列集合【讲解时引导学生讲出自己理解的集合表达方法】

① {x|x是15的正约数}

② {(x,y)|x{1,2},y{1,2}} 【注意题目中元素的区别，引导学生观察总结】 ③ {(x,y)|xy2,x2y4} ④ {x|x(1),nN}

⑤ {(x,y)|3x2y16,xN,yN}

解析：①{1,3,5,15} ②{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} ③{(,)} ④{1,1} ⑤{(2,5),(4,2)}

n

8323

跟踪练习、（★★★）用描述法表示下列集合

①{1,4,7,10,13}； ②{2,4,6,8,10}

解析：①{x|x13k,k0,1,2,3,4}②{x|x2k,k1,2,3,4,5}

例题3、（★★★）已知集合A＝{1，x，x2－x}，B＝{1,2，x}，若集合A与集合B相等，求x的值．

解析：因为集合A与集合B相等，

所以x2－x＝2.∴x＝2或x＝－1. 当x＝2时，与集合元素的互异性矛盾． 当x＝－1时，符合题意． ∴x＝－1.

跟踪练习、（★★★）设A表示集合{a2＋2a－3,2,3}，B表示集合{2，|a＋3|}，已知5∈A且5∉B，求

a的值．

解析：因为5∈A，所以a2＋2a－3＝5，

解得a＝2或a＝－4.

当a＝2时，|a＋3|＝5，不符合题意，应舍去． 当a＝－4时，|a＋3|＝1，符合题意，所以a＝－4. 【根据集合的特征讲题，让多让学生动手动脑动嘴】

课堂检测

1、（★★）已知集合A{2,(a1),a3a3}且1A，求实数a的取值. 解：1A，即(a1)1或a3a21，解得：a0,a1,a2

当a2时，A{2,1,1}与互异性矛盾，所以a{1,0}.

2、（★★★） 若A={2，4, a－2a－a＋7},B={1, a＋1, a－2a＋2,－1 (a－3a－8), a＋a＋3a

3

2

2

2

3

2

22

22

2

＋7}，且A∩B={2，5}，则实数a的值是________．

解答启迪：∵A∩B={2，5}，∴a－2a－a＋7=5,由此求得a=2或a=±1． A={2,4,5}，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．

当a=1时，a－2a＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去a=1． 当a=－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去a=－1． 当a=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设． 故a=2为所求．

2

32

3、（★★★）已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}．

(1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围； (2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．

解析 (1)∵A中有两个元素，∴方程ax2－3x－4＝0有两个不等的实数根，

a≠0，99∴即a＞－16∴a＞－16a≠0. Δ＝9＋16a＞0，

4

(2)当a＝0时，A＝{－3}；

当a≠0时，若关于x的方程ax2－3x－4＝0有两个相等的实数根， 9

Δ＝9＋16a＝0，即a＝－16x的方程无实数根，则Δ＝9＋16a＜0，

99

即a＜－； 故所求的a的取值范围是a≤－a＝0. 1616

【方程是初中学习过的，针对高一的学生，引导分析方程有无根与集合元素的个数分析，让学生感觉到初中知识和高中一脉相承的】

4、（★★★★）已知集合A的元素全为实数，且满足：若aA，则

1a

A。 1a

（1）若a3，求出A中其它所有元素；（2）0是不是集合A中的元素？请你设计一个实数aA，再求出A中的所有元素？（3）根据（1）（2），你能得出什么结论。

11

1

113132A，1A,再由1A，解析：(1)由3A，则又由A，得得A，

11323132

11

32

1

而2A，得

1211

3A，故A中元素为3,,,2． 1223

101a

不存在，故0不是A的元素． 1A，而当1A时，

1a10

(2) 0不是A的元素．若0A，则

取a3，可得A3,2,,．

(3) 猜想：①A中没有元素1,0,1；②A中有4个，且每两个互为负倒数． ①由上题知：0,1A．若1A，则



1132

1a

1无解．故1A②设a1A，则1a

1a3a111a41a11a21

aAaa1A， a1Aa2Aa3A45

1a3a111a41a11a2a1

又由集合元素的互异性知，A中最多只有4个元素a1,a2,a3,a4，且a1a31,a2a41．显然

a1a3,a2a4．若a1a2，则a1

素．

1a1

，得：a121无实数解．同理，a1a4．故A中有4个元1a1

回顾总结

3 min.

1、 今天我们主要学习什么？【让学生思考回答，留意上课过程中特别强调的知识点的回顾】 2、 今天主要学习了什么方法？

3、 现在你可以解决了本节课的提问了，你怎么解决？下节课检查你的完成情况。 【采取问答式的回顾，让学生思考总结自己的收获，更加可以让学生理解更深】