关于概率统计分布模型的学生餐厅用餐拥挤问题

关于概率统计分布模型的学生餐厅用餐拥挤问题

摘要

本文研究西安文理学院学生餐厅用餐拥挤问题, 通过6月17,18日两天用餐时间内随机选六个餐厅中的二号餐厅进行调查。在此基础上建立了以分析队列长度的变化的概率统计分布模型，并进行了详尽深入的分析, 得到了合理的结论。

（1）、对于问题一, 通过随机抽样调查在连续两天同一时间同一地点得到了与实际情况大致相符的所需数据。

（2）、 对于问题二, 根据自己亲身经历与观察, 调查数据得出课程表的安排等诸多原因造成了就餐高峰期拥挤排长队现象， 最后建立简化模型分析了拥挤程度问题，并提出解决方法。 我们在问题一的基础上分析了学生的用餐心态, 根据数据变化分析估计队伍长度与服务时间和单位时间内服务人数的关系, 以及各餐厅大门不同进餐人数和窗口等待人数关系, 得出最适合进餐时间及窗口分配问题解决方案。 关键词:拥挤度 比例趋势

一、问题重述

某些食堂用餐时常常会有拥挤不堪的现象发生。卖饭菜窗口因拥挤会时有碰撞并打翻饭菜的事情发生，严重时还会引起吵嘴打架，导致用餐者用歺时间过长。这种现象在某些地方特别是学校、工厂等人员众多的单位食堂较为普遍。为了解决这个问题，有关管理部门也想过许多办法，主要是增加窗口和工作人员，这又会导致成本的增加, 从而引起饭菜价格的增加，这对用餐者是不利的。

为此，我们希望在不增加服务工作人员的情况下制定出缩短用餐时间、減少排长队现象的办法。重点解决以下几个问题：

（1）了解你所在的学校食堂买饭菜的问题的情况，并用2-3个单元的时间对实际情况进行调查、收集有关的数据(要注明调查的时间和地点) ； （2）分析造成拥挤、用歺时间过长、排长队等现象的原因；

（3）根据你所了解的情况，建立适当的数学模型，并据此提出解决（2）中问题的办法；

（4）向有关管理部门写一份建议书，并说明你的办法可以缩短用歺时间、减少排长队现象的理由。

二、模型假设

1、由于在周六周日的餐厅就餐人数比较少，对于拥挤情况只考虑周一至周五的情况。通过对课表的研究，可以假设每天的人数是固定的，又由于长期习惯作用的结果可认为到某个餐厅就餐的人数是稳定的。

2、餐厅服务遵守先到先服务的原则。

3、对于我校餐厅座位已足够多时，可认为某个同学买完饭都有座位不在等待。

4、对于拥挤时，可认为人数是不断增加的，有同学进入时有空窗口则立即买饭，否则排队等待。

5、每个人的到来时刻，他们的服务时间相等且相互独立的。

6、对于每个人的服务时间基本上固定，为了方便计算我们假设服务时间为固定数。

三、符号说明

四、问题分析

虽然我校有六个餐厅，按国家规定，高校餐厅规模应以学生人均面积为1.1—1.3平方米建设达到标准要求，但随着学校的不断扩招，尤其是今年幼师的同学搬到本部以后，用餐人数大幅增加，所以餐厅拥挤问题亟待解决。为了解决这个问题，有关管理部门也想过许多办法，主要是增加窗口和工作人员，这又会导致成本的增加, 从而引起饭菜价格的增加，这对用餐者是不利的。所以就要另寻他方, 通过调查分析我校餐厅的实际情况是：一号餐厅20个窗口，满座时可容纳600人（8⨯11⨯6+8⨯9=600）。二号餐厅17个窗口，满座时可容纳660人。三号餐厅 12个窗口，可容纳220人。四号餐厅21个窗口，满座时容纳508人（63⨯8+4=508）。五号餐厅8个窗口，满座时可容纳380（36⨯8+12⨯4+7⨯6=380）人。六号餐厅 7个窗口，可容纳340人 。由数据可知我们可以选择二号餐厅作为调查，解决了二号餐厅的拥挤问题，基本上也就解决我校就餐拥挤问题。

就餐拥挤、排长队的原因：

1）主要原因：因为学校课表安排不合理，导致就餐过于集中，造成就餐高峰期餐厅拥挤、排长队。，

2）次要原因：学生自身的素质差、人员素质及办事效率偏低、窗口价格高低不一等。

即我们可以通过建立以分析队列长度的变化的概率统计分布模型来解决这一问题，而建立这个模型的关键是收集数据和分析处理数据。

五、模型的建立与求解

5.1问题一

以下是收集的数据及简单处理：

1）用餐与时间数据整理（二号餐厅）： 时间：6月17日 地点：二号餐厅：

表（一） 时间：6月18日 地点：二号餐厅：

表（二）

2）用餐人数与时间和地理位置的数据整理： 时间：6月17日 地点：二号餐厅

表（三）

时间：6月18日 地点：二号餐厅

表（四） 5.2问题二

分析造成拥挤、用餐时间过长、排长队等现象的原因是：

1）主要原因：因为学校课表安排不合理，导致就餐过于集中，造成就餐高峰期餐厅拥挤、排长队。

2）次要原因：学生自身的素质差、人员素质及办事效率偏低、窗口价格高低不一等。

5.2.1模型的建立与求解

由表（一）和表（二）的数据知：

由数据观察我们设进入人数P （t ）=at^2+bt+c (t代表时间段 ) 对于上面的数据利用matlab 软件进行二次拟合, 并画图(程序见附表) 拟和结果, 进入人数P(t)=-13.3420t^2+123.5359t+28.1636,(t∈{0,1,…28})

下面是6月17日上午12:15到12:45，对二餐厅n=4个窗口的打饭的离开人数与时间的关系。此段时间人员很多，窗口一直在服务没有间歇，因此结果可以代表服务速率

平均每个人的服务时间/s 4.721572 由上表的处理数据结果，服务时间t=4.72 所以窗口等待人数q (t ) =p (t ) -

n ⨯v

(n为窗口个数) （1） t

代入P(t)窗口的等待人数q (t ) =-13.34t^2+123.5359t-226.07 （2）当v 趋于无穷小时，则t 表示某一时刻。所以此时窗口的等待人数

q (t ) =-13.34t^2+123.5359t （3）

令q (t ) =0 ，则得t1=0 t2=9.259

开始离散型的t 时间段, 这里已经认为为连续的，得t=0时，时间为5：25，t=8时时间为6：05所以t`=5：25+0 0：5*t

t1=0, t2=9.259,时 p=0，由数据知，只t ∈[0，9]，可以预测在5：49时p 为0当 时p 最大。 得上p'=-13.342t^2+123.5359t t~ 0,9.259] (3) 用matlab 作图（程序见附录）

令t3=4.62时P` 最大。易知在以t3为中心,r 为半径的邻域U(t3，r) 中, r为0时最为拥挤，r 越小越拥挤。我们不妨设拥挤程度为R(t,r)为t, r 的函数,r 与R 成负相关，我们不妨设拥挤度R(0,t3/2)=R(t2,t3)=0,R(t3/2)=1.

得拥挤度函数R(t,r)=mP`(t)/285.9(m-r) (m为大于 r 的任意数) 为了方便研究，我们用matlab 作图

此图数据不做考虑，只对趋势进行分析，由上图可以直观的看到等待人数与时间的变化关系。 5.3问题三

给后勤服务集团的建议书

敬爱的后勤服务集团领导：

您们好！正值酷暑六月，闷热难当！而餐厅的温度更是因众人用餐的拥挤剧烈升高，我们不堪忍受难以就餐。再加之幼儿师范学院搬至本部，用餐人数大幅增加，饭菜窗口也因拥挤时有碰撞并打翻饭菜的事情发生，导致同学等待时间过长。为了解决这个问题，我特此向后勤服务集团提出我的建议希望能改善我校就餐排长队的状况和缩短用餐时间，避免因拥挤而打翻饭菜的事情，还大家一个和谐、轻松的就餐环境。

首先，我想分析一下我校餐厅目前的一些状况，餐饮服务中心是属于西安文理学院后勤服务集团所管辖。在高校后勤社会化改革进程中, 本着“三服务两育人”宗旨，努力办好各类餐厅秉承“以质量服务为生命，以卫生安全为灵魂，以市场需求为导向，苦练内功，励精图治，精心打造餐饮服务项目品牌”的经营发展理念，竭诚为广大师生员工提供优质服务。总体来讲，我校餐厅在后勤服务集团的领导下，运行基本良好。 但是也存在着一些问题，有目共睹，目前我校餐饮面临的最大问题就是就餐高峰期过于拥挤。卖饭菜窗口因拥挤会时有碰撞并打翻饭菜的事情发生，严重时还会引起吵嘴打架，导致用餐者用歺时间过长。经过两天的调查发现学生排队打饭打菜时间最长者约花了22分钟，正常情况下排队打饭打菜时间在7分钟左右，所以食堂拥挤给学生带来了诸多不便，白白浪费了时间。

造成这种现象的原因是多方面的，最大的因素就是同时就餐的人太多，经过具体分析我认为有以下几点：

一. 次要原因有：

有食堂地理位置存在着不足，人员素质及办事效率偏低，饭菜的标价，窗口标牌的忽略等原因。

二、主要原因上有学校课程表的安排，学生自身的素质等原因。

①每天就餐高峰段时间，人潮拥挤；根据调查所得数据得出如周一至周五早餐7：40，中餐12：05，晚餐6：10为就餐高峰段时间，经常要排很长的队。而平时则较空，这是与学校安排的课程表有密切关系的，如7：50是最早的课，12：00下第五节课，因此在这个时间段内常造成拥挤。

②学生自身也有很多不可推卸的责任，有的学生常常用书包去占位，而实际上又没有人坐，白白浪费了餐桌，使得食堂拥挤不堪。还有的学生吃完饭后往往不还餐盘，不仅占用了位置还影响了餐桌的整洁，同时也给工作人员增加了负担，所以我倡议学生自己也有维护自身的形象，尽量去还餐盘, 还有在吃饭高峰期，有的同学就喜欢饭后在食堂聊天，而没座位的同学干等着着急。其实，与人方便便是与己方便。打饭时，大家常常为早一两分钟而蜂拥而上，其实越是这样拥挤越是慢。

根据以上分析的原因，为了解决这个问题，有关管理部门也想过许多办法，主要是增加窗口和工作人员，这又会导致成本的增加, 从而引起饭菜价格的增加，这对用餐者是不利的。也许旷达食堂是最直接的办法，但是在我校现有情况下是不可能实现的，经过仔细分析，我们认为可以尝试以下途径来解决：

①饮食服务中心人员素质有待于进一步提高, 由于部分食堂工作人员受年龄的限制使得其效率大不如以前，受教育程度低，综合素质比较偏低，虽然做了多年的炊事工作，他们自身素质和能力还不能完全适应目前工作的需要. 因此应该招聘年轻力壮的中青年，并且对他们进行培训，锻炼他们的能力，对员工赏罚分明，进行考核制度，服务态度也是作为考核的依据之一。

②由于课程表的影响，如果错开下课时间来解决拥挤问题那最好了，分批次就餐如果实在不行那就只好延长食堂开放时间，尽量缓解就餐高峰期的拥挤。

③经过调查我们特别关注了四号餐厅，发现在二楼增设早餐窗口，但是绝大多数同学都不太愿意到二楼就餐，即使降低价格实行多种优惠效果不佳，可能是质量不大好或者学生比较懒造成，因此可以通过质量工程赢得学生们的心，既缓解了一楼的拥挤，也使得四号餐厅的早点越做越好！

④由于同学们吃饭时常背着书包、拿着水杯，而餐厅座位上又没有放包的地方, 所以经常是一个书包、一个水杯，甚至一本书就是一个座位，大大的浪费了餐厅的座位。后勤服务集团可以给每张餐桌上弄个可以放包的地方，虽然有些不切实际但也是一种解决办法。但最主要的还是后勤服务集团应该多做宣传开展有关占座位这种不文明行为的教育，提高学生的素质，这样也可以避免餐厅因占座位而丢失东西的事件发生，还餐厅一个和谐、文明氛围。还可以通过在餐桌上贴有：“请同学们就餐完立刻离开餐厅，以避免拥挤造成事故，与人方便也与己方便。”。

以上只是我们的一点建议, 希望能够对解决缩短同学用歺时间、减少排长队问题有一定帮助. 最后祝愿我校餐饮服务中心越办越红火, 生意蒸蒸日上.

此致

敬礼

2010年6月18日

六、参考文献

[1] 孙祥 徐流美 吴清 MA TLAB7.0基础教程 清华大学出版社 2005年

[2] 孟玉珂 《排队论基础及应用》 同济大学出版社

程序(附)

: >> x=0:1:8;

>> y=[69,70,218,325,258,371,305,178,185];

>> P=polyfit(x,y,2)

P =

-13.3420 123.5359 28.1636

>> xx=0:0.1:8;

>> yy=polyval(P,xx);

>> plot(xx,yy,'-b',x,y,'.r','MarkerSize',20),xlabel('x')

>>

>> t=0:0.1:9.259;

>> P=-13.342*t.^2+123.5359*t

P =

Columns 1 through 6

0 12.2202 24.1735 35.8600 47.2796 58.4324 Columns 7 through 12

69.3184 79.9376 90.2898 100.3753 110.1939 119.7457 Columns 13 through 18

129.0306 138.0487 146.7999 155.2844 163.5019 171.4527 Columns 19 through 24

179.1365 186.5536 193.7038 200.5872 207.2037 213.5534 Columns 25 through 30

219.6362 225.4522 231.0014 236.2838 241.2992 246.0479 Columns 31 through 36

250.5297 254.7447 258.6928 262.3741 265.7885 268.9362 Columns 37 through 42

271.8169 274.4308 276.7779 278.8582 280.6716 282.2182 Columns 43 through 48

283.4979 284.5108 285.2568 285.7361 285.9484 285.8939 Columns 49 through 54

285.5726 284.9845 284.1295 283.0077 281.6190 279.9635 Columns 55 through 60

278.0411 275.8519 273.3959 270.6730 267.6833 264.4268 Columns 61 through 66

260.9034 257.1132 253.0561 248.7322 244.1414 239.2838 Columns 67 through 72

234.1594 228.7681 223.1100 217.1851 210.9933 204.5347 Columns 73 through 78

197.8092 190.8169 183.5577 176.0317 168.2389 160.1792 Columns 79 through 84

151.8527 143.2594 134.3992 125.2722 115.8783 106.2176 Columns 85 through 90

96.2900 86.0956 75.6344 64.9063 53.9114 42.6497

Columns 91 through 93

31.1211 19.3257 7.2634

>> plot(t,P)

>>

>> x=0:0.1:9.25;

>> r=0:0.1:4.6;

>> [x,r]=meshgrid(x,r);

>> R=5*(-13.342*x.^2+123.5359*x)./(285.9*(5-r)); >> mesh(x,r,R)

>>