数学运算各种经典公式

1. 两次相遇公式：单岸型 S=(3S1+S2)/2 两岸型 S=3S1-S2

例题：两艘渡轮在同一时刻垂直驶离 H 河的甲、乙两岸相向而行，一艘从甲岸驶向乙 岸，另一艘从乙岸开往甲岸，它们在距离较近的甲岸 720 米处相遇。到达预定地点后， 每艘船都要停留 10 分钟，以便让乘客上船下船，然后返航。这两艘船在距离乙岸 400 米处又重新相遇。问：该河的宽度是多少？

A. 1120 米 B. 1280 米 C. 1520 米 D. 1760 米

典型两次相遇问题，这题属于两岸型（距离较近的甲岸 720 米处相遇、距离乙岸 400 米处又重新相遇）代入公式3*720-400=1760选D

如果第一次相遇距离甲岸X 米，第二次相遇距离甲岸Y 米，这就属于单岸型了，也就是说属于哪类型取决于参照的是一边岸还是两边岸

2. 漂流瓶公式： T=（2t 逆*t顺）/ （t 逆-t 顺）

例题：AB 两城由一条河流相连，轮船匀速前进，A――B，从A 城到B 城需行3天时间，而从B 城到A 城需行4天，从A 城放一个无动力的木筏，它漂到B 城需多少天？

A 、3天 B 、21天 C 、24天 D 、木筏无法自己漂到B 城

解：公式代入直接求得24

3. 沿途数车问题公式：发车时间间隔T=(2t1*t2)/ （t1+t2 ） 车速/人速=(t1+t2)/ (t2-t1)

例题：小红沿某路公共汽车路线以不变速度骑车去学校，该路公共汽车也以不变速度不停地运行，没隔6分钟就有辆公共汽车从后面超过她，每隔10分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，公共汽车的速度是小红骑车速度的（ ）倍？

A. 3 B.4 C. 5 D.6

解：车速/人速=（10+6）/（10-6）=4 选B

4. 往返运动问题公式：V 均=(2v1*v2)/(v1+v2)

例题：一辆汽车从A 地到B 地的速度为每小时30千米，返回时速度为每小时20千米，则它的平均速度为多少千米/小时？（ ）

A.24 B.24.5 C.25 D.25.5

解：代入公式得2*30*20/(30+20)=24选A

5. 电梯问题：能看到级数=（人速+电梯速度）*顺行运动所需时间 （顺）

能看到级数=（人速-电梯速度）*逆行运动所需时间 （逆）

6. 什锦糖问题公式：均价A=n /｛（1/a1）+(1/a2)+(1/a3)+(1/an)｝

例题：商店购进甲、乙、丙三种不同的糖，所有费用相等，已知甲、乙、丙三种糖

每千克费用分别为4.4 元，6 元，6.6 元，如果把这三种糖混在一起成为什锦

糖，那么这种什锦糖每千克成本多少元？

A ．4.8 元 B ．5 元 C ．5.3 元 D ．5.5 元

7. 十字交叉法：A/B=(r-b)/(a-r)

例：某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ，则此班女生的平均分是：

析：男生平均分X ，女生1.2X

1.2X 75-X 1

75 =

X 1.2X-75 1.8

得X=70 女生为84

8.N 人传接球M 次公式：次数=（N-1）的M 次方/N 最接近的整数为末次传他人次数，第

二接近的整数为末次传给自己的次数

例题： 四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式（）。

A. 60种 B. 65种 C. 70种 D. 75种

公式解题： (4-1)的5次方 / 4=60.75 最接近的是61为最后传到别人次数，第二接近的是60为最后

传给自己的次数

9. 一根绳连续对折N 次，从中剪M 刀，则被剪成（2的N 次方*M+1）段

10. 方阵问题：方阵人数=（最外层人数/4+1）的2次方 N 排N 列最外层有4N-4人

例：某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共有学生？

析：最外层每边的人数是96/4+1＝25，则共有学生25*25=625

11. 过河问题：M 个人过河，船能载N 个人。需要A 个人划船，共需过河（M-A ）/ (N-A)次

例题 (广东05) 有37名红军战士渡河，现在只有一条小船，每次只能载5人，需要几次才能渡完？ （ ）

A.7 B. 8 C.9 D.10

解：（37-1）/（5-1）=9

12. 星期日期问题：闰年（被4整除）的2月有29日，平年（不能被4整除）的2月有28

日，记口诀：一年就是1，润日再加1；一月就是2，多少再补算

例：2002年 9月1号是星期日 2008年9月1号是星期几？

因为从2002到2008一共有6年，其中有4个平年，2个闰年，求星期，则：

4X1+2X2=8，此即在星期日的基础上加8，即加1，第二天。

例：2004年2月28日是星期六, 那么2008年2月28日是星期几？

4+1＝5，即是过5天，为星期四。（08年2 月29日没到）

13. 复利计算公式：本息=本金*｛（1+利率）的N 次方｝，N 为相差年数

例题：某人将10万远存入银行，银行利息2%/年，2年后他从银行取钱，需缴纳利息税，税率为20%,则税后他能实际提取出的本金合计约为多少万元？ （ ）

A.10.32 B.10.44 C.10.50 D10.61

两年利息为（1+2%）的平方*10-10=0.404 税后的利息为0.404*（1-20%）约等于0.323，则提取出的本

金合计约为10.32万元

14. 牛吃草问题：草场原有草量=（牛数-每天长草量）*天数

例题：有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时，如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？

A 、16 B 、20 C 、24 D 、28

解：（10-X ）*8=（8-X ）*12 求得X=4 （10-4）*8=（6-4）*Y 求得答案Y=24 公式熟练以后可以不设方程直接求出来

15. 植树问题：线型棵数=总长/间隔+1 环型棵数=总长/间隔 楼间棵数=总长/间隔-1

例题：一块三角地带，在每个边上植树，三个边分别长156M 186M 234M ，树与树之间距离为6M ，三个角上必须栽一棵树，共需多少树？

A 93 B 95 C 96 D 99

16：比赛场次问题： 淘汰赛仅需决冠亚军比赛场次=N-1 淘汰赛需决前四名场次=N

1. 100名男女运动员参加乒乓球单打淘汰赛，要产生男女冠军各一名，则要安排单打赛多少场？（ ）

A. 95 B. 97 C. 98 D. 99

【解析】答案为C 。在此完全不必考虑男女运动员各自的人数，只需考虑把除男女冠军以外的人淘汰掉就可以了，因此比赛场次是100－2＝98（场）。

2. 某机关打算在系统内举办篮球比赛，采用单循环赛制，根据时间安排，只能进行21场比赛，请问最多能有几个代表队参赛？（ ）

A. 6 B. 7 C. 12 D. 14

【解析】答案为B 。根据公式，采用单循环赛的比赛场次＝参赛选手数×（参赛选手数－1 ）/2，

因此在21场比赛的限制下，参赛代表队最多只能是7队。

3. 某次比赛共有32名选手参加，先被平均分成8组，以单循环的方式进行小组赛；每组前2名队员再进行淘汰赛，直到决出冠军。请问，共需安排几场比赛？（ ） A. 48 B. 63 C. 64 D. 65

【解析】答案为B 。根据公式，第一阶段中，32人被平均分成8组，每组4个人，则每组单循环赛产生前2名需要进行的比赛场次是：4×（4－1）÷2＝6（场），8组共48场；第二阶段中，有2×8＝16人进行淘汰赛，决出冠军，则需要比赛的场次就是：参赛选手的人数－1，即15场。最后，总的比赛场次是48＋15＝63（场）。

4. 某学校承办系统篮球比赛，有12个队报名参加，比赛采用混合制，即第一阶段采用分2组进行单循环比赛，每组前3名进入第二阶段；第二阶段采用淘汰赛，决出前三名。如果一天只能进行2场比赛，每6场需要休息一天，请问全部比赛共需几天才能完成？（ ）

A. 23 B. 24 C. 41 D. 42

【解析】答案为A 。根据公式，第一阶段12个队分成2组，每组6个人，则每组单循环赛产生前2名需要进行的比赛场次是：6×（6－1）÷2＝15（场），2组共30场；第二阶段中，有2×3＝6人进行淘汰赛，决出前三名，则需要比赛的场次就是：参赛选手的人数，即6场，最后，总的比赛场次是30＋6＝36（场）。又，“一天只能进行2场比赛”，则36场需要18天；“每6场需要休息一天”，则36场需要休息36÷6－1＝5（天），所以全部比赛完成共需18＋5＝23（天）。

1、某人工作一年的报酬是8400 元和一台电冰箱，他干了7 个月不干了，得到3900 元和一台电冰箱。这台电冰箱价值多少元？ （用比例的思维 。这题在比列中算是比较简单的题了）

【解析】

一年的报酬：8400+电冰箱一台

7个月的报酬：3900+电冰箱

所以5个月的报酬就是：8400-3900=4500

每个月的报酬就是：4500/5=900

一年的报酬就是：900*12=10800

电冰箱就是：10800-8400=2400

2、甲、乙两车分别从A ，B 两地出发，相向而行，出发时，甲、乙的速度比是 5：4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B 时，乙离A 地还有10千米。那么A ，B 两地相距多少千米？

【解析】

方法一（七夜解法）：

假设全程为9份，相遇的时候，甲走5份，乙走了4份，之后速度开始变化，这样甲到达B 地，甲又走了4份

根据速度变化后的比值，乙应该走了4×6/5＝24/5份

所以这样离A 地还有5－（24/5）份 10*9/(1/5)=450

方法二（我的解法）：

假设全程是9份，相遇时，甲走5份，乙走4份

甲乙的路程比就是速度比变为，5：4

之后由于变速甲乙速度比变为，4：4.8

所以当甲到B 点时（即走了5+4=9份），乙走了4+4.8=8.8份

乙距离全程还相差9-8.8=0.2份

0.2份对应的是10千米

所以9份对应的是9*10/0.2=450千米 （大家觉得七夜的解法和我的解法哪个好点？）

3、小明每天早晨6：50从家出发，7：20到校，老师要求他明天提早6分钟到校。如果小明明天早晨还是6：50从家出发，那么，每分钟必须比往常多走25米才能按老师的要求准时到校。问：小明家到学校多远？

【解析】

方法一：（小学生的做法，也就是列式计算法）

要提前6分钟到校，所以用时是30-6=24分钟

而这6分钟走的路程正好就是小明每分钟加快多走25米，走了24分钟才走好的

因此小明用正常速度走6分钟的路程就是：24*25=600米

所以小明正常的速度就是：600/6=100米/分钟（怎么这么慢捏？）

所以S=100*30=3000米

方法二：

时间比是30：24=5：4

所以速度就是时间比的反比4：5

5-4=1，1个比例点对应25米，所以4个比例点对应4*25=100米（正常的速度）

所以S=100*30=3000米

4、甲读一本书，已读与未读的页数之比是3：4，后来又读了33 页，已读与未读的页数之比变为5：3。这本书共有多少页？

【解析】

这题要注意的就是书的页数始终保持不变（我废话了=。=）

一开始，已读与未读的页数之比是3：4，所以已读的页数与整本书的页数比就是3：（3+4）=3：7

后来又读了33页，已读与未读的页数之比变为5：3，所以已读的页数与整本书的页数比就是5：（5+3）=5：8

因此，整本书的页数就是：

33/（5/8-3/7）=168

（这里我想扯开讲讲代入法了，因此之前是3/7，之后是5/8，因此整本书的页数一定就是7、8的公倍数，也就是56的倍数，有选项的话直接秒，嘎嘎）

5、一辆车从甲地开往乙地. 如果车速提高20％，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达. 那么甲、乙两地相距多少千米？

【解析】

先看前半句“如果车速提高20％，可以比原定时间提前一小时到达”

得到原速与加速比是5：6，所以时间比就是6：5，6-5=1，1个比例点对应1小时

所以用原速度行驶完全程需要6*1=6小时

再看这句话“如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达”

提速后，原速与变速比是4：5，时间比是5：4，5-4=1，1个比列点对应2/3小时

所以车子用原速行驶后半程的话就是用了5*2/3=10/3小时

故前面的120千米行驶的路程用时是6-10/3=8/3小时

得到原速度就是120/8/3=45千米/小时

所以S=45*6=270千米

6、甲、乙两城相距91千米，有50人一起从甲城到乙城，步行的速度是每小时5千米，汽车行驶的速度为35千米／小时，他们有一辆可乘坐五人的面包车，最短用多少时间使50人全部到达乙城？（这题的汽车速度没有变化，飞飞在这里总结了一种直接可以套上用的类似公式的计算式，希望大家能掌握）

【解析】

速度比是35：5=7：1

7-1=6

6/2=3

路程可分成：1+3+9=13份 （注，1+3是第一批人下车的路程，9是因为共有50人，5人一组，因此有10组，但每一组人要走10-1=9份路程。当公式记住吧）

91*（4/13/35+9/13/5）=67/5=13.4小时

7、一只船从甲码头往返一次共用4小时，回来时顺水比去时每小时多行12千米，因此后2小时多行16千米。那么甲，乙两个码头距离时多少千米？

【解析】

这题是个模块，只要记住这个模块就行了

顺水的时间是：16/12=4/3小时

则逆水时间是：4-4/3=8/3小时

时间比等于速度比的反比，V 顺：V 逆=8/3：4/3=2：1

V 顺=V逆+12

所以V 顺=24

所以S=24*4/3=32KM

8、甲乙两车分别从A 、B 两地出发，并在A 、B 两地间不间断往返行驶，已知甲车的速度是15千米/小时，乙车的速度是每小时35千米，甲乙两车第三车相遇地点与第四次相遇地点差100千米，求A 、B 两地的距离

A 、200千米 B 、250千米 C 、300千米 D 、350千米

【解析】

速度比是15：35=3：7

全程分成10份

第三次甲行的路程是：3*（2*2+1）=15份

第四次甲行的路程是：3*（2*3+1）=21份

两次相距5-1=4份，对应100KM

所以10份对应的就是250KM

9、某工程有甲乙合作，刚好按时完成，如果甲工作效率提高20%，哪么2个人只需要规定时间9/10 就可以完成如果乙工作效率降低25%，那么2人就需要延迟2.5小时完成工程，球规定时间。

【解析】

甲提高效率，整体效率提高了10/9-1=1/9，所以甲是1/9/20%=5/9，所以乙是4/9

所以原来甲乙之比是5：4

乙变速后甲乙之比是5：3（做到这里，我觉得方程更直观，我分两步做吧）

（1）先用方程

可得到方程是：

9T=8*（T+2.5）

T=20小时

（2）用比列做

乙降低1份，对应多用的时间就是2.5

现在共5+3=8份，所以时间就是8*2.5=20小时

10、甲、乙二人分别从A 、B 两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A 、B 两地的距离。

【解析】

V 甲=50*（6+26）/20=80

S=6*（80+50）=780

11、小王和小李合伙投资，年终每人的投资进行分红，小王取了全部的1/3另加9万元，小李取了剩下的1/3和剩下的14万元。问小王比小李多得多少万元

【解析】

小李取了剩下的1/3和剩下的14万元

所以14万就是小李取的2/3，所以在小王取完之后就剩下14/2/3=21万

小王也一样，取的2/3就是21+9=30，所以全部的钱钱就是30/2/3=45万

所以就知道小王是24万，小李是21万

12、甲从A 地步行到B 地，出发1小时40分钟后，乙骑自行车也从同地出发，骑了10公里时追到甲。于是，甲改骑乙的自行车前进，共经5小时到达B 地，这恰是甲步行全程所需时间的一半。问骑自行车的速度是多少公里/小时？

【解析】

走完全程需要的时间是5*2=10小时

一直骑车需要的时间是5-5/3=10/3小时

所以人的速度与自行车的速度比是10：10/3=3：1

车追上人需要：5/3/(3-1)=5/6小时，对应10公里的路程

所以车子的速度就是：10/5/6=12KM/H

13、甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务。甲车单独清扫需要10小时，乙车单独清扫需要15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米，问东、西两城相距多少千米？

【解析】

解析：甲车和乙车的速度比是15：10＝3：2

相遇时甲车和乙车的路程比也是3：2

3-2=1，1个比列对应12千米，共有3+2=5个比例

所以S=12*5=60

14、甲、乙、丙三台车床加工方形和圆形的两种零件，已知甲车床每加工3个零件中有2个是圆形的；乙车床每加工4个零件中有3个是圆形的；丙车床每加工5个零件中有4个是圆形的。这天三台车床共加工

了58个圆形零件，而加工的方形零件个数的比为4：3：3，那么这天三台车床共加工零件几个？

A.68 B.76 C.78 D.88

【解析】

甲车床加工方形零件4份，圆形零件4*2＝8份

乙车床加工方形零件3份，圆形零件3*3＝9份

丙车床加工方形零件3份，圆形零件3*4＝12份

圆形零件共8＋9＋12＝29份，每份是58÷29＝2份

方形零件有2*（3＋3＋4）＝20个

所以，共加工零件20＋58＝78个

15、一辆车从甲地开往乙地。如果把车速减少10%，那么要比原定时间迟1小时到达，如果以原速行驶180千米，再把车速提高20%，那么可比原定时间早1小时到达。甲、乙两地之间的距离是多少千米？

A.360 B.450 C.540 D.720

【解析】

原速度：减速度=10：9，

所以减时间：原时间=10：9，

所以减时间为：1/（1-9/10）=10小时；原时间为9小时；

原速度：加速度=5：6，原时间：加时间=6：5，

行驶完180千米后，原时间=1/（1/6）=6小时，

所以形式180千米的时间为9-6=3小时，原速度为180/3=60千米/时，

所以两地之间的距离为60*9=540千米

16、一只帆船的速度是60米/分，船在水流速度为20米/分的河中，从上游的一个港口到下游的某一地，再返回到原地，共用3小时30分，这条船从上游港口到下游某地共走了多少米

A.280/3 B.560/3 C.180 D.240

【解析】

船的顺水速度：60＋20＝80米／分，船的逆水速度：60－20＝40米／分。

因为船的顺水速度与逆水速度的比为2：1，所以顺流与逆流的时间比为1：2。

这条船从上游港口到下游某地的时间为：

3小时30分＊1／（1＋2）＝1小时10分＝7／6小时。 （7/6小时＝70分）

从上游港口到下游某地的路程为：

80＊7／6＝280／3千米。（80×70＝5600）

17、（先看18题）一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地。大轿车的速度是小轿车速度的80%。已知大轿车比小轿车早出发17分钟，但在两地中点停了5分钟，才继续驶往乙地；而小轿车出发后中途没有停，直接驶往乙地，最后小轿车比大轿车早4分钟到达乙地。又知大轿车是上午10时从甲地出发的。那么小轿车是在上午什么时候追上大轿车的

A 11点01分 B11点05分 C11点10分 D.11点15分

【解析】

大轿车行完全程比小轿车多17－5＋4＝16分钟

所以大轿车行完全程需要的时间是16÷（1－80％）＝80分钟

小轿车行完全程需要80×80％＝64分钟

由于大轿车在中点休息了，所以我们要讨论在中点是否能追上。

大轿车出发后80÷2＝40分钟到达中点，出发后40＋5＝45分钟离开

小轿车在大轿车出发17分钟后，才出发，行到中点，大轿车已经行了17＋64÷2＝49分钟。

说明小轿车到达中点的时候，大轿车已经又出发了。那么就是在后面一半的路追上的。

既然后来两人都没有休息，小轿车又比大轿车早到4分钟。

那么追上的时间是小轿车到达之前4÷（1－80％）×80％＝16分钟

所以，是在大轿车出发后17＋64－16＝65分钟追上。

所以此时的时刻是11时05分。

18、甲、乙两车都从A 地出发经过B 地驶往C 地，A ，B 两地的距离等于B ，C 两地的距离。乙车的速度是甲车速度的80%。已知乙车比甲车早出发11分钟，但在B 地停留了7分钟，甲车则不停地驶往C 地。最后乙车比甲车迟4分钟到C 地。那么乙车出发后几分钟时，甲车就超过乙车。

A.25 B.26 C.27 D.28

【解析】

乙车比甲车多行11－7＋4＝8分钟。

说明乙车行完全程需要8÷（1－80％）＝40分钟，甲车行完全程需要40×80％＝32分钟

当乙车行到Ｂ地并停留完毕需要40÷2＋7＝27分钟。

甲车在乙车出发后32÷2＋11＝27分钟到达Ｂ地。

即在Ｂ地甲车追上乙车。

19、小明步行从甲地出发到乙地，Mr Lee骑摩托车同时从乙地出发到甲地.48分钟后两人相遇，Mr Lee到达甲地后马上返回乙地，在第一次相遇后16分钟追上小明. 如果Mr Lee不停地往返于甲、乙两地，那么当小明到达乙地时，Mr Lee共追上小明几次？

A3 B 4 C 5 D 7

【解析】

当第二次相遇时小明走了16份，Mr Lee 走了48*2+16=112份，速度比为1：7，当小明走了1个全程，Mr Lee走了7个全程，

追上次数=（7-1）/2=3

20. 兄、弟一同栽树要8小时完成，兄先栽3小时，弟再栽1小时，还剩11/16没有完成，已知兄比弟每小时多栽7棵树，问问这批树共有多少棵？（ ）

A. 120 B. 112 C. 108 D. 96

哥哥栽3小时，弟弟栽1小时，相当于，哥哥弟弟一起栽了1小时，哥哥再栽2小时

所以哥哥的效率是：（5/16-1/8）/2=3/32

弟弟的效率就是：1/8-3/32=1/32

效率差是：3/32-1/32=1/16，对应的是7棵树

所以哥哥弟弟共栽了：7*16=112棵树