方程与不等式应用题

方程与不等式应用题（讲义）

一、知识点睛

1. 理解题意：分层次，找结构

借助表格等梳理信息

2. 建立数学模型：方程模型、不等式（组）模型等

寻找关键词，挖掘隐藏信息；处理模型时需要考虑未知数的实际意义 3. 结合实际意义验证结果

①数据是否异常；

②结果是否符合题目要求及取值范围； ③结果是否符合实际意义．

二、精讲精练

1. 为支持某地区抗震救灾，A，B，C三地现在分别有赈灾物资100吨，100吨，80吨，需要全部运

往重灾地区的D，E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨．要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D县的赈灾物资为x吨（x为整

数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍．其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过23吨．已知A，B，C三地的赈灾物资运往D，E两县的费用如下表：

（1）这批赈灾物资运往D，E两县的数量各是多少？

（2）A，B两地的赈灾物资运往D，E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案． （3）为及时将这批赈灾物资运往D，E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）的条件下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？

2. 为了保护环境，某生物化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费

资金46万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的80%．实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水180吨，每台乙型设备每月能处理污水150吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5万元．今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共8台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过74万元，预计二期工程完成后每月将产生1 250吨的污水．

（1）每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？ （2）请求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案．

（3）若两种设备的使用年限都为10年，则在（2）的所有方案中，哪种购买方案的总费用最少？（总费用=设备购买费+各种维护费和电费）

3. 为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A，B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需

资金1 560万元．已知改造1所A类学校和2所B类学校共需资金230万元；改造2所A类学校和1所B类学校共需资金205万元．

（1）改造1所A类学校和1所B类学校所需的资金分别是多少万元？ （2）若该县的A类学校不超过9所，则B类学校至少有多少所？

（3）我市计划今年对该县A，B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元，地方财政投入的改造资金不少于75万元，且地方财政投入到A，B两类学校的改造资金分别为每所10万元和每所15万元．请你通过计算求出所有的改造方案．

4. 某制造厂开发了一款新式机器，计划一年生产安装240台．由于抽调不出足够的熟练工来完成新

式机器的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后能独立进行机器的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8台新式机器；2名熟练工和3名新工人每月可安装14台新式机器．

（1）求每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少台新式 机器．

（2）如果工厂招聘n（0n10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年．．的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？

（3）在（2）的条件下，工厂每月给安装新式机器的每名熟练工发2 000元的工资，给每名新工人发1 200元的工资，那么工厂招聘多少名新工人，才能使新工人的数量多于熟练工，且工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能的少？

5. 某校八年级270名师生计划集体外出一日游，乘车往返，经与客运公司联系，他们有座位数不同

的中巴车和大客车两种车型可供选择，每辆大客车比中巴车多15个座位．学校根据中巴车和大客车的座位数计算后得知，如果租用中巴车若干辆，师生刚好坐满全部座位；如果租用大客车，不仅少用一辆，而且师生坐完后还空余30个座位． （1）求中巴车和大客车各有多少个座位．

（2）客运公司为该校这次活动提供的报价是：租用中巴车每辆往返费用350元，租用大客车每辆往返费用400元．学校在研究租车方案时发现，同时租用两种车，其中大客车比中巴车多租一辆，所需租车费比单独租用任何一种车型都要便宜．则按这种方案需要中巴车和大客车各多少辆？租车费比单独租用中巴车或大客车各少多少元？

三、回顾与思考

【参考答案】

1．（1）这批赈灾物资运往D县180吨，运往E县100吨． （2）A，B两地的赈灾物资运往D，E两县的方案有3种．

方案一，A地运往D县41吨，运往E县59吨；B地运往D县79吨，运往E县21吨． 方案二，A地运往D县42吨，运往E县58吨；B地运往D县78吨，运往E县22吨．

方案三，A地运往D县43吨，运往E县57吨；B地运往D县77吨，运往E县23吨． （3）该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是60 390元． 2．（1）每台甲型设备的价格是10万元，每台乙型设备的价格是8万元． （2）共有4种购买方案．

方案一，购买甲型设备2台，乙型设备6台； 方案二，购买甲型设备3台，乙型设备5台； 方案三，购买甲型设备4台，乙型设备4台； 方案四，购买甲型设备5台，乙型设备3台． （3）方案四的总费用最少，即购买甲型设备5台， 乙型设备3台．

3．（1）改造1所A类学校所需的资金是60万元，改造1所B类学校所需的资金是85万元． （2）B类学校至少有12所． （3）共有3种改造方案．

方案一，改造A类学校1所，B类学校5所； 方案二，改造A类学校2所，B类学校4所； 方案三，改造A类学校3所，B类学校3所．

4．（1）每名熟练工每月可以安装4台，每名新工人每月可以安装2台． （2）工厂共有4种新工人的招聘方案． 方案一，招聘2名新工人，抽调4名熟练工； 方案二，招聘4名新工人，抽调3名熟练工； 方案三，招聘6名新工人，抽调2名熟练工； 方案四，招聘8名新工人，抽调1名熟练工．

（3）工厂招聘4名新工人，才能使新工人的数量多于熟练工，且工厂每月支出的工资总额尽可能的少．

5．（1）中巴车有45个座位，大客车有60个座位．

（2）需要中巴车2辆，大客车3辆．租车费比单独租用中巴车少200元，比单独租用大客车少100元．

方程与不等式应用题（随堂测试）

1. 某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价与

去年同期相比，每台降价1 000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．为了增加收入，今年电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3 500元，乙种电脑每台进价为3 000元，公司计划用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台．根据以上信息解答下列问题： （1）今年三月份甲种电脑每台售价为多少元？ （2）请你为该电脑公司设计出所有的进货方案；

（3）若乙种电脑每台售价为3 800元，怎样安排进货该电脑公司才能获得最大利润？

【参考答案】

1．（1）今年三月份甲种电脑每台售价为4 000元． （2）该电脑公司共有5种进货方案． 方案一，购进甲种电脑6台，乙种电脑9台； 方案二，购进甲种电脑7台，乙种电脑8台； 方案三，购进甲种电脑8台，乙种电脑7台； 方案四，购进甲种电脑9台，乙种电脑6台； 方案五，购进甲种电脑10台，乙种电脑5台．

（3）购进甲种电脑6台，乙种电脑9台，该电脑公司才能获得最大利润．

方程与不等式应用题（作业）

2. 已知2辆A型车和1辆B型车载满货物时一次可运货10吨；1辆A型车和2辆B型车载满货物

时一次可运货11吨．某物流公司现有货物31吨，计划同时租用A型车和B型车，要求一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：

（1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物时一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮助该物流公司设计出所有的租车方案；

（3）若每辆A型车的租金为100元/次，每辆B型车的租金为120元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费．

3. 受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价与去年相比，每台降价500元，如果卖出

相同数量的手机，去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元． （1）今年甲型号手机每台售价为多少元？

（2）为了提高利润，今年该店决定再经销乙型号手机，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，计划用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，则该店有哪几种进货方案？

（3）若乙型号手机每台售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金a元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使（2）中所有方案的获利相同，则a的值应为多少？

4. 为了抓住文化艺术节的商机，某商店决定购进A，B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，

B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元． （1）购进A，B两种纪念品每件各需多少元？

（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购进这100件纪念品的资金不少于7 500元，但不超过7 650元，则该商店共有哪几种进货方案？

（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，则在（2）的各种进货方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？

【参考答案】

1．（1）1辆A型车载满货物时一次可运货3吨，1辆B型车载满货物时一次可运货4吨． （2）该物流公司共有3种租车方案． 方案一，租用A型车1辆，B型车7辆； 方案二，租用A型车5辆，B型车4辆； 方案三，租用A型车9辆，B型车1辆．

（3）最省钱的租车方案为，租用A型车1辆，B型车7辆． 最少的租车费为940元．

2．（1）今年甲型号手机每台售价为1 500元．

（2）该店共有5种进货方案．

方案一，购进甲型号手机8台，乙型号手机12台； 方案二，购进甲型号手机9台，乙型号手机11台； 方案三，购进甲型号手机10台，乙型号手机10台； 方案四，购进甲型号手机11台，乙型号手机9台； 方案五，购进甲型号手机12台，乙型号手机8台．

（3）要使（2）中所有方案的获利相同，则a的值应为100．

3．（1）购进A种纪念品每件需100元，购进B种纪念品每件需50元．

（2）该商店共有4种进货方案．

方案一，购进A种纪念品50件，B种纪念品50件； 方案二，购进A种纪念品51件，B种纪念品49件； 方案三，购进A种纪念品52件，B种纪念品48件； 方案四，购进A种纪念品53件，B种纪念品47件．

（3）获利最大的方案为，购进A种纪念品50件，B种纪念品50件．最大利润是2 500元．