浅谈高中数学中常出现的几种三角函数求值题型

浅谈高中数学中常出现的几种三角函数求值题型

四川省南充市南部县大坪中学刘永亮

【摘要】三角函数知识是历年高考数学中必考的知识点之一，容易与其他知识点相互结合，有较强的综合性。文章结合

近年来的考试大纲相关要求，分析中学数学中常出现的几种三角函数求值的题型。

【关键词】三角函数高中数学求值题型

近几年的高考考题中都出现了三角函数式求值，这是高考考试大纲要求的必考内容。三角函数的高考考题一般出现在中等难度题型中，主要考查学生灵活运用基础知识的能力。三角函数主要体现等价的数学思想，其问题均以考查三角变换为核心，因此，熟练掌握并能灵活运用有关三角函数的方式，掌握变换技巧与方法对高中生来说尤为重要。

一、给点求值

例ｌ，已知角口终边上一点Ｐ（一３，４），求ｓｉ眦，ｃｏ鲋，

ｃｏ缸，ｓｅｃａ的值。

解：由题意可得：

．

髫＝一３，ｙ＝４，ｒ＝Ｖ再歹＝、／＝互丽ｒ＝５

所以ｓｉ眦：￡：叁ｃ０９昨旦一｝

ｒ

）

ｒ

）

ｃｏ鳅：旦一孚ｓｅｃａ：二＿－晏

茹

‘．

算

］

小结：这类问题比较简单，只需掌握三角函数的定义，通过定义即可求出答案。

二、给角求值

这一题型要求熟练掌握两角和与差的三角函数的基本

公式、二倍角公式，特别要注意逆向使用和差角公式与二倍角公式；灵活运用以此将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。

例２，已知ａ为第二象限的角，且ｓｉ眦：单，求

面丽击的值。

ｓｉＩｌ（叶二｝）

解：ａ为第二象限的角，ｓｉ眦：型粤

．・．ｃｏ鳅一、／Ｆ品忑ｆ一导４

一面五再鬲丽２——西面磊磊冱丽五一

．ｓｉｎ∽｝）ｓｉ删ｃ嗍子＋ｃ—ｉ衄｝

二芝；（ｓｉ吣＋ｃｏ劫一———！二—————————————一一：ｚｃ０８ａｆｓｉｎ口＋ｃｏｓａ）

：丝一订

４Ｃｏｓｎ

小结：解这类问题时，主要有以下方法：

（１）熟练掌握公式，并且会逆用和变形运用公式；（２）化简时的基本方法主要有异角化同角、异名化同名、消除运算结构的差异。

万方数据

三、给值求值

给出角的某个三角函数值。求其他的三角函数式的值，常用到同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、和差公式，有时也会用到辅助角公式和“配角”的技巧。

例３，已知ｔａｎ（旱问＝｝，求值：

－ｒ

二

（１）ｔ明ａ

（２）酱

…帅峙础要若＝器专

解得ｔ～一｝（２）簧警＝

呈！ｉ坚９塑堑鱼塑垒：至！ｉ幽！塑堡

１＋２ｃｏｓ缸一ｌ

２ｃｏｓ理

啪一手一言

小结：解题的关键是找出已知条件与所求的函数值之间的角的运算及函数名称的差异，对已知式与所求式加以适当变形，以达到解决问题的目的。

四、给值求角

给出三角函数值求角的关键有二：

（１）求出要求角的

某一三角函数值，通常以正弦或余弦为目标函数；（２）确

定所求角在（已求该角的函数值）相应函数的哪一个单调区间上，要特别注意已知条件和中间所求函数值的正负符

号。

例４，已知ｓｉＩｌ（ａ一争）＝孚，ｓｉＩＩ（肛手）＝土乒，且

口一争ｃ（ｏ手），户手ｃ（ｏ手），求专＆的值。解：。．。ｎ一手ｃ（ｏ手），肛争ｃ（ｏ手）

．’．ｏ＜孚＜订

．・一（华）一［（ａ一争）＋伊等）］

一（ａ一争）ｃｏｓ（争手）勘（ａ一争）ｓｉｎ（ｐ争）

＝竽－学一孚・等＝孚

５

１０

５

１０

２

故孚＝｝

小结：在给值求角问题中。求出三角

（下转４１页）

变化规则中以－ｏ结尾的词。一般情况下在词尾加—髓构成，但是，某些外来词（ｐｉ蚰ｏ，ｃｅⅡｏ，ｔｏｂａｃｃｏ，ｍｏｎｏ等）则在词尾加峭；有些外来词有不规则的复数形式（也就是

适应时代的需要。

２．培养英语思维方式

文化的不同导致了人的价值观、人生观思维方式也是的差异。因此，教师在教学中应该多方面、多渠道地组织大量的情景交际训练，渗透异国文化知识，培养学生的英

他们原来的复数形式）如肌ａｌｙｓｉｓ一柚ａｌｙｓｅｓ分析，ｂ鹊ｉｓ—

ｂａｓ∞基基，ｃｒｉｓｉｓ—ｃｒｉｓ鹄危机，商ｔｅｒｉｏｎ—ｃｒｉｔｅｒｉａ标准，

ｍｅｄｉｕｍ—ｍｅｄｉａ媒体，ｐｈｅｎ砌ｅｎｏｎ—ｐｈｅｎｏｍｅｎａ现象等ｏ

４．在阅读教学中感受异国文化

阅读来源于生活，语言是反映的是社会生活。文化背景知识越丰富。阅读理解就越容易。因此，在平时教学中要扩大学生的文化储备，让学生了解英美民族的文化背景、生活习俗、思维习惯，从而提高阅读理解能力和英语运用能力；向学生介绍名人轶事、历史传说、民间故事、幽默小品、史地常识、科普文章、寓言等。例如前文中提到的

Ｂ００Ｋ５ｕｎｉｔ２

语思维能力。在教学中引导学生比较英汉思维模式的差异，

帮助学生尽快适应英语思维方式，尽早形成英语思维习惯，有意识地参照得体、恰当的文化背景来进行交流。这样，学生自然地进入英语学习所需要的状态，形成正确的英语思维习惯，在学习英语时，既能学到语言知识，又能学到

语言文化。

３．指导学生主动学习异国文化

要拓展学生的异国文化知识，仅靠课堂教学是不够的，因此，必须充分利用课外时间、举行课外活动来扩大学生的异国文化知识。指导学生大量阅读的课外文章，进行大量的文化积累，帮助学生多渠道地摄取文化

ｎｅｕｎｉｋ妇晒ｎ刚ｏｍ，课前，我鼓励学生

ＢＡＩＤｕ英国相关的历史和文化，并准备一些自己想要了解

的问题。上课时，将世界地图及英国地图呈现给学生。让

学生带着信息及问题，师生一起探讨和解决。如：ｗｈｅｒｅＵＫ？Ｗｈａｔ

ｍａｔｅ

ｉｓ

ｉｓ

养分。如组织Ｅｎ幽ｓｈＣｏｍｅｒ，模仿表演、观看外国影

片，让学生通过感官与心灵接触英语国家的文化，以愉悦的心情体验其文化并感悟其文化内涵。还可以鼓励学生多用英语与外国人进行面对面或者书信、网络的交流；指导学生课前课后查阅与课文相关的文化信息来扩大视野、体会和感受异国文化的魅力。当然，还要不断提高学生的鉴别能力，以免受到异国不良文化的负面影响。常用的英语网站有：

（１）ｈｔｔｐ：，／讯州．ｒｏｎｇ—ｃｈ锄ｇ．ｃｏｍ（２）ｈｔｔｐ：，，蚋州．ｇｌｏｂａｌｅｎｇｌｉｓｈ．ｃｏｍ等

ｉ协ｃ印ｉｔａｌ，ｓ缸把彻ｄｐ叩ｕｌ撕∞？Ｗｈａｔｉｓｉ协ｃｌｉ—

ｌｉｋｅ？Ｗｈ砒ｉｓｍｅｄｉ雎ｒｅｎｃｅｂｅｔｗｅｅｎＵＫ舳ｄＢｒｉｔａｉｎ？这

样，学生可以了解到更多的异国文化知识。

三、教师如何提高自身修养

学生在学习过程中的语言和文化输入依赖于英语教材和英语教师的传授。作为英语教师，怎样才能在教学中更好地渗透异国文化知识呢？下面的几点看法，希望能起到抛砖引玉的作用。

．

１．切实提高自身的文化修养。

在新课程实施背景下，一名合格的英语教师应该尽

结束语

在新课程背景下，英语教师应该意识到在高中英语教学中加强异国文化知识的渗透是必要可行的，更是提高英

量得体地运用语言，更应该提升自己的知识底蕴，熟知

英语国家文化。首先，必须更新教学理念，充分地理解文化的特性，辨别文化的差异，从而处理好语言教学和

语教学质量的重要途径。身为教师，一定要与时俱进，改

进教学方法，告别单纯的语言传授，做到语言文化并重，拓展学生异国文化的视野，提高学生对中外文化差异的敏

文化教学的关系。其次，必须不断更新英语国家社会、

文化、生活等方面的信息，因为文化会随着时代的不断发展变化，新的语言现象、文化现象会不断产生。教师丰富的异国文化知识是靠平时积累的，只有厚积才能薄发。因此，教师要做个“有心人”，所谓“世事洞明皆学闻，人情练达即文章”。可以通过电视、广播、报刊、网络等摄取异国文化知识。其中，美国之音的ｗｏ耐ｓ

ａｎｄ

感性和洞察力，减少文化障碍，提高学生的交际能力。圈

【参考文献】

［１］教育部．高中英语课程标准．北京师范大出版社，２００１．

［２］邓炎昌，刘润清著．语言与文化．外语教学与研究出版社．１９８９．

ｎｅｉｒｓｔｏｒｉｅｓ栏目对成语典故的学习帮助很大。教师

要以自己的乐学、好学和博学来激发学生的学习兴趣。再次。必须不断提高自己的业务水平、及时更新自己的知识结构、掌握先进的教学手段、不断改进教学方法以

［３］顾嘉祖．跨文化交际．南京师范大学出版社，２０００．［４］陈舒．文化与外语教学的关系．国外外语教学，

１９９７（２）．

（上接３１页）

函数值后，要注意限制角的范围。

由余弦定理，ｃ。出＝立差｝＝詈＝｝地佃二

由于口ｃ（０，ｐ）

五、求三角形内的角或三角函数值

这一题型要求能够掌握、运用正弦定理和余弦定理。

例５，在△Ａ曰Ｃ中，边口、６、ｃ的对角分别为Ａ、口、

・・・肚手

小结：此题利用正弦定理化三角函数关系式为三角形的边的关系，再由余弦定理用边的关系求角。解题方向要

明确。

三角函数考题比较灵活，解题策略多样，公式较多，通过平时的训练可以培养学生的思维水平，提高学生的解

Ｃ，且满足８ｉｎⅥ＋ｓｉｎ２ｃ一８ｉｎＡ・ｓｉｎｃ＝８ｉｎ冶，求角Ｂ的值。

解析：由正弦定理可设备＝志＝斋＝Ｊ｝

８ｉｎＡ＝｝，８ｉ曲＝｝，８ｉｎｃ＿｝，代入已知式，可得

＾

＾

斤

一押２－６毡叩

题应用能力。圈

万方数据

浅谈高中数学中常出现的几种三角函数求值题型

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：

刘永亮

四川省南充市南部县大坪中学教育界JIAOYUJIE 2011(3)

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