第13章-轴对称-全章教案

第1课时 轴对称（1）

第2课时 轴对称（2）

第3课时 轴对称（3）

第4课时 作轴对称图形（1）

第5课时 作轴对称图形（2）

第6课时 用坐标表示轴对称

第7课时 等腰三角形（1）

第8课时 等腰三角形（2）

第9课时 等边三角形（1）

第10课时 等边三角形（2）

第十二章复习 轴对称

本章视点

一、课标要求与内容分析

1. 本章的课标要求是：(1)图形的轴对称：①通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；②能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；③探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相互关系；④欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计；⑤在同一直角坐标系中，感受图形轴对称变换后点的坐标的变化. （2）线段的垂直平分线：了解线段垂直平分线及其性质. （3）等腰三角形：①了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件，了解等边三角形的概念并探索其性质；②了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件.

2. 本章的主要内容是围绕等腰三角形展开的. 等腰三角形是继角、线段后接触到的第三个轴对称图形，它为后面学习等边三角形、直角三角形和特殊四边形做下铺垫，也是平面几何研究的主要对象，起着承前启后的作用.

3. 本章内容分为：(1)轴对称；（2）轴对称变换；（3）等腰三角形. 第一部分介绍轴对称的意义、轴对称的性质，会画一个轴对称图形的对称轴；第二部分介绍如何画一个轴对称图形，怎样用坐标表示轴对称；第三部分介绍怎样利用轴对称来探索等腰三角形的性质. 本章内容的编排，体现了从一般到特殊，再到应用的特点.

4. 本章的重点是轴对称、轴对称变换、等腰三角形的性质和判定. 难点是等腰三角形的

性质和判定. 掌握等腰三角形的性质和判定，并能应用这些知识是学好本章的关键.

二、学法指导

在本章的学习中，要逐步体会轴对称的思想，同时由特殊到一般的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想及方程的思想都应引起广泛的重视和应用.

章末总结

知识网络图示

基本知识提炼整理 一、基本概念 1. 轴对称图形

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴. 折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.

2. 线段的垂直平分线

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 3. 轴对称变换

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换. 4. 等腰三角形

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形. 相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

5. 等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 二、主要性质

1. 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

2. 线段垂直平分钱的性质

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

3. （1）点P （x ，y ）关于x 轴对称的点的坐标为P ′（x ，－y ）. （2）点P （x , y ）关于y 轴对称的点的坐标为P ″（－x ，y ）. 4. 等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.

（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等. （5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。

（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边. 5. 等边三角形的性质

（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. （2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.

（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合. 三、有关判定

1. 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

2. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.

3. 三个角都相等的三角形是等边三角形. 4. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 专题总结及应用

一、用轴对称的观点证明有关几何命题

例1 试说明在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

已知：在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，如图所示.

求证：BC =

证明：如图所示. 作出△ABC 关于∴AB ′=AB .

又∵∠CAB =30°，∴∠B ′=∠B =∠B ′AB =60°. ∴AB =BB ′=AB ′ 又∵AC ⊥B ′B ， ∴B ′C =BC =即BC =

1AB . 2

AC 对称的△AB ′C .

11BB ′=AB . 22

1AB . 2

例2 如图所示，已知∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°. 求证BD =

1

AB

. 4

证明：在△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°， ∴BC =

1

AB ，∠B =60°. 2

又∵CD ⊥BA ，

∴∠BDC =90°，∠BCD =30°. ∴BD =

1

BC . 2

111AB =AB . 2241

即BD =AB .

4

∴BD =

二、有关等腰三角形的内角度数的计算

例3 如图所示，AB =AC ，BC =BD =ED =EA ，求∠A 的度数

.

（分析）图形中有多个等腰三角形，因而有许多对相等的角，设定其中的某个角，再用这个角把另外的角表示出来，即可解决.

解：∵AB =AC ，BC =BD =ED =EA ， ∴∠ABC =∠C =∠BDC ，

∠ABD =∠BED ，∠A =∠EDA .

设∠A =α，则∠EDA =α，∠ABD =∠BED =2α，

∠ABC =∠C =∠BDC =3α（根据三角形的外角性质）. 在△ABC 中，∠A =α，∠ABC =∠ACB =3α， 由三角形内角和可得α+3α+3α=180°，

180︒180︒

，∴∠A =. 77

180︒

∴∠A 的度数为.

7

∴α=

例4 如图所示，在△ABC 中，D 在BC 上，若AD =BD ，AB =AC =CD ，求∠BAC 的度数

.

解：∵AD =BD ，AB =AC =CD ，

∴∠B =∠C =∠BAD ，∠CAD =∠CDA . 设∠B =∠C =∠BAD =α，

则∠CAD =∠CDA =2α，∠BAC =3α.

在△ABC 中，∠BAC =3α，∠B =∠C =α， ∴3α+α+α=180°， ∴α=36”，∴3α=108°，即∠BAC =108°. ∴∠BAC 的度数是108°. 三、作辅助线解决问题

例5 如图所示，∠B =90°，AD =AB =BC ，DE ⊥AC . 求证BE =DC

.

证明：连接AE .

∵ED ⊥AC ，∴∠ADE =90°. 又∵∠B =90°，∴在Rt △ABE 和Rt △ADE 中，

∴Rt △ABE ≌Rt △ADE （HL ），∴BE =ED . ∵AB =BC ，∴∠BAC =∠C . 又∵∠B =90°，∴∠BAC +∠C =90°. ∴∠C =45°. ∴∠DEC =45°. ∴∠C =∠DEC =∠45°. ∴DE =DC ，∴BE =DC . 例6 如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，在AB 上取一点E ，在AC 延长线上取一点F ，使BE =CF ，EF 交BC 于G . 求证EG =FG

.

证明：过E 作EM ∥AC ，交BC 于点M ， ∴∠EMB =∠ACB ，∠MEG =∠F . 又∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB . ∴∠B =∠EMB ，∴EB =EM . 又∵BE =CF ，∴EM =FC . 在△MEG 和△CFG 中，

∴△MEG ≌△CFG （AAS ）. ∴EG =FG .

例7 如图所示，在△ABC 中，∠B =60°，AB =4，BC =2.求证△ABC 是直角三角形. （分析）欲证△ABC 是直角三角形，只需证明∠BCA =90°即可. 证明：取AB 的中点D ，连接CD . ∵BC =2，AB =4，∴BC =BD =AD =2. ∴∠BCD =∠BDC . 又∵∠B =60°，∴∠BCD =∠BDC =60°. ∴DC =BD =DA . ∴∠A =∠DCA .

又∵∠BDC 是△DCA 的一个外角， ∴∠BDC =∠A +∠DCA =60°. ∴∠A =30°， ∴∠BCA =180°－∠B －∠A =180°－60°－30°=90°. ∴△ABC 是直角三角形

.