函数的概念及其表示方法测试题
函数的概念及表示方法测试题
江苏袁军 连云港市厉庄高级中学 邮编:222121 电话:[1**********] QQ:843294659
A 卷 基础在线
一.填空题(本大题共10小题,每题5分) 1. 若函数f (x ) =x 2-2x ,则f (3) =________. 1.3 提示:f (3)=32-2? 32. 函数y =2. {x x 贡
x -2x -4
2
3.
的定义域________.x =150-50(t -2
52
) =
2}.
2} 提示:x -4罐0
x 贡
2,故定义域为{x x 贡
3. 下列四组函数表示同一函数的一组是 . ①f (x ) =
x -9x -3
1x
2
2
,g (x ) =x +
3;②f (x ) =
2,g (x ) =
2
2
③f (x ) =
+3
;g (x ) =
x x
4
+
3x
;④f (x ) =,g (x ) =x .
2
3. 提示:①f (x ) =
x -9x -3
2
=x +3, (x 3) ,g (x ) =x +3定义域为全体实数,两个函
数定义域不同;
②f (x ) =2(x
0) ,g (x ) =③f (x ) =
1x
2
=x , x R ,两函数解析式不同;(x
0) 两函数定义域不同;④
+3
(x R ) ,g (x ) =
x x
4
2
2
+3x
=
1x +3
2
两函数解析式相同,定义域也相同故两函数为同一函数.
4. 若函数f (x +1) 的定义域为[-2,1) ,则函数f (x ) 的定义域为________. 4. [0,5] 提示:由题意可知0#x
[0,5].
2
2
4,则0? x
2
1 5,故函数f (x ) 的定义域为
5. 下列图象中能表示函数y =f (x )的有 .
① ② ③ ④
5. ①④.提示:根据函数的定义可判断。
6. 函数y =x 2-2x -1, x ∈[-1, 3) 的值域为_______.
6. [-2, 2] 提示:该二次函数开口方向向上,对称轴为x =1,故函数的最小值为-2,当x =-1时,函数有最大值为2,故函数的值域为[-2, 2].
ìïa , a £b ,
7. 定义运算a *b =ï则对任意x ÎR ,函数f (x ) =1*x 的解析式为 . í
ïb , a >b , ïî斐1ï1, x
ï7. f (x ) =í 提示:若x ³1,则f (x ) =1;若x
8. 若函数f (x ) =x 2+1,g (x ) =x +2,则f [g (2)]= . 8.17 提示:由题意g (2)=2+2=4,则f [g (2)]=f (4)=42+1=17. 9. 若函数f (x ) 满足f (x ) +f (y ) =f (xy ) ,且f (3则f (3) =a ,f (2)=b ,6) 9.
a b
22
= . ab
提示:由
2
2
题意知f (6)=f (2)? f (3),则
f (36)=f (6)? f (6)ab ? ab a b .
ìïf (x +2) , x
10. 若f (x ) =í,则f (0)的值为 .
ïx -1, x 2ïî
10.1 提示:由题意f (0)=f (0+2) =f (2)=2-1=1.
二.解答题(本大题共3小题)
13. 已知A 、B 两地相距150千米,某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地,在B 地停留1小时后以50千米/小时的速度返回A 地,求汽车离开A 地的距离x 表示为时间t (小时)的函数表达式. 13. 解析:由题意当0#t
52
x =60t ,时,当
52
72
时,则x =150,当
52
72
132
72
132
ìï
ï60t , 0#t ïïïï75
) =325-50t 。故x =ï时,x =150-50(t -150,
ï22ïïï7ï325-50t , ïï2ïî
.
14. 已知f (x ) 的定义域为[-2, 3],求函数g (x ) =f (x ) +f (2x -5) 的定义域.
14. 解析:由f (x ) 的定义域为[-2, 3,x ]则-2? 2
? 2#x ï
ïï的定义域为5) í3
ï#x ïïî2
3, 4,
尬x
5 3,则
32
#x 4,故
g (x ) =f (x ) +f (2x -
3
[, 4]. 2
15. 某大学教师将每周的课时数列表如下:
则在这个函数中,求其定义域和值域。
15. 解析:自变量为X ,故其定义域为{1, 2, 3, 4, 5},变量为Y ,故其值域为{1, 2, 3, 4, 5}.
B 卷 能力提高
一.填空题(本大题共10小题,每题5分)
1. 已知函数j (x ) =f (x ) +g (x ) ,其中f (x ) 是x 的正比例函数,g (x ) 是x 的反比例函数,且j () =16,j (1)=8,则j (x ) =31
1. j (x ) =3x +
5x
提示:由题意设f (x ) =kx ,g (x ) =
m x
,则j (x ) =kx +
m x
,则
ì11ïìk =3, ïj () =k +3m =16, ï5ïï33j (x ) =3x +故. Þ眄
m =5, 镲x 镲j (1)=k +m =8, îïïî
2. 已知函数f (x ) =x 2+2x +a ,f (bx ) =9x 2-6x +2,其中x ∈R , a ,b 为常数,则方程f (ax +b ) =0的解集为 .
2
2. ∅. 解析:由题意知,∴a =2, b =-3. f (2x -3) =4x -8x +5=0,∆
∅.
3. 为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密). 已知加密规则为:明文a ,b ,c ,d 对应密文a +2b ,2b +c ,2c +3d ,4d . 例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16,则当接收方收到密文14,9,23,28时,解密得到的明文为 .
3.6,4,1,7 提示:根据给出的加密规则,也就是对应法则,可得a +2b =14,2b +c =9,2c +3d =23
,4d =28. 从而可求出a ,b ,c ,d 的值.
⎧x +2(x ≤-1) ⎪2
4. 已知f (x ) =⎨x (-1
⎪2x (x ≥2) ⎩
2
4. 提示:当x ≤-1时,x +2=3, 方程无解;当-1
x =x ≥2时,2x =3,方程无解. ∴x
.
5. 拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f (m ) =1.06(0.5⋅[m ]+1) (元)决定,其中
m >0,[m ]是大于或等于m 的最小正整数(如[3]=3,[3.8]=4,[3.1]=4),则从甲地到乙
地通话时间为5.5分钟的电话费为 .
5.4.24 提示:f (5.5)=1.06⨯(0.5⨯[5.5]+1) =1.06⨯(0.5⨯6+1) =4.24.
ìï1, x >0,
ïïï
6. 已知符号函数sgn x =ïí0, x =0, 则不等式(x +1) sgn x >2的解集是 .
ïï
ï-1, x
6. 提示:当x >0,sgn x =1,则x +1>2? x 1;当x =0,sgn x =0,此时不
x
-3。故不
等式的解集为sgn x =0;当x
3) U (1,+ ) .
1f (x )
7. 函数f (x ) 对于任意实数x 满足条件f (x +2) = . 7. -
15
,若f (1)=-5,则f (f (5))=
提示:由题意知f (5)=
1f (3)
=
1
1f (1)
=f (1)=-5,令x =-1,则
f (1)=
1f (-1)
? f (1) =-
15
,f (-5) =
1f (-3)
,而f (-1=)
1f (-
,故3)
f (-5=) f -
11(=-,则) f (f (5))=-.
55
2
8. 若二次函数y =ax +bx +c 的图象与x 轴交于A (-2, 0), B (4,0) ,且函数的最大值为9, 则这个二次函数的表达式是________.
8. y =-x +2x +8 提示:由题意可知函数的对称轴为x =1,设函数的解析式为
y =a (x +2) (x -4) ,当x =1时,y =9,代入可求得a =-1,故函数的解析式为y =-x +2x +8.
2
2
9. 函数f (x ) 满足f (x ) -2f () =x ,则f (2)=x
1
9.-1提示:f (x ) -2f () =x
x
1
⎧⎛1⎫
f 2-2f () ⎪=2
,⎪⎪⎝2⎭⎨
1⎪f ⎛1⎫-2f 2=() ⎪⎪2⎝2⎭⎩
⎧f (2)=-1
⎪
,解之得⎨⎛1⎫ 3.
f =-⎪ ⎪
2⎩⎝2⎭
10. 若f (x )=f (x +2),当x ∈[-1,1]时,f (x )=1-x 2,则当x ∈[1,3]时,f (x )= .
10. -x 2+4x -3 解析:当x ∈[-1,1]时,x +2∈[1,3],
由于f (x )=f (x +2),∴f (x +2)=f (x )=1-x 2=-(x +2)+4(x +2) -3, 把式中x +2换成x ,得,当x ∈[1,3]时,f (x )=-x 2+4x -3. 二.。解答题(本大题共3小题) 13. 已知f (x ) =2x +a ,g (x ) =
14
(x +3) ,若g [f (x )]=x +x +1,求a 的值. 14
(x +3) ,
2
2
22
2
2
13.解:∵f (x ) =2x +a ,g (x ) =
∴g [f (x )]=g (2x +a ) =
14
[(2x +a ) +3]=x +ax +
2
14
2
(a +3) .
2
又∵g [f (x )]=x 2+x +1,∴x +ax +⎧a =1
⎪
∴⎨12,解得a =1. ⎪(a +3) =1⎩4
14
(a +3) =x +x +1
2
14. 已知定义在[0,6]上的连续函数f (x ) ,在[0, 3]上为正比例函数,在[3,6]上为二次函数,
并且当x ∈[3,6]时,f (x ) ≤f (5)=3,f (6)=2,求f (x ) 的解析式. 14.解:由题意,当x ∈[3,6]时,可设f (x ) =a (x -5) +3(a
22
∵f (6)=2,∴a (6-5) +3=2,解得a =-1,∴f (x ) =-x +10x -22.
2
当x ∈[0,3]时,设f (x ) =kx (k ≠0) .
2
∵x =3时,f (3)=-(3-5) +3=-1,∴-1=3k ,k =-
13
,∴f (x ) =-
13
x .
⎧1
(0≤x
故f (x ) =⎨3
⎪-x 2+10x -22(3≤x ≤6). ⎩
15. 设a
为实数,设函数f (x ) =的最大值为g (a ) .
(Ⅰ)设t =t 的取值范围,并把f (x ) 表示为t 的函数m (t ) ;
(Ⅱ)求g (a )
t =15.解:(
Ⅰ)
要使t 有意义,必须1+x ≥0且1-x ≥0,即-1≤x ≤1,
∴t 2=2+[2,4],t ≥0,①∴t
的取值范围是2]
=
12
t -1,∴m (t ) =a (
1
2
12
t -1) +t =
12
2
12
at +t -
a ,t ∈2]
2
2
(Ⅱ)由题意知g (a ) 为函数m (t ) =a (t 2-1) +t =
2
at +t -
a ,t ∈2]的最大值.
注意到直线t =-
1a
是抛物线m (t ) =
12
at +t -a 的对称轴,分以下几种情况讨论:
2
① 当a >0时,函数y =
m (t ) ,t ∈2]的图像是开口向上的抛物线的一段,由
t =-
1a
) 在2]上单调递增,∴g (a ) =m (2)=a +2.
② 当a =0时,m (t ) =
t ,t ∈2],∴g (a ) =2.
③ 当a
m (t ) ,t ∈2]的图像是开口向下的抛物线的一段.
1a 1a 1a
若t =
-∈
,即a ≤-
2
,则g (a ) =m =
若t =
-若t =-
∈
2],即-
212
12
,则g (a ) =m (-
1a
) =-a -
12a
,
∈(2,+∞) ,即-
1⎧
a +2, a >-, ⎪2⎪
11⎪
, -
a ≤-2