考研基础数学公式
初高中数学公式
幂的运算性质:①a m ×a n =am+n. ②a m ÷a n =am -n . ③(am ) n =amn . ④(ab)n =an b n .
乘法公式(反过来就是因式分解的公式):①(a+b)(a-b)=a2-b 2. ②(a±b) 2=a2±2ab+b2. ③-(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3. ④(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b 3; 一元二次方程:对于方程:ax2+bx+c=0: ①求根公式是x=
, 其中Δ=b2-4ac 叫做根的判别式.
当Δ>0时, 方程有两个不相等的实数根;
当Δ=0时, 方程有个相等的实数根;
当Δ
x 1+x2=-,x 1x 2=,
并且二次三项式ax 2+bx+c可分解为a(x-x 1)(x-x 2). ④以a 和b 为根的一元二次方程是x 2-(a+b)x+ab=0. 平面直角坐标系:
①各限象内点的坐标如图所示.
②横轴(x轴) 上的点, 纵坐标是0; 纵轴(y轴) 上的点, 横坐标是0. ③关于横轴对称的两个点, 横坐标相同(纵坐标互为相反数); 关于纵轴对称的两个点, 纵坐标相同(横坐标互为相反数); 关于原点对称的两个点, 横坐标、纵坐标都互为相反数.
一次函数y=kx+b(k≠0) 的图象是一条直线(b是直线与y 轴的交点的纵坐标). 当k>0时,y 随x 的增大而增大(直线从左向右上升); 当k
反比例函数y=(k≠0) 的图象叫做双曲线. 当k>0时, 双曲线在一、三象限(从左向右降); 当k
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象叫做抛物线(c是抛物线与y 轴的交点的纵坐标). ①a>0时, 开口向上;a
,
), 对称轴是直线x=-
.
特别:抛物线y=a(x-h) 2+k的顶点坐标是(h,k),对称轴是直线x=h.
注意:求解析式的设法①已知三个点的坐标, 则设为一般形式y=ax2+bx+c;②已知顶点坐标(h,k),则设为顶点式y=a(x-h) 2+k;③已知抛物线与x 轴的两个交点坐标(x1,0) 和(x2,0), 则设为交点式y=a(x-x 1)(x-x 2).
抛物线与x 轴的位置关系:对于抛物线y=ax2+bx+c①Δ0时, 它与x 轴有两个交点(x1,0) 和(x2,0), 其中x 1和x 2是方程ax 2+bx+c=0的两个根.
三角函数:
①设∠A 是Rt Δ的任一锐角, 则∠A 的正弦:sinA=切:tanA=
, ∠A 的余切:cotA=
.
, ∠A 的余弦:cosA=
, ∠A 的正
②余角公式:sin(900-A)=cosA,cos(900-A)=sinA,tg(900-A)=ctgA,ctg(900-A)=tgA. ③特殊角的三角函数值:sin300=cos600=,sin450=cos450=cos900=0,sin900=cos00=1,tan300=cot600=,tan00=cot900=0.
正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限) sin(90°-α)= cos α sin(90°+α)= cos α cos(90°-α)= sin α cos(90°+α)= -sin α sin(270°-α)= -cos α sin(270°+α)= -cos α cos(270°-α)= -sin α cos(270°+α)= sin α sin(180°-α)= sin α sin(180°+α)= -sin α cos(180°-α)= -cos α cos(180°+α)= -cos α sin(360°-α)= -sin α sin(360°+α)= sin α cos(360°-α)= cos α cos(360°+α)= cos α
这些公式左边为90°的1,2,3,4倍再加(或减)α的和(或差)的正弦, 余弦。公式右边有时是α的正弦,有时是α的余弦。它们有时一致有时相反, 其中的规律为“奇变偶不变”例如:cos(270°-α)=-sinα中,270°是90°的3(奇数) 倍所以cos 变为sin, 即奇变。又如,sin(180°+α)=-sinα中,180°是90°的2(偶数) 倍所以sin 还是sin, 即偶不变。 公式右边有时是正,有时是负. 其中的规律为“符号看象限”
例如: cos(270°-α)= - sin α 中, 视α为锐角,270°-α是第三象限角, 第三象限角的余弦为负, 所以等式右边有负号.
sin(180°+α)= - sin α 中, 视α为锐角,180°+α是第三象限角, 第三象限角的正弦为负, 所以等式右边有负号. 这就是“符号看象限”的含义. 注意:公式中α可以不是锐角, 只是为了记住公式, 视α为锐角
和角与差角公式
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β; cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β;
,sin600=cos300=,sin00=
,tan450=cot450=1,tan600=cot300
=-
tan(α±β) =
tan α±tan β
.
1 tan αtan β
a sin α+
b cos α=α+ϕ)
b ϕ(a , b ) tan ϕ=(辅助角所在象限由点的象限决定, ) a
二倍角公式及降幂公式
sin 2α=sin αcos α=
2
2
2tan α
.
1+tan 2α
2
2
1-tan 2α
. cos 2α=cos α-sin α=2cos α-1=1-2sin α=2
1+tan αtan 2α=
2tan αsin 2α1-cos 2α
tan α==.
1-tan 2α1+cos 2αsin 2α
sin 2α=
1-cos 2α1+cos 2α
,cos 2α= 22
圆的知识:
三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 三角形的内心就是三内角平分线的交点. 三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心. 三角形的外心就是三边中垂线的交点. S 圆=πR2. C圆周长=2πR. 弧长L=
. S扇形=
=LR. S圆柱侧=底面周长×高.
4
V =πR 3, 其表面积S =4πR 2. 球的半径是R ,则其体积
3
⎧x =a cos θx 2y 2a 2
椭圆2+2=1(a >b >0) 的参数方程是⎨ 准线到中心的距离为,焦点到对应
y =b sin θa b c ⎩
b 2
准线的距离(焦准距) p =。
c
b x 2y 2x 2y 2
双曲线2-2=1(a >0, b >0) ⇒渐近线方程:2-2=0⇔y =±x
a a b a b
充要条件: (1)、p ⇒q ,则P 是q 的充分条件,反之,q 是p 的必要条件;
常见函数的图像:
指数式与对数式的互化式: log a N =b ⇔a b =N (a >0, a ≠1, N >0) .
指数性质:
m
1-p 0mn m n r s r +s
(1)a =p (2)a =1(a ≠0)(3) a =(a )
(4)a ⋅a =a (a >0, r , s ∈Q ) (5) a n =
a
指数函数:
(1)y =a x (a >1) 在定义域内是单调递增函数;
(2)y =a x (0
M
(1) log a M +log a N =log a (MN ) (2)log a M -log a N =log a ; (3) log a b m =m ⋅log a b
N
n
(4) log a m b n =⋅log a b (5) log a 1=0(6) log a a =1 (7) a log a b =b
m
对数函数:
(1)y =log a x (a >1) 在定义域内是单调递增函数;(2)y =log a x (00⇔a , x ∈(0,1)或a , x ∈(1, +∞) (4)log a x
log m N
对数的换底公式 :log a N = (a >0, 且a ≠1, m >0, 且m ≠1, N >0).
log m a 对数恒等式:a log a N =N (a >0, 且a ≠1, N >0).
n
推论 log a m b n =log a b (a >0, 且a ≠1, N >0).
m
对数的四则运算法则:若a >0,a ≠1,M >0,N >0,则
M
=log a M -log a N (3)log a M n =n log a M (n ∈R ) (4) (1)log a (MN ) =log a M +log a N (2) log a
N
n
log a m N n =log a N (n , m ∈R ) 。
m
等差数列:
通项公式: (1) a n =a 1+(n -1) d ,其中a 1为首项,d 为公差,n 为项数,a n 为末项。 (2)推广: a n =a k +(n -k ) d (3)a n =S n -S n -1(n ≥2) (注:该公式对任意数列都适用)
n (a 1+a n ) n (n -1) S n =S n =na 1+d 前n 项和: (1) ;其中a 1为首项,n 为项数,(2)a n 为末项。
22
(3)该公式对任意数列都适用)(4)S n =S n -1+a n (n ≥2) (注:S n =a 1+a 2+ +a n (注:该公式对任意数列都适用) 常用性质:(1)、若m+n=p+q ,则有 a m +a n =a p +a q ;注:若a m 是a n , a p 的等差中项,则有2a m =a n +a p ⇔n 、m 、p 成等差。(2)、若{a n }、{b n }为等差数列,则{a n ±b n }为等差数列。 (3)、{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,则S m , S 2m -S m , S 3m -S 2m 也成等差数列。(4)、
n (n +1)
2
a p =q a , q p =a , 则=0p q +等比数列:
; (5) 1+2+3+„+n=
a 1n
⋅q (n ∈N *) ,其中a 1为首项,n 为项数,q 为公比。(2)推q
广:a n =a k ⋅q n -k (3)a n =S n -S n -1(n ≥2) (注:该公式对任意数列都适用) 前n 项和:(1)S n =S n -1+a n (n ≥2) (注:该公式对任意数列都适用)(2)S n =a 1+a 2+ +a n
通项公式:(1) a n =a 1q n -1=
⎧na 1
⎪
(注:该公式对任意数列都适用)(3)S n =⎨a 1(1-q n )
⎪1-q ⎩
(q =1) (q ≠1)
常用性质:(1)、若m+n=p+q ,则有 a m ⋅a n =a p ⋅a q ;注:若a m 是a n , a p 的等比中项,则有
(2)、若{a n }、{b n }为等比数列,则{a n ⋅b n }为等比数列。 a m 2=a n ⋅a p ⇔n 、m 、p 成等比。
常用不等式:
a , b ∈R ⇒a 2+b 2≥2ab (当且仅当a =b 时取“=”号) .
a +b
≥+
a , b ∈
R ⇒2当且仅当a =b 时取“=”号) .
a 3+b 3+c 3≥3abc (a >0, b >0, c >0). x
.
x >a ⇔x 2>a 2⇔x >a x
或.
n !
m A n 排列数公式 :=n (n -1) (n -m +1) =(n -m ) !.(n ,m ∈N*,且m ≤n ) .规定0! =1.
A n m n (n -1) (n -m +1) n !m m C A ⋅(n -m ) !1⨯2⨯ ⨯m n m 组合数公式:===m !(n ∈N*,m ∈N ,且m ≤n ).
m m n -m m -1m 0C C C C C C =1. n n n n n +1n 组合数的两个性质:(1)= ;(2) +=. 规定
n 0n 1n -12n -22r n -r r n n
(a +b ) =C a +C a b +C a b + +C a b + +C b ; n n n n n 二项式定理
r n -r r
T =C a b (r =0,1,2 ,n ) . r +1n 二项展开式的通项公式
f (x ) =(ax +b ) n =a 0+a 1x +a 2x 2+ +a n x n 的展开式的系数关系:
a 0+a 1+a 2+ +a n =f (1); a 0-a 1+a 2+ +(-1) n a n =f (-1) ;a 0=f (0)。