积化和差与和差化积公式
积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课
一、基本公式复习
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β.
1、两角和与差公式及规律 cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β.
tan(α±β) =tan α±tan β. 1 tan αtan β
2二倍角公式及规律 sin 2αsin 2ααα2 sin 2α=2sin αcos α. ⇒cos α=,sin α=. 1±sin α=(sin±cos ) . 2cos α2cos α22
⎧2α1+cos αcos =. ⎪22 22⎧2αcos 2α=cos α-sin α⎪2cos . ⎪ ⎪⎪2α1-cos α22=2cos α-1⇒1±cos α==. ⎨⎨sin 22⎪2sin 2α. ⎪=1-2sin 2α. ⎪⎪2α1-cos α⎩2tan =. ⎪ 21+cos α2tan α⎩tan 2α=. 1-tan 2α ⎧2α1+cos αcos =. ⎪3、积化和差与和差化积公式 22⎧2α⎪2cos . ⎪ ⎪⎪2α1-cos α2⇒1±cos α=⎨1αsin αcos β=[sin(α+β) +sin(α-β)].⎪ 2sin 2. ⎪2⎩21cos αsin β=[sin(α+β) -sin(α-β)]. 2
1cos αcos β=[cos(α+β) +cos(α-β)]. 2
1sin αsin β=-[cos(α+β) -cos(α-β)]. 2=. ⎨sin 22⎪⎪2α1-cos α⎪tan 2=1+cos α. ⎩
sin α+sin β=2sin α+β
22
α-sin β=2cos α+βsin α-β. sin 22
α+cos β=2cos α+βcos α-β. cos 22
α-cos β=-2sin α+βsin α-β. cos 22 cos α-β.
二、应注意的问题
1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础,应记准该公式的形式.
2、倍角公式cos 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α有升、降幂的功能,如果升幂,则角减半,如果降幂,则角加倍,根据条件灵活选用.
3、公式的“三用”(顺用、逆用、变用)是熟练进行三角变形的前提.
3、整体原则-------从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手,寻求三角变形的思维指向;
4、角度配凑方法 如
222
α+βα-ββ+αβ-α2α=(α+β) +(α-β) =(β+α) -(β-α) =2(+) =2(-) = 2222
法。其中α, β是任意角;等等。
三、例题讲解 α=(α+β) -β=β-(β-α) =α+β2+α-β=α+β-β-α=
sin(3π-x ) cos(x -π) tan(x -π) cot(
例1已知f (x ) =cos(n π-x ) n π+x ) ,(n ∈Z )
52π); 3
3π4) =, 求f (α) 的值. (2) 若cos(α-25(1) 求f (
解当n =2k (n ∈Z ) 时,
f (x ) =-sin x cos x tan x cot x =-sin x ; cos x
-sin x cos x tan x (-tan x ) =-sin x tan 2x . cos x
3π4) =-sin α, ∴sin α=-. cos(α-25 当n =2k +1(k ∈Z ) 时,f (x ) =
故当n 为偶数时,
52π52π4π) =-sin =-sin =333 4f (α) =-sin α=; 5f (
当n 为奇数时,
52π52π52π4π4π) =-sin tan 2. =-sin tan 2=333332 sin 2α92f (α) =-sin αtan α=-sin α⋅=. 2cos α16f (
例2已知tan α=3, 求3sin α+sin 3α的值. 3cos α+cos3α
3sin α+(3sinα-4sin 3α) 解原式= 3cos α+(4cos3α-3cos α)
sin α(3-2sin 2α) =2cos 3α
sin α(sin2α+3cos 2α)
= 2cos 3α
1=tan α(tan2α+3) 2
=18.
例3已知sin(α+β) =21,sin(α-β) =. 35
(1) 求tan αcot β的值;
(2) 当α+β∈(-
解(1) ππ, ), α-β∈(-, ) 时,求sin 2β的值. 2222ππ
2⎧sin αcos β+cos αsin β=, ⎪⎪3⎨1[方法1]⎪sin αcos β-cos αsin β=, ⎪5⎩
137⇒sin αcos β=,cos αsin β=. 3030
从而,tan αcot β= sin αcos β13=. cos αsin β7
sin αcos β, cos αsin β [方法2]设x =tan αcot β= sin(α+β) 10=, 且sin(α-β) 3
sin(α+β)
sin(α+β) cos αcos βtan α+tan β ==sin(α-β) tan α-tan β
cos αcos β
tan α+1x +1tan β==, tan -1x -1
tan β
x +11013=, ⇒tan αcot β=x =. x -137 ∴
(2)由已知可得
sin 2β=sin[(α+β) -(α-β)]
=sin(α+β)cos(α-β) -cos(α+β)sin(α-β)
=11,cos(α-β) =, 求tan αtan β的值. 22 例4已知cos(α+β) =
解
1⎧cos αcos β-sin αsin β=, ⎪⎪2⎨⎪cos αcos β+sin αsin β=1, ⎪3⎩
51⇒cos αcos β=,sin αsin β=-. 1212
∴tan αtan β=sin αsin β1=-. cos αcos β5
11,cos α-sin β=, 求sin(α+β) 的值. 23 例5已知sin α-cos β=
解 将两条件式分别平方,得 1sin 2α-2sin αcos β+cos 2β=, 4 1cos 2α-2cos αsin β+sin 2β=. 9
将上面两式相加,得
13, 36 59⇒sin(α+β) =. 722-2sin(α+β) =
sin 7 +cos15 sin8
例6 的值等于 ( ) cos7 -sin15 sin8
A
.2
.2 C
D
解
sin(150-80) +cos150sin80
原式=cos(150-80) -sin150sin80
sin150cos80-cos150sin80+cos150sin80=cos150cos80+sin150sin80-sin150sin80
tan 450-tan 300
000=tan15=tan(45-30) =1+tan 450tan 300=2故选B.
作业:
复习题