八年级期末复习资料
24.若整数a能被整数b整除,则一定存在整数n,使得
则一定存在整数n,使得
a
n,即abn.例如:若整数a能被7整除,b
a
n,即a7n. 7
(1)将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数,让个位之前的数减去个位数的两倍,若所得之差能被7整除,则原多位自然数一定能被7整除.例如:将数字1078分解为8和107,1078291,因为91能被7整除,所以1078能被7整除.请你证明任意一个三位数都满足上述规律.
(2)若将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数,让个位之前的数加上个位数的K(K为正整数,
1K5)倍,所得之和能被13整除,求当K为何值时使得原多位自然数一定能被13整除.
24.(1)证明:设某三位数百位、十位、个位上的数字分别是x、y、z
原三位数为:100x10yz
根据题意,存在整数n,使得10xy2z7n…………………………………………(2分) 10xy2z7n
100x10yz1010xyz102z7nz21z70n
100x10yz721z70n
7
3z10n………………………………………………………(4分)
z、n都为整数
3z10n为整数
原数能被7整除……………………………………………………………………………(5分)
(2)解:设将一个多位数按题意分解后得到的个位数是B,个位之前的数是A
原数为10AB
根据题意,存在整数m,使得AkB13m………………………………………………(6分)
A13mkB
10AB1013mkBB130m110kB130m13kB13kB
10AB130m13kB1313kB1310mkB+13k13
B…………………………………(8分) k为正整数,1k5 k1或2或3或4或5
131413271331013411313,1313,1313,131,3516
1313
又m,B为整数
当k4
时,10mkB+13k
13
B为整数,此时原多位自然数能被除……………………………………………………………………………………………(10分)
13整
23.某工程队修建一条总长为1860米的公路,在使用旧设备施工17天后,为尽快完成
任务,工程队引进了新设备,从而将工作效率提高了50%,结果比原计划提前15天 完成任务.
(1)工程队在使用新设备后每天能修路多少米?
(2)在使用旧设备和新设备工作效率不变的情况下,工程队计划使用旧设备m天,使用新设备n(16n26)天修建一条总长为1500米的公路,使用旧设备一天需花费16000元,使用新设备一天需花费25000元,当m、n分别为何值时,修建这条公路的总费用最少,并求出最少费用.
23.解:(1)设工程队使用旧设备时每天能修路x米,根据题意,得
186017x1715150%x1860……………………………………………………(2分)
x
解得x30……………………………………………………………………………………(3分) 经检验,x30是原方程的解………………………………………………………………(4分)
30150%45(米)
工程队在使用新设备后每天能修路45米………………………………………………(5分)
(2)由题意得30m45n1500……………………………………………………………(6分) 2m3n100
设修建这条公路总费用为S元,则 S16000m25000n
2m3n1002m1003n
16000m80002m80001003n
S1000n800000…………………………………………………………………………(8分) 10000S随n的增大而增大 16n26
当n最小=16时,S最小=100016800000=816000…………………………………………(9分)
此时m
1003n
26 2
当m26,n16时,修建这条公路总费用最少,最少费用为816000元…………(10分)
25.如图1所示,在RtABC中,C90,点D是线段CA延长线上一点,且ADAB.点F是线段AB上一点,连接DF,以DF为斜边作等腰RtDFE,连接EA,EA满足条件EAAB. (1)求证:AEAFBC;
(2)如图2,点F是线段BA延长线上一点,探究AE、AF、BC之间的数量关系,并证明.
B
E
D
A
F
B
E
C
D
AC
25.
(1)过点D作DMAE于点D……………………………………………………………(5分) 在RtDEM中,2590
2190
F
15
在等腰RtDEF中,DEFE 在DEM和EFA中
DMEEAF
51
DEEF
DEMEFAAAS………………………………………………………………………(6分)
AFEM在RtABC中,4B90又3EAB4180
34903B
在DAM和ABC中
3B
DMACDAMABCAAS………(7分)BCAMAEEMAMAFBC ADAB
即AEAFBC…………………………………………………………………………(8分) (2)过点D作DM直线AE于点M……………………………………………………(9分) 在RtABC中,C90
1B90
2MAB1180,MAB90
2190
2=B
在ADM和BAC中
MC
2B ADAB
ADMBACAAS……………………………………………………………………(10分)
BCAM
在等腰RtDEF中,DEFE,DEF90
3DEF4180
3490
在RtMED中,3590 4=5
在MED和AFE中
MEAF
54
DEEF
MEDAFEAAS……………………………………………………………………(11分)
MEAF
AEAFAEMEAMBC
即AEAFBC ………………………………………………………………………(12分)
25. 我们用x表示不大于x的最大整数,例如1.51,2.53.请解决下列问题: (1) , .(其中为圆周率);
xy1(2)已知x、y满足方程组,求x、y的取值范围;
2x3y4
(3)当1x2时,求函数yx2x3的最大值与最小值. 25.(12分)
(1) 3 , -4 .(其中为圆周率);(4分)
2
(2)解方程组得:
x1
………………..6分
y2
2
1x0,2y3…………………..8分
(3)当1x0时,x1,此时y12136; 当0x1时,x0,此时y3;
当1x2时,x1,此时y122132;
当x2时,x2,此时y22233…………..10分
2
综上所述:ymax6,ymin2……………..12分 注: y
x1
2
2(其中x1,0,1,2)
则当x1时,ymin2;当x1时,ymax6
18. 如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,△ACE为等腰直角三角形, ∠AEC=90°,连接BE交AD、AC分别于F、N,CM平分∠ACB交 BN于M,则MN:NF
答案: 5:9
24.先阅读下列材料,然后回答后面问题:
将一个多项式分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.能分组分解的多项式通常有四项或六项,一般的分组分解有四种形式,即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等.
如“2+2”分法:
axaybxby
(axay)(bxby)
a(xy)b(xy)(xy)(ab)
如“3+1”分法:
2xyy21x2x22xyy21(xy)21
(xy1)(xy1)
请你仿照以上方法,探索并解决下列问题: (1)分解因式:x2y2xy;
(2)分解因式:45am220ax220axy5ay2; (3)分解因式:4a4a4abb4ab1. 24. 解:(1)x2y2xy
2
2
(x2y2)(xy)
(xy)(xy)(xy)
(xy)(xy1)
„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分 „„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 „„„„„„„„„„„„„„„„„„3分
(2)45am220ax220axy5ay2
45am2(20ax220axy5ay2)„„„„„„„„„„„„„„4分 45am25a(4x24xyy2)
45am5a(2xy)
2
2
„„„„„„„„„„„„„„„5分
5a[(9m2(2xy)2]5a(3m2xy)(3m2xy)
(3)4a4a4abb4ab1
2
2
„„„„„„„„„„„„„„„6分 „„„„„„„„„„„„„„„7分 „„„„„„„„„„„„„„„8分 „„„„„„„„„„„„„„„9分 „„„„„„„„„„„„„„„10分
(4a24a1)(4a2bb4ab)
(2a1)2b(4a24a1)(2a1)2b(2a1)2(2a1)2(1b)
23.如图:在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB两边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线
上截取CG=AB,连结AD、AG. 求证:(1)AD=AG;
(2)AD⊥AG.
18. 甲乙两人骑自行车在一个环形公路内进行拉力测试.两人从同一地点同时出发,乙迅速超过甲,在第6分钟时甲提速,在第8分钟时,甲追上乙并且开始超过乙,在第15分钟时,甲再次追上乙.已知两人都是匀速,那么如果甲不提速,乙首次超过甲会在第 分钟. 答案:21 ?