函数解析式的确定方法
函数解析式的确定方法
张磊
函数解析式是表示函数定义域与值域之间的一种关系, 求函数解析式一般有以下几种情形
方法一:待定系数法
该方法主要用于已知函数的类型, 求函数的解析式. 其步骤为:设出函数的解析式, 该据已知条件确定待定系数.
例1. 已知f(f(x))=4x +3, 且f(x)是一次函数, 求f(x).
解:设f(x)=kx +b, 那么f(f(x))=kf(x)+b =k(kx+b) +b =k2x+(kb+b).
2k =4 , 解得 k =2或又f(f(x))=4x +3. 比较对应项系数可得 b =1kb +b =3k =−2 b =−3
∴所求函数的解析式为f(x)=2x+1或f(x)=-2x−3
例2.(2005全国I 文) 已知二次函数f(x)的二次项的系数为a .且不等式f(x)>−2x 的解集我(1 ,3) .
⑴ 若方程f(x)+6a =0有两个相等的根, 求f(x)的解析式.
⑵ 若f(x)的最大值为正数. 求a 的取值范围.
解: ⑴∵f(x)+2x >的解集为(1 ,3),设f(x)+2x =a(x−1)(x−3), 且a
方法二 换元法
该方法主要用于已知f(g(x))=h(x)型 ,(这里g(x)是一一映射所确定的函数) , 求f(x).其解法步骤为:可设g(x)=t, 从中解出x =φ(t),代人f(g(x))=h(x)中, 可求得关于t 的函数式f(t),即求得f(x).
例3 ⑴已知f(x+2) =x2−2x −3 ,求f(x).
⑵ 已知f( +1) =x −2 ,求f(x) .
解: ⑴ 令x +2=t , 则x =t −2 , 将x =t −2代人f(x+2) =x2−2x −3中得f(t)=(t−2) 2−2(t−2) −3 ,即f(t)=t2−6t+5 ,∴f(x)=x2−6x+5
⑵ 令 +1=t, 解得x =(t−1) 2, 将x =(t−1) 2代人f( +
1) =x −2 ,得f(t)= (t−1) 2−2 ,∴f(x)=(x)2−2
方法三 配凑法
该方法也主要用于已知f(g(x))=h(x)型, 求f(x)解析式. 其步骤是: h(x)配凑成关g(x)的代数式 , 再将f(g(x))=h(x)中g(x)替换为x, 从而求得f(x).
例4 ⑴已知f(x+2) =x2−2x −3 ,求f(x).
⑵ f(x+) =x2+−2 , 求f(x) . x x 11
解: ⑴∵f(x+2) =x2−2x −3=(x+2) 2−6(x+2)+5 ,用x 替换x +2 可得 , ∴ f(x)=x2−6x+5
⑵∵f(x+=x2+2=(x+2−4 , ∴ f(x) =x2−4 x x x 111方法四 动点转移法(相关点法)
该方法主要用于两函数图像关于某点或某线对称, 求函数的解析式问题. 其步骤是:设出所求函数图像上的点的坐标为(x ,y), 再求该点(x ,y) 关于某点或某直线的对称点(x 0 ,y 0), 这个对称点(x 0 ,y 0) 必在已知
函数的图像上, 所以将这个对称点(x 0 ,y 0) 代人已知图像对应的解析式, 即可求得未知图像对应的解析式.
例5 ⑴设函数f(x)是定义在R 上的奇函数, 且x >0时f(x)=x2+2x−1, 则f(x)的解析式为_________
⑵ 已知函数y =x2−2x 与y=g(x)的图像关于点(2 ,3)对称 , 则g(x)的解析式为______________
解: ⑴设点(x ,y)是x
x 2+2x −1 ( x>0)
0 (x=0) ∴ f(x) =
− x2+2x +1 (x
⑵ 因g(x)的图像的点(x ,y) 关于点(2 ,3) 的对称点 (4−x,6−y) 在函数y =x2−2x 的图像上, ∴6−y=(4−x) 2−2(4−x) ,即y =−x 2+6x−2.
g(x)= −x 2+6x−2
方法五 消元法
该方法主要用于同时含有f(x) , f(−x) 或f(x) ,f( )的函数关系式, x 1求解f(x)的解析式问题. 其方法是将x 用−x 替换或将x 用, 再得到x 1一个函数关系式, 联立方程组, 通过消元, 即可求得f(x)
例6 ⑴已知f(x)+2 f(−x)=ex , 则f(x)=_______
⑵ 已知f(x)+2 f( 3x , 则f(x)=________ x 1解: ⑴用−x 代替f(x)+2 f(−x)=ex 中的x 可得, f(−x) +2 f(x)=e−x , f(x)+2 f(−x) =e x 2−e 2x 联立 , 解得f(x)=x 3e f(−x) +2 f(x)=e −x
⑵用替换f(x)+2 f( )=3x 中的x 可得, f( ) +2 f(x)= , 联立 x x x x 1113f(x)+2 f( )=3x 2−x 2x 13 可解得f(x)=x f( ) +2 f(x)=x x 1专项练习
1 若f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)= x2+10x+24 ,则5a −b=____
2 已知f(x)为二次函数, 其对称轴x =2 , 抛物线与x 轴两交点之间距离为6 ,图像过点(3 ,4) ,则f(x)=____
3 已知f(1−cos x)=sin2x 则f(x) =____
4已知f(x 5) =lgx ,则f(2) =____
5 已知函数f(x)定义在(−∞ ,+∞) 上偶函数, 当x ∈(−∞ ,0)时f(x)= =x−x 4 , 则当x ∈(0 ,+∞) 时, f(x) =____