概率统计试卷及答案
概率统计试卷A
一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分）
1、设P(A) =a , P(B) = 0.3, P(B ) = 0.7，若事件A 与B 互不相容，则 a 2、设在一次试验中，事件A 发生的概率为p ，现进行n 次重复试验，则事件A 至少发生一次的概率为 .
3、已知P() = 0.3, P(B) = 0.4 , P() = 0.5，则P(B |A
⎧⎪0, x
π⎪
F (x ) =⎨A sin x , 0≤x ≤,
2⎪
π⎪
1x >. ⎪⎩2则A = . 4、设随机变量X 的分布函数为
2
5、设随机变量X ~π(1)，则P{X =E (X ) . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分）
12P () =
3, 则( ) 一定成立. 1、设P(A|B) = P(B|A)=4,
2
P (A B ) =
5. (B) A与B 独立，且P (A ) =P (B ) . (A) A与B 独立，且
7
P (A B ) =
12. (D) A 与B 不独立， 且 (C) A 与B 不独立，且
P (A |) =P (A |B ) .
2、下列函数中，（ ）可以作为连续型随机变量的概率密度.
3π3π⎧⎧, , ⎪sin x , π≤x ≤⎪-sin x , π≤x ≤
f (x ) =⎨g (x ) =22⎨
⎪⎪其它. (B) 其它. ⎩0⎩0 (A)
3π3π⎧⎧
1-co s x , π≤x ≤, co s x , π≤x ≤, ⎪⎪
ϕ(x ) =⎨h (x ) =22⎨
⎪⎪0其它. 其它. (D) ⎩⎩0 (C)
3、设X 为一随机变量，若D(10X ) =10，则D(X ) = ( ).
1
(A) 10. (B) 1. (C) 10. (D) 100.
2
N (1,2) ，X 1, X 2, X 100是来自X 的样本， X 4、设随机变量服从正态分布
为样本均值，已知Y =+b ~N (0,1)，则有（ ）.
11a =, b =
55. (B) a =5, b =5. (A)
11a =, b =-
55. (D) a =5, b =-5. (C)
5、在假设检验中，显著性水平α的意义是（ ）. (A) 原假设H 0成立，经检验不能拒绝的概率.
(B) 原假设H 0不成立，经检验被拒绝的概率. (C) 原假设H 0成立，经检验被拒绝的概率.
(D)原假设H 0不成立，经检验不能拒绝的概率. 三、10片药片中有5片是安慰剂，
(1)从中任取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率.
(2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率. (本题10分)
四、以X 表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），X 的分布函数是
⎧1-e -0.4x , x >0,
F X (x ) =⎨
x ≤0. ⎩0,
求下述概率：
（1）P {至多3分钟}.
（2）P {3分钟至4分钟之间}. (本题10分)
⎧1-(x +y )
, x >0, y >0, ⎪(x +y ) e
f (x , y ) =⎨2
⎪0其它. ⎩五、设随机变量(X ,Y) 的概率密度为
(1) 求边缘概率密度f X (x ), f Y (y ) .
(2) 判断X 和Y 是否相互独立？ (本题10分)
六、设随机变量X 的分布律为
X -2 0 2 p k 0.4 0.3 0.3
22
求E (X ), E (3X +5) . (本题10分)
七、设X 1, X 2, X n 为总体的一个样本，x 1, x 2, , x n 为一相应的样本值，总体密
1, 0≤x ≤1, f (x ) =0其它. ⎪⎩度函数为
其中θ>0,求θ为未知参数的矩估计值和估计量. (本题10分)
-11m 3⋅kg -1⋅s -2
八、用金球测定引力常数（单位：10），观察值为
6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672
222
设测定值总体为N (μ, σ) ，μ, σ均未知，试求σ的置信水平为0.9的置信
区间.(本题10分)
2222
(s = 0.15×10-4, χ0.05(5) = 11.070, χ0.05(6) = 12.592, χ0.95(5) = 1.145，
χ20.95(6)=1.635 )
.
九、按规定，100g 罐头番茄汁中的平均维生素C 含量不得少于21mg /g ，现从工厂的产品中抽取17个罐头，其 100g 番茄汁中测得平均维生素C 含量（mg /g ）记录如下：
16 25 21 20 23 21 19 15 13 23 17 20 29 18 22 16 22
22
设维生素含量服从正态分布N (μ, σ) ，μ, σ均未知，问这批罐头是否符合要求
α（取显著性水平
(本题10分)
（
2.1098）
s 2=
= 0.05）.
254
16, t 0.05(16) = 1.7459, t 0.05(17) = 1.7396, t 0.025(16) = 2.1199, t 0.025(17) =
参考答案
1
n
一、1、0.3 2、1-(1-p ) 3、0.25 4、1 5、2e 二、1、C 2、B 3、A 4、D 5、C
三、解 (1)设A=“任取5片，至少2片安慰剂. ” „„1分
33215
C 52C 5+C 5C 5+C 54C 5+C 5113
P (A ) ==5
C 126 „„4分 10 法一
514
C 5+C 5C 5113
P (A ) =1-=5
C 10126 „„4分 法二
（2）设B=“不放回任取5片，前3次都取到安慰剂. ” „„1分
5431
P (B ) =⋅⋅=
109812 „„4分
四、解（1） 设A={至多3分钟} „„1分
-0. 4-1
=F (3=) -1e ⨯3=-1e P (A ) =P (X ≤3) „„4分
(2) 设B={3分钟至4分钟之间} „„1分 P (B ) =P (3≤X ≤4) =F (4)-F (3)+P (X =4)
=1-e -1.6-(1-e -1.2) +0=e -1.2-e -1.6
„„4分
五、解 (1) (X, Y) 关于X 的边缘密度为
⎧+∞1-(x +y )
+∞dy , x >0⎪⎰0(x +y ) e
f X (x ) =⎰f (x , y ) dy =⎨2-∞
⎪x ≤0 „„2分 ⎩0,
⎧1-x
⎪(x +1) e , x >0⎨2⎪, x ≤0 „„2分 =⎩0
(X, Y) 关于Y 的边缘密度为
⎧+∞1-(x +y )
+∞dx , y >0⎪⎰0(x +y ) e
f Y (y ) =⎰f (x , y ) dx =⎨2-∞
⎪y ≤0 „„2分 ⎩0,
⎧1-y
⎪(y +1) e , y >0⎨2⎪, y ≤0 „„2分 =⎩0
⎧1-(x +y )
, x >0, y >0⎪(x +1)(y +1) e
4⎨⎪0, 其它(2) f X (x ) ⋅f Y (y ) =⎩ „„1分
显然f X (x ) ⋅f Y (y ) ≠f (x , y ) ，故X 和Y 不独立. „„1分 六、解 E(X2 )=(-2)2 ×0.4+ 02 ×0.3+22 ×0.3=2.8 „„ 5分
E(3X2 +5)=3 E(X2 )+5=3×2.8 +5=13.4 „„5分 七、
解
E (X ) =⎰0
1
1
dx =⎰0
„„3分
=
11
|0=
„„3分
1n
==∑X i
n i =1由矩估计定义知
„„2分
ˆ=() 2θ
1- „„1分 解得矩估计值为
2
θˆ=()
1- „„1分 矩估计量为
22
八、解 μ, σ均未知，σ的置信度为0.9的置信区间为
(n -1) S 2(n -1) S 2[2, 2]
χα/2(n -1) χ1-α/2(n -1) „„2分
α
2-5
这里n = 6, 2= 0.05, s =0.15×10
22
查表得χ0.05(5)=11.070, χ0.95(5)=1.145 „„3分
(n -1) s 25⨯0.15⨯10-4-6
==6.774⨯10, 2
11.070计算得 χα/2(n -1) „„2分
(n -1) s 25⨯0.15⨯10-4
==6.550⨯10-5, 2
χ1-α/2(n -1) 1.145 „„2分
即σ的置信区间为[6.774×10-6,6.550×10-5]. „„1分
九、解 检验假设H 0：μ≥21, H 1：μ
2
σ2未知，检验问题的拒绝域为
t =
≤-t α(n -1) „„3分
2
n = 17, α= 0.05, = 20, s =254/16,
查表得t 0.025(16) = 1.7459 „„2分
=–1.03>-1.7459 „„2分 故接受H 0
即认为这批罐头符合要求. „„2分 t =
概率统计试卷B
一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分）
1、设A 、B 为两个随机事件，P (A ) = 0.7, P (A -B ) = 0.3则P (AB ) = 111
2、已知P (A ) =4, P (B |A ) =3, P (A |B ) =2，则P (A B )
⎧ke x , x
f (x ) =⎨, 0≤x
⎪40, x ≥2⎪⎩3、若随机变量X 的概率密度为，则k
4、设随机变量X 的分布率为 X -1 0 1
111
p k 3 6 2 则X 的分布函数F (x ) .
X
EX =2, D () =1, 2
25、设X 为随机变量，若已知则E (X -2) = 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分）
1、设A 、B 是两个相互独立的事件，且P (A ) >0, P (B ) >0, 则P (A B ) ) =
( ) 一定成立.
(A) P (A ) +P (B ) (B) 1-P () P ()
(C) 1+P () P () (D) 1-P (AB )
2、下列函数中，( ) 可以作为连续型随机变量的分布函数.
⎧e x , x
⎩1x ≥0 (B) ⎩1x ≥0 (A)
x
F 3(x ) =⎨F 4(x ) =⎨x -x
1-e x ≥01+e x ≥0 ⎩⎩ (C) (D)
3、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，DX = 4，DY =2，则D (3X -2Y ) =
( ).
(A) 8 (B) 16
(C) 28 (D) 44
2
4、设X 1, X 2, X n (n >1) 是来自正态总体N (μ, σ) 的简单随机样本，是样本均值，
1n 1n 2222
S 1=(X -) , S =(X -) , ∑i ∑i 2
n -1i =1n i =1
1n 1n 22
S =(X i -μ) , S 4=∑(X i -μ) 2, ∑n -1i =1n i =1
则服从自由度为n -1的t 分布的随机变量是( ).
t =t =
(B)
(A)
23
t =
(D)
(C)
5、在假设检验中，H 0表示原假设，H 1为备择假设，则称为犯第二类错误是
t =
( ).
(A) H 1不真，接受H 1 (B) H 1不真，接受H 0 (C) H 0不真，接受H 0 (D) H 0不真，接受H 1
三、已知在10件产品中有2件次品，在其中任取两次，每次任取一件，作不放
回抽样，求下列事件的概率： (1) 两件都是正品;
(2) 第二次取出的是次品. (本题10分)
四、设事件A 在每次试验发生的概率为0.3，A 发生不少于3次时，指示灯发出信号，
进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率. (本题10分)
⎧e -(x +y )
e , 0
f (x , y ) =⎨e -1
⎪0其它⎩五、设随机变量(X,Y)的概率密度为 (1) 求边缘概率密度f X (x ), f Y (y ) ;
(2) 判断X 和Y 是否相互独立？ (本题10分)
六、设随机变量X 1, X 2的概率密度别为
⎧2e -2x , x >0, ⎧4e -4x , x >0, f 1(x ) =⎨f 2(x ) =⎨
x ≤0. x ≤0. ⎩0, ⎩0,
2
E (2X -3X ) ; 12（1）求
（2）又设X 1, X 2相互独立，求E (X 1X 2) . (本题10分)
七、设X 1, X 2, X n (n >1) 为总体X 的一个样本，x 1, x 2, , x n 为一相应的样本值，
⎧θc θx -(θ+1) , x >c f (x ) =⎨
0其它, ⎩总体密度函数为
θ>1,求θ为未知参数的最大似然估计值和估计量. (本题10其中c>0为已知，
分)
八、用铂球测定引力常数（单位：10-11m 3. kg -1.s -2），观察值为
6.661 6.661 6.667 6.667 6.664
222
设测定值总体为N (μ, σ) ，μ, σ未知，试求σ的置信水平为0.9的置信区间. (本题10分)
2222-5
χχχs =0.9⨯10, 0.050.050.95(4) = 0.711，（(4) = 9.488, (5) = 11.071,
χ20.95(5)=1.145 ）
1
1) ≈2九、如果一个矩形的宽度与长度的比为0.618，这样的矩形称为黄金
2
矩形，某工艺厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布N (μ, σ) ，
μ, σ2现随机抽取16个，测得= 0.6544, s = 0.0925， 其均值为μ，方差为σ2，
均未知，试检验假设H 0：μ= 0.618, H 1：μ≠0.618 （取α= 0.05）.
(本题10分)
（t 0.025(19) = 2.0930, t 0.025(20) = 2.0860, t 0.05(19) = 1.7291, t 0.05(20) =1.7247
t 0.025(15) = 2.1315, t 0.025(16) = 2.1199, t 0.05(15) = 1.7531, t 0.05(16) =1.7459）
参考答案
x
⎪1
⎪, -1≤x
⎪1, 0≤x
二、1、B 2、A 3、D 4、B 5、C 三、解 设A i =“第i 次取出的是正品. ”
B i =“第i 次取出的是次品. ” „„2分
8728⋅=10945 „„4分 （1）
(2) P (B 2) =P (A 1B 2⋃B 1B 2) =P (A 1B 2) +P (B 1B 2)
P (A 1A 2) =P (A 1) P (A 2|A 1) =
=P (A 1) P (B 2|A 1) +P (B 1) P (B 2|B 1)
822191⋅+⋅==109109455 „„4分
四、解 设A 发生的次数为X ，B 为指示灯发出信号，
则X 服从b （n ，p ）， n=5，p=0.3 „„4分
=
法一
P (B ) =P (X ≥3) =∑
k =3
5
k
5
k k
C (0. 3) 5-(0. ≈7) 2
0. 163
„„6分
k =0法二
P (B ) =1-P (X
„„6分
五、解 (1) (X, Y) 关于X 的边缘密度为
⎧+∞e -(x f X (x ) =⎰
+∞-∞
f (x , y ) dy =⎪
⎨⎰0e +y )
dy ,0
⎩0
, 其它 ⎧⎪e -⎨e x
, 0
, 其它 (X, Y) 关于Y 的边缘密度为
1e f Y (x ) =⎰
+∞⎧-∞
f (x , y ) dx =⎪
⎨⎰0e -(x +y )
dx , y >0⎪e -1
⎩0
, y ≤0 ⎧e -y , y >0
=⎨
⎩0, y ≤0 ⎧e -(=⎪
⎨e -1e x +y )
, 0
E (X 1) =
2，E (X 1
2) =4 E (X 2
E (X 21112) =D (X 2) +[2)]=(4) 2+(4) 2=
8 (1)E (2X 22
1-3X 2) =2E (X 1) -3E (X 2)
=2⋅12-3⋅158=
8
（2）X E (X 111
1, X 2独立，
1X 2) =E (X 1) E (X 2) =2⋅4=
8
七、解 样本X 1, X 2, „,X n 的似然函数为
L (θ) =∏n
θθ
-(θ+1)
n
n θ
n
-(θ+1)
i =1
⋅c x
i =θ⋅c ∏i =1
x i n
而
ln L (θ) =n ln θ+n θln c -(θ+1) ∑ln x i
i =1
d n
令d θln L (θ) =n
θ+n ln c -∑ln x i =0
i =1 „„2分 „„2分 „„2分 „„2分
„„1分
„„1分
„„ 2分 „„2分
„„ 3分
„„3分„„3分 „„2分
„„2分
ˆ=θ
n
解得的最大似然估计值为
∑ln x -n ln c
i
i =1
n
„„2分
θˆ=
最大似然估计量为
n
∑ln X
i =1
n
i
-n ln c
„„1分
22
八、解 μ, σ均未知，σ的置信度为0.9的置信区间为
(n -1) S 2(n -1) S 2[2, 2]
χα/2(n -1) χ1-α/2(n -1) „„2分
α
2-5
这里n = 5, 2= 0.05, s =0.9×10
22
查表得χ0.05(4)=9.488, χ0.95(4)=0.711 „„3分
(n -1) s 24⨯0.9⨯10-5-6
==3.794⨯10, 2
9.488计算得 χα/2(n -1) „„2分
(n -1) s 24⨯0.9⨯10-5
==5.063⨯10-5, 2
χ1-α/2(n -1) 0.711 „„2分
即σ的置信区间为[3.794×10-6,5.063×10-5]. „„1分
2
九、解 检验假设H 0：μ= 0.618, H 1：μ≠ 0.618. „„1分
|t |=≥t α/2(n -1) 2
σ未知，检验问题的拒绝域为
„„3分 n = 16, α= 0.05, α/2 = 0.025, = 0.6544, s = 0.0925,
查表得t 0.025(15) = 2.1315 „„2分
=1.574
即认为矩形的宽度与长度的比为0.618. „„2分
|t |=|
概率统计试卷C
一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分） 1、设A 、B 、C 为三个随
11
P (A ) =P (B ) =P (C ) =, P (AB ) =P (BC ) =0, P (AC ) =,
48
P (A B C ) =2、设随机变量X 的概率密度为
机
事
件
， 则
⎧k (1-x ) 2, -1
其他. ，则k ⎩0,
3、设随机变量X,Y D (2X -Y ) 相互独立，X ~N (1,4),Y ~b (10,0.4),则
2
4、设X 1, X 2, , X n 是来自总体N (μ, σ) 的样本，是样本均值，则服从的分布为 .
222
5、设X 1, X 2, , X n 是来自总体N (μ, σ) 的样本，S 为样本方差，μ未知时，则σ
的一个置信水平为1-α的置信区间为 . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分）
1、设A 、B 是两个相互独立的事件，且P (A ) >0, P (B ) >0, 则 ( ) 一定成
立.
(A) P (|) =1-P (A ) (B) P (A |B ) =0 (C) P (A ) =1-P (B ) (D) P (A |B ) =P (B )
2、函数y =f (x ) 是一连续型随机变量X 的概率密度，则（ ）一定成立. (A) f (x ) 的定义域为[0,1] (B) f (x ) 的值域为[0,1]
(C) f (x ) 非负 (D) f (x ) 在(-∞, ∞) 内连续
3、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，且都服从泊松分布，又知
E (X ) =2, E (Y ) =3, 则E (X +Y ) 2=( ). (A) 51 (B) 10 (C) 25 (D) 30
22
4、设总体X ~N (μ, σ) ，其中μ已知，σ未知，X 1, X 2, X 3是来自正态总体X 的一个容量为3的样本，则下列选项中不是统计量的是 ( ). (A) X 1+X 2+X 3 (B) max{X 1, X 2, X 3}
2222σ(X +X +X 123) (D) X 1+X 3-2μ (C)
22
5、设总体X ~N (μ, σ) ， X 1, X 2, , X n 是来自正态总体的样本，则σ的无偏估
计量是( ).
1n 1n 2
(X i -) (X i -) 2∑∑(A) n i =1 (B) n -1i =1
1n 21n 2
X i -(X i -) 2∑∑
(C) n i =1 (D) n +1i =1
三、有两种花籽，发芽率分别为0.8, 0.9，从中各取一颗，设各花籽是否发芽相
互独立，求（1）这两颗花籽都能发芽的概率， （2）恰有一颗能发芽的概率. (本题12分)
四、设随机变量X 的分布函数为
x
⎪
F X (x ) =⎨ln x , 1≤x
⎪1, x ≥e . ⎩
（1）求P {2
（2）求密度函数f X (x ). (本题12分)
⎧5.25x 2y , x 2≤y ≤1,
f (x , y ) =⎨
其它. ⎩0, 五、设随机变量(X,Y ) 的概率密度为
(1) 求边缘概率密度f X (x ), f Y (y ) ;
(2) 判断X 和Y 是否相互独立？ (本题12分)
六、设随机变量(X,Y ) 的概率密度为
⎧12y 2, 0≤y ≤x ≤1,
f (x , y ) =⎨
其他. ⎩0,
求E (X ), E (XY ). (本题10分)
x 1-x
P {X =x }=p (1-p ) , x =0,1，X 1, X 2, , X n 是来七、设随机变量X 的分布律为
自X
的一个样本，x 1, x 2, , x n 为一相应的样本值， p 为未知参数，求p 的最大似
然估
计值和估计量. (本题12分)
八、某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%） 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24
设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，问在α= 0.01下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25. (本题12分)
（s = 0.013, t 0.005(4) = 4.6041, t 0.005(5) = 4.0322, t 0.01(4) = 3.7459, t 0.01(5) = 3.3649）
参考答案
一、1、5/8=0.625 2、3/8=0.375 3、18.4 4、
N (μ,
σ2
)
n
(n -1) S 2(n -1) S 2(2, 2) 5、χα/2(n -1) χ1-α/2(n -1)
二、1、A 2、C 3、D 4、C 5、B 三、解 设A i =“第i 种花籽取一颗. ”（i =1,2）
(1) P (两颗花籽都能发芽)=P (A 1A 2)
=P (A 1) P (A 2) =0.8⨯0.9=0.72 „„6分
12(2) P (恰有一颗能发芽)=P (A 1A 2) =P (A 12) +P (1A 2)
=P (A 1) P (2) +P (1) P (A 2) =0.8⨯0.1+0.2⨯0.9=0.26. „„6分
四、解 (1) P (2
5
=l n 2. -5l n =2l n
4 „„6分
⎧1
⎪, 1
⎪其他. „„6分 ⎩0, (2)
五、解 (1) (X, Y) 关于X 的边缘密度为 f X (x ) =⎰
+∞-∞
⎧15.25x 2ydy , -1≤x ≤1⎪
f (x , y ) dy =⎨⎰x 2
⎪, 其它 „„3分 ⎩0
212⎧21214
5.25x y =x (1-x ), -1≤x ≤1⎪2
x
=⎨28⎪, 其它 „„2分 ⎩0
(X, Y) 关于Y 的边缘密度为
f Y (y ) =⎰
+∞-∞
⎧x 2ydx ,0≤y ≤1⎪
f (x , y ) dx =⎨⎪, 其它 „„3分
⎩0
23⎧
⎪5.25y x =⎨3⎪, ⎩0
∞
∞
=3.5y 5/2, 0≤y ≤1
其它
„„2分
(2) f X (x ) ⋅f Y (y ) ≠f (x , y ) ，故X 和Y 不相互独立. „„2分 六、解
E (X ) =⎰
„„ 2分 1x 14=⎰dx ⎰12xy 2dy =⎰4x 4dx =0005， „„3分
-∞-∞∞-∞-∞
⎰
x f (x , y ) dxdy
„„2分 1x 11=⎰dx ⎰12xy 3dy =⎰3x 5dx =0002 „„ 3分
七、解 设x 1, x 2, , x n 是相应于样本X 1, X 2, „,X n 的的一个样本值，X 的分布律为
E (XY ) =⎰⎰
∞
xy f (x , y ) dxdy
P {X =x }=p x (1-p ) 1-x , x =0,1
故似然函数为
L (p ) =∏p x i (1-p ) 1-x i =p i =1(1-p )
i =1
n
n
n
∑x i
n
n -
∑x i
i =1
n
„„4分
而
ln L (p ) =(∑x i )ln p +(n -∑x i )ln(1-p )
i =1
i =1
x i n -∑x i ∑d i =1
ln L (p ) =i =1-=0dp p 1-p 令 „„4分
1n
ˆ=∑x i =p
n i =1解得p 的最大似然估计值为
1n
ˆ=∑X i =. p
n i =1最大似然估计量为 „„4分
八、解 检验假设H 0：μ= 3.25, H 1：μ≠3.25 .
n n
σ2未知，检验问题的拒绝域为
n = 5, α= 0.01, α/2 = 0.005, = 3.252, s = 0.013,
查表得t 0.005(4) = 4.6041 „„4分
= 0.343
即认为这批矿砂的镍含量的均值为3.25. „„4分 |t |=|
|t |=|≥t α/2(n -1) „„4分
概率统计试卷D
一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分）
1、设事件A,B 相互独立，P (A ) =0.4, P (A B ) =0.7, 则P (B ) =2、设随机变量X 的概率密度为
ππ⎧
⎪k cos x , -≤x ≤, f (x ) =⎨22
⎪其他. ，则k ⎩0,
3、设随机变量X 1, X 2, X 3相互独立且都服从参数为λ的泊松分布，令1
Y =(X 1+X 2+X 3)
3
则D (Y ) 22
4、设X 1, X 2, , X n 是来自总体N (μ, σ) 的样本，, S 分别是样本均值和样本方
(n -1) S 2
差，则σ服从的分布为 .
22
5、设X 1, X 2, , X n 是来自总体N (μ, σ) 的样本，, S 分别是样本均值和样本方差，σ
已知时，μ的一个置信水平为1-α的置信区间为 . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分）
1、设A 、B 是两个相互独立的事件，且P (A ) >0, P (B ) >0, 则 ( ) 一定成
立.
2
2
(A) P (|) =1-P (A ) (B) P (A |B ) =0 (C) P (A ) =1-P (B ) (D) P (A |B ) =P (B )
2、函数y =f (x ) 是一连续型随机变量X 的概率密度，则（ ）一定成立.
(A) f (x ) 的定义域为[0,1] (B) f (x ) 的值域为[0,1] (C) f (x ) 非负 (D) f (x ) 在(-∞, ∞) 内连续
111E (X 2-1) =2, D (X -1) =,
22则E (X ) =（ ）. 3、设E (X ) ≥0, 且2
(A)
(B) 2
(C) 1 (D) 0
2
4、设X 1, X 2, X 3, X 4是来自正态总体X 的样本，其中μ已知，σ未知，则下列选项中不是统计量的是 ( ).
14
=∑X i
4i =1 (A) (B) X 1+X 4-2μ
14142
S =∑(X i -) K =2∑(X i -) 2
3i =1σi =1 (C) (D)
22
5、设总体X ~N (μ, σ) ， X 1, X 2, , X n 是来自正态总体的样本，则σ的无偏估
2
计
量是( ).
1n 1n 2
(X i -) (X i -) 2∑∑(A) n i =1 (B) n +1i =1
1n 1n 22
(X i -) X i -2∑∑
(C) n -1i =1 (D) n i =1
三、有两种花籽，发芽率分别为0.8, 0.9，从中各取一颗，设各花籽是否发芽相
互独立，求（1）这两颗花籽都能发芽的概率，
（2）恰有一颗能发芽的概率. (本题12分)
四、设随机变量X 的分布函数为
x
⎪
F X (x ) =⎨ln x , 1≤x
⎪1, x ≥e . ⎩
（1）求P {0
（2）求密度函数f X (x ). (本题12分)
⎧4.8y (2-x ), 0≤x ≤1,0≤y ≤x ,
f (x , y ) =⎨
0, 其它. ⎩五、设随机变量(X,Y ) 的概率密度为
(1) 求边缘概率密度f X (x ), f Y (y ) ;
(2) 判断X 和Y 是否相互独立？ (本题12分)
六、设随机变量(X,Y ) 的概率密度为
⎧2y , 0
f (x , y ) =⎨
其他. ⎩0, ，
求E (Y ), E (XY ). (本题10分)
七、设X 1, X 2, , X n 是来自总体X 的一个样本，x 1, x 2, , x n 为一相应的样本值，
⎧θx θ-1, 0
f (x , θ) =⎨θ(>0)
其它. ⎩0, 总体X 的密度函数为 ,
求θ为未知参数的矩估计值和估计量. (本题12分)
八、某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%） 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24
设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，问在α= 0.01下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25. (本题12分)
（s = 0.013, t 0.005(4) = 4.6041, t 0.005(5) = 4.0322, t 0.01(4) = 3.7459, t 0.01(5) = 3.3649）
参考答案
1(z α/2) λ2
χ(n -1) 一、1、0.5 2、1/2=0.5 3、3 4、 5
、
二、1、A 2、C 3、B 4、D 5、C 三、解 设A i =“第i 种花籽取一颗. ”（i =1,2）
(1) P (两颗花籽都能发芽)=P (A 1A 2)
=P (A 1) P (A 2) =0.8⨯0.9=0.72 „„6分
12(2) P (恰有一颗能发芽)=P (A
1A 2) =P (A 12) +P (1A 2)
=P (A 1) P (2) +P (1) P (A 2) =0.8⨯0.1+0.2⨯0.9=0.26. „„6分
四、解 (1) P (0
⎧1
⎪, 1
⎪其他. „„6分 ⎩0, (2)
五、解 (1) (X, Y) 关于X 的边缘密度为
f X (x ) =⎰
+∞-∞
⎧x 4.8y (2-x ) dy ,0≤x ≤1⎪
f (x , y ) dy =⎨⎰0
⎪, 其它 „„3分 ⎩0
2x 2
⎧⎪2.4(2-x ) y 0=2.4x (2-x ), 0≤x ≤1=⎨
, 其它 „„2分 ⎪⎩0
(X, Y) 关于Y 的边缘密度为
1f +∞Y (y ) =⎰
⎧f (x , y ) dx =⎪
⎨⎰y
4.8y (2-x ) dx ,0≤y ≤1-∞
⎪⎩0
, 其它 ⎧=⎪⎨4.8y [-1(2-x ) 2]1+y 2
y =2.4y (3-4y ), 0≤y ≤1⎪2⎩0, 其它 (2) f X (x ) ⋅f Y (y ) ≠f (x , y ) ，故X 和Y 不相互独立. 六、解
E (Y ) =⎰
∞
-∞⎰
∞
-∞y f (x , y ) dxdy
=⎰1dx ⎰102y 2dy =⎰1203
y 311221200dx =⎰03=3x 0=3， E (XY ) =⎰
∞-∞⎰
∞
-∞
xy f (x , y ) dxdy
=⎰10dx ⎰102xy 2dy =⎰1203xy 31121110dx =⎰03xdx =3x 0=3. 七、解 由矩法估计
μ1=E (X ) =⎰
∞
-∞
x f (θx , ) d x
=⎰10x θx θ-1dx =θθ+1x θ+11θ0=θ+1 θ1n
以A =1代μθ+1A 1=1得 n ∑X i i =1 得θ的矩估计量为
θˆ=1-,
θ的矩估计值为 θˆ=
1-. 八、解 检验假设H 0：μ= 3.25, H 1：μ≠3.25 . σ2
未知，检验问题的拒绝域为
|t |=|≥t α/2(n -1) n = 5, α= 0.01, α/2 = 0.005, = 3.252, s = 0.013,
查表得t 0.005(4) = 4.6041 |t |=|=0.343
即认为这批矿砂的镍含量的均值为3.25. „„3分 „„2分
„„2分 „„2分 „„3分 „„2分 „„3分
4分 „„4分
„„4分
„„4分
„„4分
„„4分 „„