几类定积分不等式的证明_王阳
2009年 《和田师范专科学校学报》(汉文综合版) Jul.2009第28卷第三期 总第59期
几类定积分不等式的证明
王阳 崔春红
(河北农业大学中兽医学院 河北定州 073000) [摘 要]文章归纳、介绍了由定积分性质、积分中值定理、柯西-许瓦
兹不等式、变限积分函数的特性、泰勒公式证明定积分不等式的五种方法,并以
适当的例题,说明运用这些方法时的基本思路和解题技巧。
≤
⎛⎤,
−x 2) dx ≤1⋅⎜⎥
⎦⎝
经整理知所证不等式成立。
二、利用积分中值定理证明不等式
当被积函数是连续的,常可用积分中值定理。
例:设f (x ) 在[0,1]上连续且递减,求证:当0
∫
λ
f (x ) dx ≥λ∫f (x ) dx 。
1
证:
∫
λ
f (x ) dx −λ∫f (x ) dx
1
[关键词]定积分;不等式;证明
在高等数学中,不等式的证明是一个重要的内容,也是一个难点。为探讨不等式的证明问题,下面给出几类积分不等式的证明方法,并以相应的实例加以说明。
=∫f (x ) dx −λ∫f (x ) dx −λ∫f (x ) dx
λλ1
λ
=(1−λ) ∫f (x ) dx −λ∫f (x ) dx (积分中值定理)
λ1
λ
=(1−λ) f (ξ1) λ−λ(1−λ) f (ξ2)
一、利用定积分性质证明不等式
主要利用定积分的单调性、绝对值不等式及估值不等式来证明,尤其对形如A ≤
=λ(1−λ) [f (ξ1) −f (ξ2) ],其中0≤ξ1≤λ, λ≤ξ2≤1,
因为f (x ) 递减,则有f (ξ1) ≥f (ξ2) ,又λ>0,1−λ>0,所以λ(1−λ) [f (ξ1) −f (ξ2) ]≥0,即:
∫
b
a
f (x ) dx ≤B 及
∫
b
a
f (x ) dx ≤C 的不等式,可用微
分法先求出f (x ) 在[a , b ]上的最大、最小值,再用估值定理即可。
−1≤
2
∫
λ0
f (x ) dx ≥λ∫f (x ) dx 。
1
−x ) dx ≤
2
三、利用柯西-许瓦兹不等式证明定积分不等式
当所求证的不等式中含有:
证:先求被积函数f (x ) =exp(−
x 2) 在⎡上的最大
⎢⎣
∫
b
a
f 2(x ) dx ,
(∫
b
b
a
f (x ) dx
)
2
或
和最小值。
∫
b
a
f (x ) dx ∫g (x ) dx 的形式时,可用柯西——许瓦兹不等式求证。
a
b
∵f ′(x ) =−2x exp(−x )
∴
f (x ) 在⎡⎤上单调增加,在⎡上单调减少,而
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣
2f (=f f (0)=1,因此f (x ) =exp(−
x )
2
例:设f (x ) 在[a , b ]上连续,且试证:
在⎡
⎢⎣
上有最大值f (0)=1,最小值为exp(−1) 。
2)(∫f (x )cos λxdx )≤1。
证:
(∫
f (x )sin λxdx )=(∫λxdx ) (∫
b a
f (x ) ≥0, ∫f (x ) dx =1,
a
2
2
f (x )sin λxdx +
b a
2
b
a
2
a
≤∫f (x ) dx ⋅∫f (x )sin 2λxdx =∫f (x )sin 2λxdx ,
a
b b b
由估值不等式知:
1⎛⎤ exp(−) ⋅⎥2⎜⎦
⎝
同理有:
(∫
a
b
a
f (x ) cos λxdx
)
a
2
≤∫f (x ) cos 2λxdx ,则 :
a
b
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
现三级跳远运动第一跳的起跳角度要小于跳远运动的起跳角度。而3.4落地技术的对比研究 且经过T 检验(p
3.3空中技术的对比研究 [2]李鸿江,沙捷.三级跳远[M].人民体育出版社,2001. 空中技术虽然不是决定三级跳远和跳远运动成绩的主要因素,[3]李国雄,冯树勇.跳远运动员速度与助跑速度利用率问题[J].田径,2002但空中技术的优良与否,则会直接影响到运动的整体结构。在这个(10). 方面,两个项目的要求是一样的,就是必须保证良好的空中平衡,[4]张玉泉.国内外优秀跳远运动员技术参数的比较分析[J].田径,2000(1). 同时为下一个技术动作的完成做好准备。在专家访谈过程中,对此作者简介:黄杨(1979-),江苏南通人,南通商贸高等职业学校助教,问题的看法也保持一致,这说明跳远和三级跳远的空中技术没有本研究方向:运动训练学。 收稿日期:2009-02-12 质上的差别。
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2009年 《和田师范专科学校学报》(汉文综合版) Jul.2009第28卷第三期 总第59期
理性面对生活
——读《人性的污秽》有感
黄书娟
(苏州大学外国语学院 江苏苏州 215006)
式的犹太性对犹太性有了更全面、更深刻的认识。理性的认识将带
来生活的合理化进行。新实用主义的代表舒斯特曼教授将新实用主义美学推为一种“生活艺术”与“生活之道”(彭锋,2008:64)新实用主义打通了语言学与翻译的切入口,文学作为情感的宣泄方式,对生活应有更深的理解,不仅是为生活的艰难而呻吟,不仅是对生活的不幸给予怜悯,更多的是对生活方式和态度的指引。这也是本文想要达到的高度。
二、美国犹太人的过去与现在的颠覆
犹太人对自己的生活是有着传统性的恪守,男婴出生第八天要举行割礼仪式,是对再生的追求,也是对性的约束。一直生活在异乡的犹太人对自己的身份经历了尴尬、模糊和认定的全面过程。在[摘 要]现代美国犹太人在美国这块“应许之地”、“希望之乡”的生
美国,传统犹太文化与美国化的个人实现之间出现严重冲突,视为活态度面临转变,介于任何文化的真空都将导致文化的死亡,现代美国犹太人更
珍宝的犹太传统在与美国主流社会的融合中遭到摒弃,出现了“文注重对传统犹太性的超越,对自身更全面的思考。《人性的污秽》作者菲利普·罗
化裂变”的现象。老一辈固守传统,中年人的观念刻板,年轻的政斯作为犹太性颠覆式认知的代表,在其作品中向读者展示的是一种新型生活态
治家们原则灵活,而年轻人则对美国化毫无免疫力。一方面竭尽全度。本文意在从实际意义角度对其进行解读,旨在端正美国犹太人对自身的生活
力地想在异乡扎根,另一方面,犹太性和犹太传统像永远无法摆脱态度,并让非犹太裔美国人对其生活态度有所宽容和认可,将文学推向实用主义
的精神枷锁。美国主流社会就是一座永远进不去的城堡,一批又一美学的生活之道高度。
批的边缘人出现,被挂起,永远在城堡外徘徊。“这种对自我身份的[关键词]理性;生活态度;生活之道
自觉在犹太人身上常常体现为强烈的局外感和边缘感,反映在犹太一、引言
”(邹智勇,1999:41)犹犹太人的历史就是一部“流浪史”、“离散史”,不断地寻找栖息文学文本中就成了各种各样的异化现象。
(Rochman ,Hazel ,之地是犹太人要完成的终身事业。作为犹太文化的承载者,每一个太人一直守着“make the unfair world fairer”
犹太人到每一个居住地都面临与所住地文化的磨合问题,不断寻求2008:60)的信念,却面临“survive or success”(Corlett ,J.Angelo ,精神家园,却始终没有归属感的精神状态并没有让犹太人崩溃,在2001:207)的不停追问。
菲利普·罗斯的作品《人性的污秽》向我们传达了现代美国犹这个天生理性的民族里,不停地流浪让他们意识到融合是与异族文
“割礼”化接触的最好方法和必然结果。当犹太人在美国这块“应许之地”太人对犹太传统颠覆的心声,具体有两种方式:1.性释放。
找到希望时,他们有过极力维护传统的一代,有过矛盾迷茫的一代,在犹太教中的意义之一是对性的约束,但《人性的污秽》中的主人但现代美国犹太人更注重的是对传统犹太性的超越。菲利普·罗斯公柯尔曼却与比自己小很多的妇女发生不伦关系,文中有对他们在 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(∫
b
a
f (x )sin λxdx +
b
)(∫
2
b
a
f (x )cos λxdx
b
)
2
连续函数,证明1
a ∫0
a
⎡1a ⎤
f [g (x ) ]dx ≥f ⎢∫g (x ) dx ⎥(a >0) 。
⎣a 0⎦
≤∫f (x )sin 2λxdx +∫f (x ) cos 2λxdx
a
a
证:由泰勒公式知存在ξ∈(x , x 0) ,f (x ) =f (x 0) +f ′(x 0) (x −x 0)
=
∫
b
a
f (x )(sinλx +cos λx ) dx =∫f (x ) dx =1
a
22
b
+
四、通过变限积分函数证明不等式
通过变限积分函数作辅助函数,然后讨论其单调性,来证明积
分不等式的成立。
例:设f (x ) 是[a , b ]上的单调递增的连续函数,求证:
1
f ′′(ξ)(x −x 0) 2,由f ′′(x ) >0,则有: 2!
a
f (x ) ≥f (x 0) +f ′(x 0)(x −x 0) (∗) ,令x 0=1∫g (t ) dt ,
a
∫
b
a
xf (x ) dx ≥
a +b b
f (x ) dx ∫a 2
x =g (t ) 代入(∗) ,并对(∗) 从0到a 积分,得:
a ⎡1a ⎤⎡1a ⎤′≥+f g t dt af g t dt f g t dt () () () []∫0∫∫⎢⎥⎢⎥⎣a 0⎦⎣a 0⎦
a a a
i ⎡∫g (t ) dt −∫g (t ) dt ⎤,即∫f [g (t ) ]dt ≥af ⎢0⎥00⎣⎦
证:作辅助函数F (x ) =
∫
x
a
tf (t ) dt −
f (x ) 在[a , b ]上连续知F (x ) 可导。
且F ′(x ) =xf (x ) −=
a +x x
f (t ) dt ,由∫a 2
⎡1a ⎤
g (t ) dt ⎥,故 ∫⎢0
⎣a ⎦
1a ⎡1a ⎤
() f g x dx f g (x ) dx ⎥。 ≥[]∫∫⎢a 0⎣a 0⎦
六、小结
本文给出了积分不等式的几种证明方式,可以帮助学生在短期
内对照归纳,总结经验。再通过例题以达到融会贯通,举一反三,触类旁通的境界。同时,也可以锻炼学生分析其它高数问题时要加强研究,形成体系,以减少学生学习高等数学所遇到的困难。
1x a +x
−f t dt f (x ) () ∫a 22
a −x 1x
f (x ) −∫f (t ) dt ,又f (x ) 在[a , b ]上单调递22a
增,故在[a , x ]上有f (t ) ≤f (x ), t ∈[a , x ],则 :
因此F (x ) 在[a , b ]单调递增。又因为F (a ) =0, b ≥a ,所以F (b ) ≥F (a ) =0,即
参考文献:
[1]白银凤等.微积分及其应用[M].高等教育出版社,2001. [2]刘连福,许文林.高等数学[M].中国农业出版社,2007. [3]詹瑞清等.高等数学全真课堂[M].学苑出版社,2003.
[4]沈燮昌,邵品宗.数学分析纵横谈[M].北京大学出版社,1991.
The Proving of the Inequality in the Definite Integral
Abstract: The article classified and introduced five ways to prove the inequality in the definite integral, and explained the basic thinking and solve the problems by examples.
Key words: definite integral; inequality; proving
∫
x
a
f (t ) dt ≤∫f (x ) dt =(x −a ) f (x ) ,则F ′(x ) ≥0。
a
x
∫
b
a
xf (x ) dx ≥
a +b b
f (x ) dx 。
2∫a
五、利用泰勒公式证明不等式
作者简介:王阳(1979-),男,河北省定州人,理学学士,河北农业
当不等式中出现二阶及二阶以上导数时,可用泰勒公式证明。 大学中兽医学院教师,研究方向:应用数学。
例:设f (x ) 处处二阶可导,且f ′′(x ) >0,又g (x ) 为任一收稿日期:2009-02-16
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