一副三角尺
1、已知,△ABC是等边三角形,将一块含30°角的直角三角板DEF如图放置,让三角板在BC所在的直线l上向右平移.当点E与点B重合时,点A恰好落在三角板的斜边DF上. 问:在三角板平移过程中,图中是否存在与线段EB始终相等的线段(假定AB、AC与三角板斜边的交点为G、H)?如果存在,请指出这条线段,并证明;如果不存在,请说明理由.(说明:结论中不得含有图中未标识的字母)
2、将一副三角尺如图拼接:含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合,已知AB=2,P是AC上的一个动点。
(1)当点P运动到∠ABC的平分线上时,连接DP,求DP的长;
(2)当点P在运动过程中出现PD=BC时,求此时∠PDA的度数;
(3)当点P运动到什么位置时,以D、P、B、Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上?求出此时□DPBQ的面积。
3、已知:如图,有一块含30°的直角三角板OAB的直角边长BO的长恰与另一块等腰直角三角板ODC的斜边OC的长相等,把该套三角板放置在平面直角坐标系中,且AB=3.
(1)若双曲线的一个分支恰好经过点A,求双曲线的解析式
4、一副直角三角板由一块含30°的直角三角板与一块等腰直角三角板组
成,且含30°角的三角板的较长直角边与另一三角板的斜边相等(如图1)
3
(1)如图1,这副三角板中,已知AB=2,AC=(),A′D= ()
(2)这副三角板如图1放置,将△A′DC′固定不动,将△ABC通过旋转或者平移变换可使△ABC的斜边BC经过△A′DC′′的直角顶点D.
方法一:如图2,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转角度α( )
方法二:如图3,将△ABC沿射线A′C′方向平移m个单位长度
方法三:如图4,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转角度β( )
请你解决下列问题:
①根据方法一,直接写出α的值为: ( );
②根据方法二,计算m的值;
③根据方法三,求β的值.
(3)若将△ABC从图1位置开始沿射线A′C′平移,设AA′=x,两三角形重叠部分的面积为y,请直接写出y与x之间的函数关系式和相应的自变量x的取值范围
5、如图1,一副直角三角板满足AB=BC=10,∠ABC=∠DEF=90°,∠EDF=30°,将三角 板DEF的直角边EF放置于三角板ABC的斜边AC上,且点E与点A重合。 ▲操作一: 固定三角板ABC,将三角板DEF沿AC方向平移,使直角边ED刚好 过B点,如图2所示,
【探究一】 三角板DEF沿AC方向平移的距离为_________;
▲操作二: 将三角板DEF沿AC方向平移至一定位置后,再将三角板DEF绕点E.旋转,并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC交于点Q;
【探究二】 在旋转过程中, (1) 如图3,当 CE 1EA =时,请判断下列结论是否正确(用“√”或“×”表示): ① EP=EQ;( )
② 四边形EPBQ的面积不变,且是⊿ABC面积的一半;( )
(2) 如图4,当CE 2EA =时,EP与EQ满足怎样的数量关系?并说明理由.
(3) 根据你对(1)、(2)的探究结果,试写出当 CE EA =m时,EP与EQ满足的数量 关系式为_________;(直接写出结论,不必证明
)
6、如图①,将两个等腰直角三角形叠放在一起,使上面三角板的一个锐角顶点与下面三角板的直角顶点重合,并将上面的三角板绕着这个顶点逆时针旋转,在旋转过程中,当下面三角板的斜边被分成三条线段时,我们来研究这三条线段之间的关系.
(1)实验与操作:
如图②,如果上面三角板的一条直角边旋转到CM的位置时,它的斜边恰好旋转到CN的位置,请在网格中分别画出以AM、MN和NB为边长的正方形,观察这三个正方形的面积之间的关系;
(2)猜想与探究:
如图③,在Rt△ABC中,BC=AC,∠ACB=90°,M、N是AB边上的点,∠MCN=45°,作DA⊥AB于点A,截取DA=NB,并连接DC、DM.
我们来证明线段CD与线段CN相等.
∵∠CAB=∠CBA=45°,又DA⊥AB于点A,
∴∠DAC=45°,∴∠DAC=∠CBA,
又∵DA=NB,BC=AC,
∴△CAD≌△CBN.
∴CD=CN.
请你继续解答:
①线段MD与线段MN相等吗?为什么?
②线段AM、MN、NB有怎样的数量关系,为什么?
(3)拓广与运用:
如图④,已知线段AB上任意一点M(AM<MB),是否总能在线段MB上找到一点N,使得分别以AM与BN为边长的正方形的面积的和等于以MN为边长的正方形的面积?若能,请在图④中画出点N的位置,并简要说明作法;若不能,请说明理由
7、图中是一副三角板,45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点处,∠A=30°,∠E=45°,∠EDF=∠ACB=90°,DE交AC于点G,GM⊥AB于M.
(1)如图①,当DF经过点C时,作CN⊥AB于N,求证:AM=DN;
(2)如图②,当DF∥AC时,DF交BC于H,作HN⊥AB于N,(1)的结论仍然成立,请你说明理由.
(1)如图①,当DF经过点C时,作CN⊥AB于N,求证:AM=DN;
(2)如图②,当DF∥AC时,DF交BC于H,作HN⊥AB于N,(1)的结论仍然成立,请你说明理由.
如图,已知O延长线一,割线OC,D两,弦H,CF.求证: r*r=O•