三角形的四心的三种向量表示
中‘7般・7(2009年第4期・高中版)
・解题研究・
三角形的“四JI!I"的三种向量表示
528303广东省佛山市容山中学何卫东
430074
湖北省武汉市关山中学刘元利
众所周知,三角形的“四心”——重心(三条中线的交点)、内心(三个内角的角平分线的交点)、外心(三条线段中垂线的交点)、垂心(三条高线的交点),在三角形中有着极其重要的地位.因此,高考对三角形“四心”的考查从没间断,且常考常新.特别是与三角形“四心”有关的向量问题,由于它能凸现出较好的区分和选拔功能,因而备受各级各类考试命题者的青睐.作者近几年在这方面作了一些收集、探究工作,通过实例总结提炼了一些解题方法和规律,现整理成文,奉献给大家,希望能对读者在学习中有所启迪.
1
以向量为载体。确定“四心”。突出“定”
例1
(2005年全国卷I)点0是AABC所在平
面内的一点,满足0A・0雷=OB・OC=OC・矾,则
点0是△ABC的(
)A.内心B.外心
C.重心
D.垂心
解
由谢・瑚=OB。・DC=Od・嘶。得
OB・(OA—OC)=0,OA・(OB—OC)=0,
所以OB上“,们上CB.故选D.
点评这里是根据向量的数量积的有关知识来确定某点一定是三角形的四心的问题,即“定心”.解决此类问题的关键在于:不仅要熟练掌握三角形的“四心”的特征,还要掌握用向量来表示“四心”的方法.
变式1(2008年荆州模拟)已知M是AABC所
在平面内的任意一点,且删+MB+MC=3删,则JI、r
是AABC的(
)
九内心
B.外心C.重心D.垂心
解・.・赢+商+u--d:3一MN.
.‘.(MA一肘Ⅳ)+(MB一删)+(MC—MN)=0。
即ⅣA+NB+NC=0.
如图l,作平行四边形NBGC,设NG与BC交于D,据向量的平行四边形法则
有NB+NC=NG=2
ND.
B
么c
又NB+NC+NA=0.
.。.NA=一2ND.
\邋
/
G
图1
万方数据
这表明A、Ⅳ、D三点共线,所以D是BC的中点,
AN=÷AD,
.・.J『\,是AABC的重心,故选C.
变式2(2007年江西调考)在AABC中,若嘶2
=蔬2=茄2,则0为AABC的(
)
A.内心
B.外心
C.重心D.垂心
解・.・葫2:蔬2:蔬2,
.’.IOAl=IOBI=lOCI.
即0到AABC三顶点距离相等,.・.0为AABC的外心,选B.
变式3(2008年湖南调考)设0是AABC所在
平面上一点,且I赢l初+I商I蔚+I赢I历:o,则
0是AABC的(
)A.内心
B.外心
C.重心D.垂心
解。.‘lBCI・AO+IcAl・BO+IABI・CO=0.
.‘.IBCl・A0=ICAI・OB+JABI・DC=ICAI(OA+A曰)+IABI(OA+AC),
.・.(1赢I+l商I+I劢I)初
=ICAl・A曰+lA曰I・AC
:l商l
I压l(粤+善).
...劢:—J型掣氅(婴+善).
1ABl
lACI
BCI+I“I+IA占I
IABI
IACl
由于苦缶表示向量压上的单位向量,苦岳表示
向量AC方向上的单位向量,
.・.苦缶+苦岳的方向与£BAC的平分线同向,
即AO为£BAC的平分线,同理可得BO为LABC的平分线,
.・.0为AABC的内心,故选A.
点评
由于内心是三角形三内角平分线的交
点,因而要确定内心,必须会用向量表示某一内角平
分线,而丽a+面b龙以口,西为邻边的内角平分线的
最佳表示.
变式4(2008年黄冈中学模拟)若0为AABC
・解题研究・
中。7擞・7(2009年第4期・高中版)
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所在平面内一点,且劢・(蔫+婴IABI)=
方向与薷AB+等---.I,的方向矾由题意得
万=A
一BO・(篙+骂IBCI)=茄・(盖+熹删D是
ABC的(
AB_+善lACll],
)
B.外心
C.重心D.垂心
.‘.P点的轨迹一定通过AABC的内心,故选A.
A.内心点评这里是根据向量的有关知识探讨平面内的动点轨迹一定穿过三角形的“四心”问题,即“穿心”.“定心”是确点定点,“穿心”则不一定是定点,而是“穿”过定点,两者的差异一定要区分开来.
变式1
解如图2,丽A两B衣不--早化1.1aJ萤A廿’,婴ICAI表示
单位向量才,
(2008年孝感调考)0为平面上一定
点,A、口、C是平面上的不共线的三个点,动点P满足
C
OP=0肖+A(A雪+Ae),A∈[0,+∞),贝0点P的轨迹一定通过AABC的(
A.内心
B.夕}心
)
C.重心
^
D.垂心
图2
解如图3,设D为BC的中点,由向量的加法法则可得A雪+AC=
2
...粤+望:詹+才:劢.I翻1
IA日I
C
.・.AD为[A的外角平分线,同理CE为LC的外角平分线.
AD,依题意知AP=
E
2AAD,又A0,+∞).
B
由劢・(蔫)+彗IABI)=一CO・(嵩+高)
得,劢.劢:一CO.蔬对任意的AABC都成立,则只有葡.而:茄.一CE:0,
.‘.A0上AD,CD上cE,
.。.P,A,D三点共线,
图3
又AD为AABC的中线,故点P的轨迹一定通过AABC的重心,故选C.
变式2
(2007年武汉调考)0是平面上一定点,
.・.4D为LBAC的内角平分线,CD为[BCA的内角平分线.
.‘.0为AABC的内心,故选A.
通过以上几例,我们可看出,要用向量来“定心”,关键是要根据“四心”所满足的重要特征及题目所给的已知条件进行分析处理,如由向量垂直首选
’
芏F.AABC中,若历=一OA叫意‰+意磊),
A
E[0,+∞),则动点P的轨迹一定通过AABC的
)A.内心
(
B.外心C.重心D.垂心
解如图4。过A作AD
上BC,D为垂足,则I商IsinB
———’——_
=IAClsinC=lADI.
应考虑垂心或外心,有面a+击的条件应考虑内心
等.
2以向量为载体。穿过“四心”,突出“穿”
例2(2003年江苏)0是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足O芦=OA‘+
√当+羔1可1一lABIsinB+蕊J司
变为
.
。
...。OP:。OA+
曰
D
C
图4“
一OP=一OA叫婴IADI+娶IADI]1,
即商=一OA+占IADI(商+A—C)=耐+A(商+A—C),
即为变式1,故选C.
变式3
Af兰IA里BI+兰[A莹CI1],A
通过△ABC的(
E[o,+∞),则点P的轨迹一定)
A.内心B.外心C.重心D.垂心
解丽AB雨+雨AeCl,…_.~。、为A,终点在[肼c的平
A,B,C不共线,且DP=厕+A【—IAB—IcosB+丽蕊),
,
……一={=寸
(加07年武汉调考)若D夕平面上二定点,
AB
AC
、
分线上的向量,又A∈[o,+∞),则A(而,41两3+吾-.--岳-r)的
万方数据
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十・?擞・7(2009年第4期・高中版)
・解题研究・
《
)
A.内心R外心
C。重心
执垂心
分析这里不同于变式2,IABl
cosB≯IACI・
cosC,但由于两向量的数嫠积中含有角的余弦,故在已知向量等式孛,两边同乘以菜一向量可达蓟诧麓
目的。
解flj题可知,A—P=Af—[A生BIcosB+丽茜毫磊),
则≯・一BC=3,(篆嚣+篙墨)
2Al一—1面高画~+—而五万)
,I藉1.f赢lcosBI_斗CAI
l。CBlcosC
=A(一IBCI+jc8I)=0。
。。。AP’土BCl≯,P必在嚣C边豹高线上,敬选D。,l、绪通过以上咒例研知,当有
A—P=A(等+等)(m,焯,A均为正常数)时,
①若m=n,则可变为A芦=A’(A西+Ae),故P点过AABC酌熏心《鲡变式l,交式2);
②若詈=长筹时,则可变为
A—P=A"(盖+惫)’
:。。尹一定过AABC豹随心(蓊壤2);
③若詈=篙裂言差时,则可变为夺上赢,
.’.P一定过AABC垂心(如变式3).
交式4(200s年江苏调考)在AABC枣,溅秀乎瑟
上一动点,且窳+M—B=A(瓦蕊CA+—iC里BIcosBll,
A∈[0,+∞),则动点P的轨迹一定通过AABC的
(
)
A.凑・§B.乡}心C。重。玉D。垂心
分析这里已知等式右边类似于变式3,可进
行类似的处理.
解禚已知等式两边嗣乘以A雪,得
(赢十蕊)・A—B=盖f篙等+骂ICBl堕cosBh]
.・.(MA’+MB。)上A西'...点M在线段A肟的中垂线上,故选B.
3以向量药载体,运用“网心”,突出“用”
铡3(2007年全国卷II)设F为抛物线Y2=4x
的焦点,A,B,C为这抛物线一E三点,若“+胎+,C
:0,则I赢l+I南I+I—FCf=()
A.9
B.6
C.4D,3
万方数据
瓣设a(xl,Y;),露(龟,是),C(奶,Y3≥,塞躐专
瑚+FC=O,知F点为AABC的熏心,而F(1,O),
。’。x。+戈2+x3=3,又由抛物线定义得
l声HI+IFBl+lFC
1=(茁I+1)+(舅2+1)+
《掣,+1)=3÷3=6,教选8。
点评灵活运用结论砑+朋+慰=O§F为
△ABC的重心是破题的关键.
变式l
(2008年山东调考)设0为AABC内
一点,蕊+2∞◆3
80=0,求△AOB的覆积与
△AOC的面积琵.
解如图5,延长
()脬至E,使蔬:2石茁,
延长0e至D,使O办=
3蔬,剜赢+葫+旋
=0'...O为AADE的重E
心.
图5
.-。s△删。=|s△烈口,半C
:一
’∥川
一△OAO
土,鱼:一13
’A槲£一
S2,从瓣
SA^蝴
3
S△^oc一2‘
点评这里先确定0点的位置是解题成败的关键,可见,灵活“用心”也不可忽视.
变式2(2008年黄冈谲考)在△ABC孛,0兔
外心,P是平面内一点,满足葫+0-73+旋=历,则P
为△ABC的(
)A.垂心
B,重心
C.内心
D.外心
瓣’。‘OA+OB=OP—OC=CP,
.・.。OA+。OB+一OC:葫,
①又’.‘OA—OB=BA.
②
①×②得诗一谣2=历.蔚,
又0
AABC终心一。蔬2:耱,从面历。藏
:0'1.,历土赢,同磁》上袤'..。P
AABC的垂心。
故选A.
综上所述,要解决有关三角形的“四心”问题,蕾先应圆归定义,将条件转化到“翻心”的概念中去,运臻定义搬以勰决;其次要掌握麓律,审渍题意,找出问题的关联点(或突破点),将问题具体化,这样在一般情况下都能迎刃而解.
移考文献
1
蔡鞠。曩囱量豹观点着三袁形妁“鞭心”闯题。数学教学研究.2007,2
2王建荣.向量与三角形的“四心”.简中数学教与举,
2007.3
(收稿日期:20090213)