高考数学复习 数列的实际应用
高考数学复习 数列的实际应用 【教学目标及教学建议】 复习目标:
熟悉实际问题联想与转化等差(比)数列问题,即培养数列知识应用能力. 教学建议:
本节题型主要有: (1)转化等差数列型. (2)转化等比数列型.
(3)创新型数列问题. 可以分为两类:在熟悉的实际情境应用熟悉的数学知识问题;新情境下运用已告知的新的数学模型,考察运用模型解决问题的能力问题. 【基础训练】 1.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个) ,经过3小时,这种细菌1个可繁殖成 ( B ) A .511个 B.512个 C .1023个 D.1024个
【解析】设第n 次分裂繁殖所得的细菌数为a n ,则{a n }是一个首项a 1 = 2,公比q = 2的等比数列,每20分钟分裂一次,3小时共分裂9次, 得:a 9 = 29 = 512. 故选B. 【点评】应用等比数列模型.
2.农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成. 2005年某地区农民人均收入为3150元 (其中工资性收入1800元,其他收入1350元) ,预计该地区自2006年起的5年内,农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增大,其他收入每年
增加160元. 根据以上数据,2010年该地区农民人均收入介于 ( D )
A .4800元~5000元 B.4600元~4800元 C .4200元~4400元 D.4400元~4600元 【解析】2010年该地区农民人均收入为
. 故
选D.
【点评】应用等差(比)模型.
3.根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累计的需求量
S n (万件) 近似地满足S n =(21n –n 2–5) (n = 1, 2, „,12). 按此预测,在
本年度内,需求量超过1.5万件的月份
是 ( C ) A .5月、6月 B.6月、7月 C .7月、8月 D.8月、9月
【解析】设第n 个月份的需求量超过1.5万件,则S n – S n –1
=
(21n – n 2 –
5) –[21(n – 1) – (n – 1)2 – 5]>1.5.
整理得:n 2 – 15n + 54<0,解得6<n <9, 故选C.
【点评】求和S n 与通项a n 实际应用举例.
4.设数列{a n }是首项为50,公差为2的等差数列,{b n }是首项为10,公差为4的等差数列,以a k 、b k 为相邻两边的矩形内最大圆的面积记为S k ,若k ≤21,那么S k = ( B ) A .(2k + 1)2 B.(2k +3)2 C .(2k + 12)2 D .(2k + 24)2
【解析】欲求矩内圆的最大面积S k ,需知a k 与b k 的大小. ∵a k = 50 +2( k –1) = 2k + 48,
b k = 10 + 4 ( k –1 ) = 4k + 6 (k ≤21), ∴b k – a k = 2k – 42 = 2 (k –21)≤0.
b k „a k ,矩形内最大圆半径r k =b k , S k =
(2k + 3)2.
【点评】几何问题与数列综合.
5.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.
已知数列{a n }是等和数列,且a 1 = 2,公和为5,那么a 18的值为 3 这个数列
的前n 项和S n 的计算公式为.
【解析】该数列为2,3,2,3,2,„,故a 12=2. 当n =2k 时,S n =S 2k =5k .
当n =2k -1时,S n =S 2k -1=5k .-3.
所以
【点评】创新型数列, 也称新定义题.
【知识要点】 1.复利公式
按复利计算利息的一种储蓄,本金为a 元,每期利率为r ,存期为x 期,则本利和y = a (1 + r ) x . 2.产值模型
原来产值的基础数为N ,平均增长率为p ,对于时间x 的总产值y = N (1 + p ) 3.单利公式
利用按单利计算,本金为a 元,每期利率为r ,存期为x ,则本利和y = a +a ·r ·x .
4、由一次函数可构造等差数列问题,由二次函数可构造等差数列求和问题,由指数函数可构造等比数列问题
5.数列与其他知识综合,主要有数列与不等式、数列与三角、数列与解析几何等.
【双基固化】 1.等差数列问题 例 1 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查,调查后提供了两个不同的信息图,甲调查表明:从第一年平均每个养鸡场生产1万只鸡上升到第六年平均每个养鸡场生产2万只鸡,如图甲;乙调查表明:由第一年养鸡场有30个减少到第六年有10个,如图乙.
请你根据提供的信息回答下列问题:
(1)第六年这个县的生产鸡数比第一年增多了还是减少了?说明理由:
(2)设第n 年平均每个养鸡场生产只数为a n ,第n 年的养鸡场个数为b n ,写出a n ,b n 的解析式(用n 表示,1≤n ≤6,n ∈N *);
(3)在这6年内,哪一年该县生产鸡数最多?说明理由.
【解析】(1)第一年这个县的生产鸡数为1×30 =30(万只) ,第六年这个县的生产鸡数为2×10=20(万只).
∴第六年这个县的生产鸡比第一年减少.
(2)由图知{ an }、{ bn }都是等差数列,所以
a n = 1 + 0.2 (n – 1) = 0.2n + 0.8,(1≤n ≤6,n ∈N *). b n = 30 – 4(n – 1) = –4n + 34 ,( 1≤n ≤6,n ∈N *). (3)该县的年生产鸡数为
a n ·b n = (0.2n + 0.8) (– 4n + 34) = –
( 1≤n ≤6,n ∈N *).
∴当n = 2时,a n ·b n 的最大值是31.2(万只). 即第二年该县生产鸡数量最多.
【点评】本题是有关等差数列的实际问题,要求能通过看图表读取有关数据,其中(n ,a n ) 满足一次函数,其离散点在一条直线上. 2.等比数列问题
例 2 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,以发展旅游产业. 根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
(1)设n 年内(本年度为第一年) 总投入为a n 万元,旅游业总收入为b n 万元. 写出a n ,b n ;
(2)只需经过几年旅游的总收入就能超过总投入?
【解析】(1)第一年投入为800万元,第2年投入为800×(1 –) 万元,„,
第n 年投入为800 × (1–) n -1万元. 所以,n 年内的总投入为
a n = 800 + 800 ×(1 –) + „+800 × (1 –) n -1
=
= 4000×[1–() n ].
第1年旅游业收入为400万元,第2年旅游业收入为400×(1 +) 万元,„„,第n 年旅游业收入为400×(1 +) n -1万元. 所以,n 年内旅游业总收入为
b n = 400 + 400×(1 +)+„„+400×(1 +) n -1 =
=1600×[() n – 1]
(2)设只需经过n 年旅游业的总收入就能超过总投入,由此b n –a n >0, 即1600×[() n –1] – 4000×[1–() n ]>0.
化简得5×() n + 2() n – 7>0,
设x = () n ,代入上式得5x 2– 7x + 2>0,
解此不等式得x <或x >1(舍去).
即() n <,
由此得n ≥5.
答:至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入.
【点评】本题主要考查建立函数关系式、等比数列求和、不等式等基础知识,考查综合运用数学知识解决实际问题的能力. 本题立意自然,具有较强的实践性,又能和考生所熟悉的数学情境统一,背景公平,又深入浅出. 3.创新型数列
例3 对任意函数f (x ) ,x ∈D ,可按如图所示构造一个数列发生器,其工作原
理如下:
①输入依据x 0∈D ,经数列发生器输出x 1 = f (x 0) ;
②若x 1D ,则数列发生器结束工作;若x 1∈D ,则将x 1反馈回输入端,
再输出x 2 = f (x 1) ,并依此规律继续下去. 现定义
.
(1)若输入,则由数列发生器发生数列{x n },请写出数列{x n }
的所有项;
(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列,试求输入始数据x 0的值; (3)若输入x 0时产生的无穷数列{x n }满足:对任意正整数n ,均有x n <x n +1,求x 0的取值范围.
【解析】(1)f (x ) 的定义域D = (–∞, –1)∪(–1, +∞). ∴数列{x n }只有三项:
,x 3= –1.
(2),即x 2 – 3x + 2 = 0,
∴x = 1或x = 2, 故当x 0 = 1或2时,
,
即当x 0 = 1时,x n = 1;当x 0 = 2时,x n = 2 (n ∈N *). (3)解不等式x <
,得x <–1或1<x <2,
要使x 1<x 2,则x 1<–1或1<x 1<2, 对于函数
,
当x 1<–1时,x 2 = f (x 1) >4,x 3 = f (x 2) <x 2, 当1<x 1<2时,x 2 = f (x 1) >x 1,且1<x 2<2,
依次类推,可得数列{x n }的所有项均满足x n +1>x n (n ∈N *). 综上所述x 1∈(1, 2),由x 1 = f (x 0) ,得x 0∈(1, 2).
【点评】本题是创新型题,以新课标中的算法为依托考查数列、函数、不等式等知识,有综合性,有新意. 【能力提升】
例4 如图为一台冷轧机的示意图,冷轧机由若干对轧辊组成,带钢从一端输入,经过各对轧辊逐步减薄后输出.
(1)输入带钢的厚度为,输出带钢的厚度为,若每对轧辊的减薄率不超过
r 0. 问冷轧机至少需要安装多少对轧辊? (一对轧辊减薄率
=) (2)已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊,所有轧辊周长均为1600mm. 若第k 对轧辊有缺陷,每滚动一周在带钢上压出一个疵点,在冷轧机输出的带钢上,疵点的间距为L k . 为了便于检修,请计算L 1、L 2、L 3并填入下表. (轧钢过
【解析】(1)0(1 – r 0) n . 为使输出带钢的厚度不超过
,冷轧机的轧辊数(以对为单位) 应满足 (1 – r 0) n ≤, 即 (1 – r 0) n ≤
. ①
.
由于(1 – r 0) n >0,>0,对①式两边取对数,得 n lg (1 – r 0)≤lg∵lg (1 – r 0) <0, ∴n ≥
.
因此,至少需要安装不小于的整数对轧辊.
(2)方法一:第k 对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长,在此处出口的两疵点间带钢的体积为 1600·(1 – r ) k ·宽度(其中r = 20%), 而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为
L k ·(1 – r ) 4·宽度.
因宽度相等,且无损耗,由体积相等,得 1600·(1 – r ) k = L k ·(1 – r ) 4, 即 L k = 1600·0.8k –4. 由此,得 L 3 = 2000 (mm), L 2 = 2500(mm),
L 1 = 3125(mm). 填表如下:
方法二:第3与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等,因宽度不变,有 1600 = L 3·(1 – 0.2). 所以 同理 = 200(mm). = 2500(mm), = 3125(mm).
长率模型A = a (1 + x ) n ;(2)利用体积不变可解决问题,要求较强有分析问题能力.
【规律总结】
数列应用题的解法一般是根据题设条件,列出目标函数(或等差或等比数列模型) ,然后利用相关的数列知识定型解模.
1.解应用题题首先要分析实际问题的结构特点,找出所含元素间的数量关系,从而识别或确认为何种数学模型.
2.定模的过程就是把文字语言表述的实际问题翻译成数学符号语言表述的数学问题, 有关系数在读题中找出, 或用待定系数解出.
3.解模的过程就是运算的过程,首先判断是等差数列还是等比数列,确定首项、公差(比)、项数是什么,能分清a n ,S n ,然后选用适当方法求解. 4.最后的程序是还原,即把数学问题的解客观化,针对实际问题的约束条件合理修正,使其成为实际问题的解.
5.注意:在中学应用题中一般不需建模, 因为在题中一般模型已经给出.
【课时作业】 A 组题
一、选择题
1.某单位某年12月份产量是同年1月份产值的m 倍,那么该单位此年的月平均增长率是( C ) A .C .
B.
D.
【解析】设1月份产量为1,月平均增长率为x ,则m ·1 = 1·(1 + x ) 11, ∴x =
–1.
2.从2006年到2009年期间,甲每年6月1日都到银行存入m 元的一年定期储蓄. 若年利率为q 保持不变,且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期,到2010年6月1日,甲去银行不再存款,而是将每年所有的存款的本息全部取回,则取回的金额是 ( D ) A .m (1 +q ) 4 B.m (1 +q ) 5 C .
D.
【解析】2006年到2009年各年存款在2010年取时本息各为m (1 + q ) 4,m (1 + q ) 3,m (1 + q ) 2,m (1 + q ) ,故共有m (1 + q ) 4 + m (1 + q ) 3 + m (1 +q ) 2 + m (1 + q ) =
.
3.夏季某高山上的温度从山脚起,每升高100m 降低0.7℃. 已知山顶的温度是14.8℃,山脚处的温度是26℃,则这山顶相对于山脚的高度是 ( C )
A .2000m B.1800m
C .1600m D.1400m 【解析】h =
×100 = 1600.
二、填空题
4.制造某种产品,预计经过两年使成本降低36%,则平均每年应降低成本的百分比为 20% .
【解析】令平均每年应降低成本百分比为x ,则64%= (1 – x ) 2,∴x = 20%. 三、解答题
5.某学生在体育训练时弄伤了膝关节,医生给开了些消炎药,并叮嘱每天早晚八时各服用一片药片. 现知该药片220毫克,他的肾脏每十二小时从体内滤出这种药的60%;并且如果这种药在体内残留量超过386毫克,就将产生副作用. 请问:
(1)该同学上午八时第一次服药,问第二天早间服完时,药在他体内还残留多少?
(2)该同学若长期服用该药肯定会产生副作用吗?
【解析】(1)设该生第n 次服药后,药在他体内的残留量为a n 毫克, a 1 = 220,a 2 = 220 + a 1 × (1– 60%) = 220 ×0.4,
a 3 = 220 + a 2 × (1– 60%)
=220 + 220 × 0.4 ×0.4 = 343.2,
第二天早间是他第三次服药,故服药后,药在他体内的残留量为343.2毫克. (2)解法一:a n = 220 +a n -1 (1 – 60%) (n ≥2) =220 + 0.4a n -1
= 220 + 0.4 (220 + 0.4a n -2)
=220 + 0.4 × 220 + 0.42 × 220 +„+0.4n -1 × 220 =
=
<386,
∴长期服用该药不能肯定会产生副作用. 解法二:由a n = 220 + 0.4a n -1 可化得a n –
=0.4(a n –1–
)(n ≥2) ,
∴{a n –}是一个以a 1–为首项,0.4为公比的等比数列,
∴a n –= (a 1–)·0.4n -1<0,
∴a n <<386,这就是说该同学长期服用该药,不能肯定会产生副作用(注:
医学专用名词, 更符合逻辑性).
6.某村镇1996年底的人口为1万人,人均住房面积为5m 2,若该村每年人口平均增长率为1%,欲使2006年年底人均住房面积达10m 2,那么每年平均需新建住房多少m 2?
【解析】依题意,每年年底的人口数组成一个等比数列,a 1 = 1(万) ,公比为q =
11-110
1 +1% = 1.01,n = 11,则 a 11 = 1× (1.01) = (1.01) = 1 +
× 0.01+
×(1.01)2+„
≈1 + 0.1 + 0.0045 = 1.1045(万).
又每年年底的住房面积数组成一个等差数列,公差为d ,到2006年底的住房面积为5 + 10d (万m 2) ,则人均住房面积为
=10,解得d = 6045(m 2).
故:每年平均需新建住房6045m 2. 7.据有关资料,2005年我国工业废垃圾达7.4×108吨,占地562.4平方公里. 若环保部门每年回收或处理1吨旧物资,则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾,并可节约开采各种矿石20吨. 设环保部门2006年回收10万吨废旧物资,计划以后每年递增20%的回收量,试问
(1)2011年回收废旧物资多少吨?
(2)从2006年至2011年可节约开采矿石多少吨?(精确到万吨)
(3)从2006年至2011年可节约多少平方公里土地?
【解析】设a n 表示第n 年的废旧物资回收量,S n 表示前n 年废旧物资回收总量,则数列{a n }是以10为首项,1 + 20%为公比的等比数列. (1)a 6 = 10 (1 +20%)5 = 10 × 1.25 = 24.8832≈25 (万吨). (2)S 6 =
= 99.2992≈99.3 (万吨).
∴从2006年到2011年共节约开采矿石 20 × 99.3≈1986 (万吨).
(3)则从2006年到2011年共减少工业废弃垃圾4×99.3 = 397.2(万吨), ∴从2006年到2011年共约
≈3平方公里.
8.甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动. 甲第1分钟走2m ,以后每分钟比前1分钟多走1m ,乙每分钟走5m . (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前1分种多走1m ,乙继续每分钟走5m ,那么开始运动几分钟后第二次相遇?
【解析】(1)设n 分钟后第1次相遇,依题意,有2n + +5n = 70,
2
整理得n + 13n –140 = 0,解得n = 7,n = –20 (舍去). 第1次相遇是在开始运动后7分钟. (2)设n 分钟后第2次相遇,依题意.
有2n + + 5n = 3 × 70. 整理得n 2 + 13n – 6× 70 = 0, 解得n = 15,n = – 28(舍去). 第2次相遇是在开始运动后15分钟.
9.某企业2006年的纯利润为500万元,因设备老化等原因,企业生产能力将逐年下降,若不进行技术改造,预测从今年(2007年) 起每年比上一年纯利润减少20万元. 今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第n 年(今年为第一年) 的利润为500(1 +
) 万元(n 为
正整数).
(1)设从今年起的前n 年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元,进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元(须扣除技术改造资金) ,求A n ,B n 的表达式;
(2)依上述预测,从今年起企业只需经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润就超过不进行技术改造的累计纯利润? 【解析】(1)依题意
+„+(500 – 20n )
2 = 490n – 10n ,
B n = 500[(1+) + (1 +) +„+ (1+)]–600
= 500[n +]–600
=500n –,
∴A n = 490n –10n 2,B n = 500n –.
(2)∵B n –A n = (500n ––100) – (490n –10n 2) =10.
∵函数f (x ) = x 2 + x ––10在(0, +∞)上是增函数,
当1≤n ≤3时,n (n +1) –≤12–10<0,当n ≥4时,n (n +1) –10≥20––10>0,
∴仅当n ≥4时,B n >A n .
即只需经过4年,该企业进行技术改造后的累计纯利润就超过不进行技术改造的累计纯利润.
B 组题
10.一种计算装置,有一数据入口A 和一个运算出口B ,执行某种运算程序:
(1)当从A 口输入自然数1时,从B 口得到实数,记为;
(2)当从A 口输入自然数n (n ≥2)时,在B 口得到的结果f (n ) 是前一结果f (n – 1)的倍.
当从A 口输入3时,从B 口得到 ;要想从B 口得到
应从A 口输入自然数 . 【解析】∵, ,则
∴,
=
=, ∴,
11.已知整数对排列如下:(1, 1) ,(1, 2) ,(2, 1) ,(1, 3) ,(2, 2) ,(3, 1) ,(1, 4),(2,3),(3, 2),(4, 1),(1, 5),(2, 4)„则第60个整数对是 .
【解析】①(1, 1) ②(1, 2), (2, 1)
③(1, 3),(2, 2),(3, 1)
④(1, 4),(2, 3),(3, 2), (4, 1)
┇ ┇
⑩(1, 10), (2, 9),„,(10, 1)
前10组共有 1 + 2 + 3 +„+10 = 55个整数对故第60个整数对在第11组 而11(1, 11),(2, 10) ,(3, 9), (4, 8), (5, 7),„
故第60个整数对为(5, 7).
12.假设A 型进口汽车关税率在2001年是100%,在2006年是25%,2001年A 型进口汽车每辆价格为64万元( 其中含32万元关税税款).
(1)已知与A 型车性能相近的B 型国产车,2001年每辆价格为46万元. 若A 型车的价格只受关税降低影响,为了保证在2006年B 型车的价格不高于A 型车价格的90%,B 型车的价格要逐年降低,问平均每年至少降低多少万元?
(2)某人在2001年年初将33万元存入银行,假设该银行扣利息税后的年利率为1.8%(五年内不变),且每年按复利计算 (第一年的利息计入第二年的本金) ,那么五年到期时这笔钱连本带息是否一定够买一辆按(1)中所述降价后的B 型车?
【解析】(1)因为2006年关税税款为2001年关税税款的,故所减少的关税税款为: 32×= 24(万元).
所以2006年A 型车价格为64 – 24 = 40(万元).
因为5年后B 型车价格应不高于A 型车价格的90%,所以B 型车价格≤40×90%= 36(万元).
因为2001年B 型车价格为46万元,故5年中至少要降10万元.
所以平均每年至少降价2万元;
(2)根据题意,2001年存入的33万元5年后到期时连本带息可得:33×(1 +
1.8%)5 (万元). 因为33× (1 + 1.8%)5>33 (1 + 5 × 0.018 + 100×0.000324) = 36.07692(万元).
所以够买一辆依(1)中所述5年后降价为36万元以下的B 型车.