混凝土统一强度理论及其应用

1998年12月　　　　　西北建筑工程学院学报　　　　D ec . 1998第4期　　　　　　J . of NW In st . of A rch . Eng . 　　　　　N o . 4

3

混凝土统一强度理论及其应用

赵均海

(西北建筑工程学院建筑工程系)

俞茂宏　刘云贺　张永强

(西安交通大学建筑工程与力学学院　西安　710048)

摘要　总结了国内外各种混凝土多轴强度理论和大量实验资料, 提出了一种介于莫尔2库仑理论和双剪应力强度理论之间的混凝土统一强度理论, 考虑了中间主应力Ρ2的影响, 具有清晰的物理概念, 较简单的数学表达式. , 与国内外学者的试验结果吻合较好, 算例表明, 可以适用于工程应用. 关键词　统一强度理论; 混凝土; 多轴强度中国图书资料分类号　TU 528

, 这对混, 国内外学者对此进行了大量的研究[1～7], 得出了众. 这些破坏准则都从各自不同的假设和力学模型出发, , 将其表达成一定的函数形式, 如F (Ρ1, Ρ2, Ρ3) , F (I 1, J 2,

) 等J 3) 或F (Ν, r , Η. 获得这种函数关系一般有两种途径:①以试验为依据拟合出F ; ②理论

假设结合少量试验点推导得出F .

第一种方法获得的破坏准则可以准确地反映混凝土的强度, 但需要大量的试验数据, 且没有明确的物理概念; 后一种方法得出的公式较复杂, 不易被工程技术人员接受, 目前混凝土结构工程中常用的强度准则是莫尔2库仑准则、. D ruaker 2P rager 和W illam 2W arnke 准则莫尔2库仑准则具有简单的表达式, 在工程中得到广泛的应用, 该准则的缺陷是没有考虑Ρ2的影响. D rucker 2P rager 准则及各种相应的圆锥形准则由于不能反映极限面拉伸子午线和压缩子午线的不同, 已经证明与试验结果不符. 现在虽然提出众多的强度理论但是, 对于某些基本的试验结果, 仍未能有一个理论上的说明或给予数学上的描述. 现有各强度理论之间存在什么关系, 以及这些强度理论如何选用等问题, 也是人们所关心的问题.

1　混凝土材料的基本特性

混凝土材料在不同应力状态下的强度差别很大. 混凝土材料的强度理论较之金属材料

3国家自然科学基金资助(59779028) 收稿日期:1998201212第一作者:男, 1960年生, 博士

　　　　　　　　　　　　　　西北建筑工程学院学报　　　　　　　　　　　1998年2

更为复杂, 具有与金属材料不同的一些特性[8, 9].

①混凝土材料的拉伸强度f t 与压缩强度f c 不同, 因此不能用单参数准则.

②在三轴或双轴受压状态下, 混凝土的强度要提高. 为此美国于1975年对某些标准作了修改, 提高了容许应力, 设定了应力增大系数. 图1为美国1975年制定的AC I 2A SCE 标准为核电站预应力混凝土压力容器, 安全壳结构设计提出了三轴压缩应力状态下应力值增大系数.

③混凝土的多轴强度具有中间主应力效应. 图2为Gachon H 得出的混凝土三轴试验结果

.

图1　美国A C 　　　　　

图2　混凝土在三轴应力下的极限强度(Gachon, 1971)

图3. 从图中可知, Ρ2有很大的影响, 它的, 且中间主应力的影响具有区间性.

B angash 等在研究核反应堆压力容器的混凝土三轴强度中, 总结了混凝土压力容器的大量设计和实践资料, 得出了混凝土压2压2压和拉2压2压的三轴强度随中间主应力Ρ2而变化的规律. 其中压2压2压试验结果如图4所示. 从图中可以看出, Ρ3愈大, 混凝土的强度

　　图3　清华大学及国外试验结果　　　　　　　

图4　混凝土在压2压2压状态下的　　　Ρ2效应(Bangash )

第4期　　　　　　　　赵均海等:混凝土统一强度理论及其应用　　　　　　　　3愈大. 在现在的Bangash 的Ρ3的水平下(图4中, Ρ3最大为Ρ3=0. 015f c ) , Ρ3的变化可以使混凝土的强度与单轴压缩强度f c 之比最大为200◊～260◊, 由于三个主应力大小接近时, 可以减小剪应力的大小, 因此材料强度提高, 这是容易理解的.

当Ρ3固定在某一数值时, 则中间主应力Ρ2改变时, 材料强度也将发生改变, 在图4的8条曲线中可以看到十分明显的变化. 在压2压2压状态下, Ρ2可以使材料强度提高达50◊. 同样在拉2压2压状态下, Ρ2效应也十分显著. 因此考虑中间主应力效应, 可以大幅度提高材料的强度, 取得巨大的经济效益.

图5　正交八面体双剪单元体模型

2　混凝土材料的统一强度理论

俞茂宏教授自60力理论, 它的研究对象是双剪单元体, . , 提出考虑了中间主应力Ρ2, 其双剪统一强度理论表达式为[8～11].

Σ13+b Σ12+Β(Ρ13+b Ρ12) =C 　　F ≥F ′F =Σ13+b Σ23+Β(Ρ13+b Ρ23) =C 　　F ≤F ′

(1a ) (1b )

式中:Β, C 为材料常数; b 为中间主剪应力及其相应的正应力对材料破坏影响的权系数. 它们与材料剪切强度极限Σ0和混凝土的单轴抗拉强度f t 、单轴抗压强度f c 、及双轴抗压强度

f

bc

的关系为

λλλΒ=　　C =f c 　　Α=f t f c 　　Α=f bc f c ) Α(1+Α1+Α

b ==　或　B =

f t -Σ0B -11+b

(

b Ρ2+Ρ3) =f

1+b Ρ2≤

F ′=

(2) (3)

　　用主应力和材料的单轴拉伸强度f t 、单轴压缩强度f c 表示的双剪统一强度理论为

F =Ρ1-t

1+Α

t

(4a )

(Ρ1+b Ρ2) -a Ρ3=f 1+b

Ρ2≥

1+Α

(4b )

　　用混凝土凝聚力c 和内摩擦角Υ表示则为

(Ρ13+b Ρ12) =(1+b ) c co s ΥF =Σ13+b Σ12+sin Υ

　　　　　　　　　　　　　　西北建筑工程学院学报　　　　　　　　　　　1998年4

F ≥F ′

(5a ) (5b )

F ′=Σ13+b Σ23+sin Υ(Ρ13+b Ρ23) =

(1+b ) c co s Υ　F ≤F ′

以上各式中:Σ12, Σ13, Σ23为主剪应力; Ρ12, Ρ13, Ρ23为主剪应力面上的正应力, 分别为Σ13=(Ρ1-Ρ3) 2　　Ρ13=(Ρ1+Ρ3) 2Σ12=(Ρ1-Ρ2) 2　　Ρ12=(Ρ1+Ρ2) 2Σ23=(Ρ2-Ρ3) 2　　Ρ23=(Ρ2+Ρ3) (6)

图6　Π平面的统一强度理论极限面

　　由此得到的破坏面在子午面上为平直线, 在Π平面上的形状如图6所示. 一般情况下, 双剪统一强度理论的极限面是以静水应力轴为轴心的不等边十二边形锥形. 当0≤b ≤1时, 极限面均为外凸的. b =0为莫尔2库仑强度准则.

将双剪统一强度理论用应力不变量形式表示, 则为

F =(1-F ′=(1-

) Α

3

+

1+b

) J 2sin Η+(2+Α

J 2sin 3

(7a ) co f t ≤Ηb

) Α

3

+(Α+

1+b

)

3

co s Η=f t 　　Ηb ≤Η≤60°

(7b )

式中:I 1) ; J 2为偏应力张量第二不变量; Η为与双剪应力

参数t Σ=t Σ13. 交接处的角度Η的条件求得 b 可由F =F ′

, Β=

3-Β1+Α

Ηb =arctg

(8)

为了使角隅光滑化, 俞茂宏建议了一个双剪应力三参数准则的角隅模型, 表达式为:

) =) (1+) =0　　0°F (Ν, r , Η-r (Η≤Η≤60°

f c Θf c 式中

Σm =

) =r (Η

22

(9)

5

, 　Ρm =

2

3

2

2

2

2

1

(10) (11) (12)

22

(r t -2r c ) 24(r c -r 2t ) co s Η+

λΘ=, r t =

Α-Α

λ, 　　r c =52Α+Α

λ53ΑΑ+Α-Α

为了适应更复杂的情况, 在双剪应力准则的基础上进一步改进用五参数准则, 表达式为

2

(13a ) F =Σ13+Σ12+Β(Ρ13+Ρ12) +A 1Ρm +B 1Ρm =C 　　(广义拉伸) 　　F ≥F ′

2

F ′=Σ13+Σ23+Β(Ρ13+Ρ12) +A 2Ρm +B 2Ρm =C 　(广义压缩) 　F ≤F ′(13b )

式中:Β, A 1, A 2, B 1, B 2和C 为材料常数, 可由试验确定.

) 表示为用坐标(Ν, r , Η

第4期　　　　　　　　赵均海等:混凝土统一强度理论及其应用　　　　　　　　5

r =r ′=

[1-(3+Β) co s Η

2

Ν+Ν]　　0°≤Η≤Ηb

33C [1-2Ν+Ν]　　Ηb ≤Η≤60°

33C

(14a )

(14b )

(3-Β) co s (Η-) 3

) 是Π平面上的极坐标式中:Ν表示应力空间中的点在静水应力轴上的投影; (r , Η. 容易知道

Ν=

r =

3f c 222

3f c

2

(Ρ1-Ρ2) 2+(Ρ2-Ρ3) 2+(Ρ3-Ρ1) 2

(15)

co s Η=

在式(14) 中, 令Ν=0, 并使r =r ′, 可得

Ηb =arctg

(16)

它反映了Π. Η=0°和Η=60°, 并合并常数, 2

(16a ) t 0+a 1Ν+a 2Ν　　Η=0°

r c =b 0+b 1Ν+b 2Ν　　Η=60°

2

(16b )

3(3+Β) 3(3-Β)

式中

a 0=b 0=

　　a 1=3+Β　　b 1=3-Β　　a 2=

3+Β

　　b 2=

3-Β

(17)

由于规定这两个子午线与静水压力轴交于相同的点Θ=Ν, 故确定上式中的系数a 0, a 1, a 2,

) ; 双b 0, b 1, b 2只需五个试验点, 即单轴压缩强度f c (Η=60°, f c >0) ; 单轴拉伸强度f t (Η=0°

轴压缩强度f bc (Η=0°, f bc >0) ; 拉子午线上的高静水应力点(Ρf c , Σf c ) =(-Ν, r 1) , m m (Η=0°, Νf c , Σf c ) =(-Ν=60°, Ν1>0) ; 压子午线上的高静水应力点(Ρm m 2, r 2) , (Η2>0) .

把上述五个试验点代入式16(a ) , 16(b ) 可得

λλλa 2=2(2 (1 (2 (2Α+Α) [(Ν) ]3) ΑΝ3) ΑΝ9) ΑΑ1-1+1-λλ) Αa 1=1 3×5 3(2Α-Α2×2+

2Α+Α

a 0=2

(18)

λΑ-45 3Α12a 2

2

λ2Α+5 9Α223(19)

Θ=

λ, Α=f t f c , Α=f bc f c

　　　　　　　　　　　　　　西北建筑工程学院学报　　　　　　　　　　　1998年6

b 2=

(Ν) (Ν1 3) (Θ+1 3) 2+Θ2-3Ν12-(20)

b 1=(Ν3) b 2+2+1 b 0=-2

Θb 1-Θb 2

　　双剪应力多参数准则的拉压子午线为抛物线, 它在Π平面上的图形在低静力范围内接

近三角形, 随着静水应力的升高, 它向正六边形过渡, 当静水压力足够高时, 图形变为正六边形.

3　双剪统一强度理论的应用

对于混凝土, 取b =1 2的加权双剪强度理论[(式4a, 4b ) 中取b =1 2) ]为

(

F =Ρ1-Ρ2+2Ρ3) =f t 　　Ρ2≤31+Α

(2Ρ1+Ρ2) -ΑF ′=Ρ3=f t 　　Ρ23(21a ) (21b )

　　由此方程得出的Π平面极限面如图7所示, 7的混凝土真三轴

试验结果[9], 可见与试验结果吻合的较好.

L aunay 和Gachon 的混[8, , .

　　图7　双剪统一强度理论与混凝土真三轴　　　　　　图8　双剪应力五参数准则角隅模型及其与

　　　试验结果比较　　　　　　　　　　　　　　　　混凝土三轴试验结果的比较

　　图9为双剪应力统一强度准则与文献[1]试验结果的对比. 图10为b =1 2的统一强度理论与文献[3]结果比较.

图11为b =1的统一强度理论与Faruque 和Chang 1990年作的素混凝土Π平面极限面的比较. 文献[9]对混凝土在Ρ～Σ复合应力状态下进行试验, 得出结果如表1所示. 其结果与b =1的统一强度理论吻合较好.

第4期　　　　　　　　赵均海等:混凝土统一强度理论及其应用　　　　　　　　7

图9　统一强度理论与试验结果比较　　　　　图10　混凝土真三轴试验结果与统一强度

(实线b =1, 虚线b =0) 　　　　　　　　　　　　理论(b =1 2) 比较

表1　Ρ～Σ复合应力下极限强度结果

x

x y -Ρp

2. 850. 0026. 25

2. 33-25. 20-24. 830. 000. 0023. 90

0. 0024. 16

0. 0024. 16

2. 7224. 12

1. 00-5. 00-6. 67-7. 50-10. 00-. 00-15. 332. 4126. 25

3. 7723. 51

4. 534. 6823. 5. 235. 2823. 70

　　注:Ρp 为试管对应立方体控制试块的平均压缩强度

4　算例

.

411　钢筋混凝土梁受剪压区混凝土, 处于平面应力状态, 受到正应力与剪应力共同作用, 如

剪应力Σ=3M Pa, 问压应力Ρ=-15. 46M Pa 时, 混凝土是否破坏? 已知f t =2M Pa, f c =20M Pa .

平面应力状态可分为拉拉区, 拉压区和压压区三部分.

①拉拉区　Ρ1>0, Ρ2>0, Ρ3=0, ΡI =Ρ1, Ρ =Ρ2, 则统一表达式变为

F =Ρ1-1+b

Ρ =f

t

ΡI >(1+a ) Ρ

F ′=

(a )

t

Ρ1+Ρ =f 1+b 1+b ΡI ≤(1+a ) Ρ

) (a ′

图11　素混凝土的Π平面极限面

(Faruque, Chang 1990

)

　　②拉压区　Ρ1>0, Ρ2=0, Ρ3

F =ΡI -

Ρ =f t 　　ΡI >-ΑΡ

1+b

(b )

　　　　　　　　　　　　　　西北建筑工程学院学报　　　　　　　　　　　1998年8

F ′=

ΡI -ΑΡ =f t 　　ΡI ≤-ΑΡ

1+b

) (b ′

　　③压压区　Ρ1=0, Ρ2

F =-

ΡI -Ρ =f t 　　ΡI

1+b 1+b 1+Α

(c ) ) (c ′

F ′=-

1+b

ΡI -ΑΡ =f t 　　ΡI ≥

Ρ

1+Α

　　对受剪压区混凝土

ΡI =Ρ1=+

2Ρ =Ρ3=-2

2

+Σ2=0. 5617M Pa 4

2

+Σ2=-16. 021M Pa 4

) 后得　　因ΡI =0. 5617M Pa

F ′=

×0. 5617M Pa +1. 60217M Pa 1+b

　　当b =0时, F ′=2. 16387M Pa >f t =2M 当b =1 2时, F ′=1. 97664M Pa

当b =1时, F ′=1. 88302M Pa

412　, 其应力状态为0>Ρ1=Ρ2>Ρ3, 比较表达式(5a ) , (5b ) 得:

F ′-F =b (Σ23+sin ΥΡ23-

Σ12-sin ΥΡ12)

将Σ23=(Ρ2-Ρ3) 2, Ρ23=(Ρ2+Ρ3) 2, Σ12=(Ρ1-Ρ2) 2, Ρ12=(Ρ1+Ρ2) 2代入上式得

) (Ρ1-Ρ3) ≥0F ′-F =b (1-sin Υ

因此取式(5b ) 得

F ′=Σ13+b Σ23+sin Υ(Ρ13+b Ρ23) =(1+b ) c co s Υ

写成主应力形式, 并考虑到Ρ1=Ρ2, 上式变为(1+b ) (Ρ1-Ρ3) 2+(1+b ) sin Υ(Ρ1+Ρ3) 2=(1+b ) c co s Υ进一步转化为

-Ρ3=

-1-sin Υ

Ρ1

1-sin Υ

(d )

(1-sin Υ) , k =(1+sin Υ) (1-sin Υ) , 上式变为令　f c =2c co s Υ

-Ρ3=f c -k Ρ1

　　式(d ) 与b 值无关, 该式与由莫尔2库仑准则、双剪强度准则所得结果一致. 这是由于在

钢管混凝土中混凝土的应力状态中, 中间主应力与最小主应力相等, 因而统一理论中的各个. M eyerhof G G , H aw k in s N M 等的试验指出, 三轴受压混凝土得出的内摩b 值的结果相同

第4期　　　　　　　　赵均海等:混凝土统一强度理论及其应用　　　　　　　　9擦角变化范围为50°到30°, 侧压力小, 内摩擦角大; 侧压力大, 内摩擦角小, 相应k 值在710～310之间变化. 钢管混凝土计算时经常取k =4. 0, 此时Υ=36. 87°.

5　结　论

(1) 从统一的力学模型出发, 考虑中间主应力Ρ2效应, 得出统一形式的数学表达式, 具

有较清晰的物理概念和较简单的数学表达式.

(2) 通过与国内外许多学者的混凝土真三轴试验结果比较, 证明双剪统一强度理论与其吻合较好.

(3) 双剪统一强度理论具有简单的表达式, 便于工程应用.

参考文献

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6　Chen W F . P lacticity in R rk :M cGraw 2H ill Book Company , 19827　江见鲸11西安:陕西科学技术出版社, 199415～348　俞茂宏西安:西安交通大学出版社, 1992

9　俞茂宏, 强度理论研究新进展1西安:西安交通大学出版社, 19931155～16510　俞茂宏1岩土类材料的统一强度理论及其应用1岩土工程学报, 1994, 16(2) :1～10

Un if ied Strength Theory for Concrete and Its Appl ica tion

Zhao Junha i

(D epartr m ent of A rch itectural Engineering , Nw . Inst . of A rch . Eng . )

Y u M aohong L iu Y unhe Zhang Y ongq i ang

(Institute of A rch itectural Enineering &Mechanics , X i ′an J iao tong U niversity )

Abstract :V ari ou s m u lti 2ax ial strength theo ries and exp eri m en tal resu lts in dom estic and ab road are review ed . A n U n ified Strength T heo ry lying betw een the M oh r 2Cou lom b T heo ry and the Tw in Shear Stress Strength T heo ry is p ropo sed in w h ich the effect of the second p rinci p al stress Ρ2is con sidered . T he develop ed theo ry has sound physical back 2ground w h ile its exp ressi on is qu ite si m p le . M o reover , it is found that the new theo ry agrees w ell w ith ob tainab le exp eri m en tal data . N um erical resu lts show its feasib ility fo r engineering app licati on .

Key words :un ified strength theo ry ; concrete ; m u lti 2ax ial strength