工程数学线性代数复习资料
工程数学(线性代数)复习资料
一、矩阵和行列式
1、了解矩阵的相关概念;矩阵的加、减、数乘以矩阵和矩阵的乘法;会求逆矩阵; 2、了解行列式相关性质及利用行列式的性质进行运算;
3、理解n 级排列的定义,会求排列的逆序数并判断是奇排列还是偶排列; 4、会利用克莱姆法则判断方程组的解并解方程。 二、向量空间
1、了解向量的相关概念;熟悉向量的运算;
2、理解向量组线性相关和线性无关的定义;并能判断向量组线性相关和线性无关; 3、了解向量组秩的概念并能求出其秩。 三、矩阵的秩与线性方程组
1、了解矩阵秩的概念并能利用矩阵的初等行变换求矩阵秩; 2、利用高斯消元法解线性方程组;
3、利用矩阵的秩来判断齐次解线性方程组和非齐次解线性方程组解的结构。 四、特征值与特征向量
1、熟悉特征值与特征向量的基本概念、性质及运算; 2、了解相似矩阵的概念、方阵可对角化的充要条件;
3、了解内积、正交向量组与正交矩阵的概念;能利用施密特正交化方法把向量组化成正交单位向量组。
附复习题
一、单项选择题
1.设A 为3阶方阵,且|A |=2,则|2A -1|=( D ) A .-4 B .-1 C .1
D .4
2.设A 为任意n 阶矩阵,下列矩阵中为反对称矩阵的是( B ) A .A +A T
B .A -A T C .AA T
D .A T A
3.矩阵⎛ 33⎫
-10⎪⎪的逆矩阵是( C )
⎝⎭⎛0-1⎫⎛0⎛0-1A . B . -3⎫⎫
⎛1⎫ ⎝⎭ 33⎪⎪ ⎝13⎪⎪⎭ C . 1⎝3
1⎪⎪ D .
⎭ 1 3⎪ ⎝-10⎪⎪
⎭4.设行列式
a 1b 1b 1+c 1
a ,
a 1c 1=2,则
a 12
b =12
a 2
c 2
a 2
b =( D )
2+c 2
A .-3 B .-1 C .1 D .3
5.设矩阵A ,B ,C 为同阶方阵,则(ABC )T =( B ) A .A T B T C T B .C T B T A T C .C T A T B T D .A T C T B T
6.设向量组α1,α2,…,αs 线性相关,则必可推出( D ) A .α1,α2,…,αs 中至少有一个向量为零向量 B .α1,α2,…,αs 中至少有两个向量成比例
C .α1,α2,…,αs 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合 D .α1,α2,…,αs 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合
7.设A 为m×n矩阵,则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是( C ) A .A 的列向量组线性无关 B .A 的列向量组线性相关 C .A 的行向量组线性无关 D .A 的行向量组线性相关
1
⎛ 1400⎫8.设A = 0
200⎪
⎪
0030⎪,则A 的特征值是( C ) ⎝
005
3⎪⎪⎭
A .1, 1, 2, 2 B .1, 1, 2, 3 C .1, 2, 3, 3 D .1, 2, 2, 3 a 11
a 12a 13a 115a 11+2a 12
a 13
9.设行列式D=a 21
a 22a 23=3,D 1=a 215a 21+2a 22a 23,则D 1的值为( C ) a 31
a 32
a 33a 31
5a 31+2a 32
a 33
A .-15 B .-6 C .6 D .15
10.设3阶方阵A 的秩为2,则与A 等价的矩阵为( B
) ⎛111⎫⎛111⎫⎛111⎫⎛111⎫A . 000⎪⎪ B . 011⎪⎪ C . 222⎪⎪ D . 22⎪ 2
⎪ ⎝000⎪⎭ ⎝000⎪⎭ ⎝000⎪⎭ ⎝
33
3⎪⎭
11.向量组α1,α2,…αs ,(s>2) 线性无关的充分必要条件是( D ) A .α1,α2,…,αs 均不为零向量
B .α1,α2,…,αs 中任意两个向量不成比例 C .α1,α2,…,αs 中任意s-1个向量线性无关
D .α1,α2,…,αs 中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示 12.设A ,B 为可逆矩阵,则分块矩阵
⎛A 0⎫
⎪的逆矩阵为( A )
. ⎝0B ⎭
⎛A -1A .
0⎫
⎛B -10⎫
⎛0A -1⎝0B -1⎪⎭ B . ⎝0
A -1⎪⎭ C ⎫⎛0B -1 ⎫⎝B -10⎪⎭ D . ⎝A
-10⎪⎭ 13.设A ,B 均为方阵且可逆,满足AXB =C 则下列命题中正确是( C ) A .X =A -1
B -1
C B .X =CA -1
B -1
C .X =A -1
CB -1
D .X =B -1
CA -1
14.设A ,B 均为n 阶方阵且可逆,A 为A 的行列式,则下列命题中不正确是( B )
A .A T
=A B .
λA =λA C .AB =A B D .A
-1
=
1A
15.设A 、B 、C 均为n 阶方阵,则下列命题中不正确是( C ) A .(A +B )+C =A +(B +C ) B .(AB )C =A (BC ) C .AB =BA D .A (B +C ) =AB +AC 16.设A 、B 为n 阶方阵,满足AB =0,则必有( B )
A .A =0或B =0 B .A =0或B =0 C .BA =0 D .A +B =0
-11
17.3阶行列式a i j =1
0-1中元素a 21的代数余了式A 21=( B ) -1
1
A .-2 B .-1 C .1 D .2
18.设A 为m ⨯n 矩阵,且非奇次线性方程组Ax =b 有唯一解,则必有( C )
2
A .m =n B .秩(A )=m C .秩(A )=n D .秩(A )
19.设n 阶可逆矩阵A 、B 、C 满足ABC =E ,则B -1=( A ) A .A -1C -1 B .C -1A -1 C .AC D .CA 20.设α1, α2, α3, α4是一个4维向量组,若已知α4可以表为α1, α2, α3的线性组合,且表示法惟一,则向量组α1, α2, α3, α4的秩为( C )
A .1 B .2 C .3 D .4 21.设向量组α1, α2, α3, α4,下列命题中正确是( C ) A .α1+α2, α2+α3, α3+α4, α4+α1线性无关 B .α1-α2, α2-α3, α3-α4, α4-α1线性无关 C .α1+α2, α2+α3, α3+α4, α4-α1线性无关 D .α1+α2, α2+α3, α3-α4, α4-α1线性无关
⎛5622.矩阵 -3⎫ -101⎪
⎪,
的特征值是( A ) ⎝121⎪⎭
A .λ1=λ2=λ3=2 B .λ1=λ2=λ3=1 C .λ1=1, λ2=λ3=2 D .λ1=λ2=λ3=3 23.排列(2, 4, 6, ⋅⋅⋅, 2n , 2n -1, ⋅⋅⋅, 3, 2, 1)的逆序数为( C ) A .n (n +1) B .n (n -1) C .n 2
D .n
24.排列(1,8,2,7,3,6,4,5)是( A )
A .偶排列 B .奇排列 C .非奇非偶 D .以上都不对 25.齐次线性方程组AX =0有零解的充要条件是( A ) A .A ≠0 B .A =0 C .A =1 D .A ≠1
二、填空题
a 1b 1
a 1b 2a 1b 3
1.若a i b i ≠0, i =1, 2, 3, 则行列式a 2b 1
a 2b 2a 2b 3=( 0 ) a 3b 1
a 3b 2
a 3b 3
2.设矩阵A =⎛ 12⎫ ⎪⎝⎪,则行列式|A T
34⎭
A |=( 4 )
⎧a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3=3.若齐次线性方程组⎪
⎨a 21x 1+a 22x 2+a 23x 3=0有非零解,则其系数行列式的值为⎪⎩a 31x 1+a 32x 2+a 33x 3=0
⎛1014.设矩阵A = ⎫
020⎪
⎪,矩阵B=A-E,则矩阵B 的秩r(B )=( 2 )
⎝001⎪⎭
0 )
3
(
5.设A 是4×3矩阵,若齐次线性方程组Ax =0只有零解,则矩阵A 的秩r(A )= ( 4 )
3-1⎫⎛1-2
⎪
-12⎪,若方程组6.已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵A 经初等行变换化为:A → 02
00a (a -1) a -1⎪⎝⎭
无解,则a 的取值为( 0 )
1-2⎫⎛-21
⎪
-21a ⎪ 使R (A )=3,则a (a ≠1, a ≠2) 7.设A = 1 11-2a 2⎪⎝⎭-3⎫⎛-33
⎪T 201⎫⎛042⎫57⎪ 8.设矩阵A =⎛ -11-3⎪,B = 357⎪,则A B = 3
⎝⎭⎝⎭ -9-11-19⎪
⎝⎭
⎛-1⎫⎛0⎫
⎪ ⎪10⎧x 1+x 2=0
9.方程组⎨的基础解系为(ξ1= ⎪ ξ2= ⎪ ).
0⎪ 1⎪⎩x 3-x 4=0
⎪ ⎪0⎝⎭⎝1⎭
10.设向量组α1=(6,4,1,-1,2),α2=(1,0,2,3,4),α3=(1,4,-9,-6,22)α4=(7,1,0,-1,3),
则向量组的秩为 ( 4 )
11.设A 可逆,λA 可逆,则λA (λA ) -1=(
1
λ
A -1).
⎛3⎛12⎫⎛11⎫T
⎪ ⎪AP =12. 设矩阵A= ,P=,则 34⎪ 01⎪⎝⎭⎝⎭⎝72⎫
⎪. 4⎭
01/4⎫⎛020⎫⎛0
⎪ ⎪
00⎪ 13. 设矩阵A= 003⎪,则A -1= 1/2
01/30⎪ 400⎪
⎝⎭⎝⎭
a 1
014.
a 20
0c 10c 2
b 10b 20
0d 1
=(∂5=(a 1b 2-a 2b 1)(c 1d 2-c 2d 1)) 0d 2
15. 使排列1274j 56k 9为偶排列,则j =( 8 )k =( 3 ).
a 11
2a 12
3a 13
a 11
a 12a 22a 32
a 13a 23=(a 33
16.已知3阶行列式2a 214a 22
3a 31
6a 32
6a 23=6,则a 219a 33
a 31
1). 6
17.若λ=0是方阵A 的一个特征值,则det (A )=( 0 ).
⎛12⎫ ⎪⎛-22
18.设A = ⎪,则A -2A +E =
-10⎪⎝1⎝⎭
-2⎫
⎪. -1⎭
4
19. 若向量组∂=(1, t +1,0),∂),∂2
12=(1,2,03=(0,0, t +1)
线性相关,则t =( 1 ).
20. 设向量组α1=(a ,1,1), α2=(1,-2,1), α3=(1,1,-2)线性相关,则数a =(-2).
21. 若向量组U 与向量组(1,2,3,4),(2,3,4,5),(0,0,1,2)等价,则U 的秩(3). 22. 设A 为3阶方阵,det (A )=-3,则det (-2A )=( 24 )
⎧λx 1+x 2+x 323. 方程组⎪
=1
⎨x 1+λx 2+x 3=λ,当λ=( 1 )时有无穷多解。
⎪⎩x 1+x 2
+λx 3=λ2
三、计算题
103
100041.计算3阶行列式 99
2009 5. 301
300
00100
204+3100
200+4
3
100
4
解:200395=200-1200400-5=-1200-5=2000
[1**********]0+1300600+013000
⎛2.设A = 2
23⎫ 1-10⎪⎪, 求A -1 ⎝-121⎪⎭
⎛解: 223100⎫ 1-10010⎪⎛ 1-10010⎫⎛1001-43⎫23100⎪⎪= 0101-5-3⎪
⎝001⎪ =⎪ 2
-121⎭ ⎝-121001⎪⎭ ⎝001-164⎪ ⎪⎭
⎛1-4A -1= -3⎫
1-5-3⎪⎪ ,
⎝-164⎪⎭
3.设向量组∂1=(1, -2,0,3),∂2=(2, -5, -3,6) ,∂3=(0,1,3,0),∂4=(2, -1,4, -7) ∂5=(5, -8,1,2)
(1)求向量组的一个最大线性无关组;
(2)将其余向量表为该最大线性无关组的线性组合.
⎛
12
025⎫⎛120
25⎫解:A =⎡∂T ∂T ∂T ∂T T ⎤ -2-51-1-8⎪1⎪⎣1234∂5⎦= ⎪
01-1
0⎪
0-3
341
⎪→ 00011⎪→ ⎝360-72⎪⎭
⎝000
0⎪⎭
⎛ 10201⎫
01-101⎪
⎛1⎫⎛0⎫⎛0⎫ ⎪ 00011⎪=(β),ε ⎪ ⎪ ⎪1β2β3β4β51= 0⎪,ε2= 1⎪,ε3= 0⎪ ⎝0
00
0⎪0⎪ 0⎪ 1⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎪⎭ 5
⎛ 2⎫⎛ -1⎪
⎪=2ε 1⎫ 1⎪
1-ε2 ⎪=ε1+ε2+ε β 33=2β1-β2 β5=β1+β2+β 3
⎝0⎪⎭⎝1⎪⎭
α3=2α1-α2 α5=α1+α2+α 3
⎧x 1+2x 2+x 3-x 4=04.求齐次线性方程组⎪
⎨3x 1+6x 2-x 3-3x 4=0的基础解系及结构解.
⎪⎩5x 1+10x 2+x 3-5x 4=0
⎛解:A = 121-1⎫ 36-1-3⎪⎛120-1⎫
⎪→ ⎪⎧x 1=-2x 2+x 4
⎝5101-5⎪ 0010⎭ ⎝0000⎪⇒⎪⎨⎭
⎩
x
3=0 分别令⎛ x 2⎫⎛1⎫⎛x 1⎫⎛-2⎫
⎛⎝x ⎪= ⎪⇒ ⎪= ⎪
x 2⎫⎛0⎫⎛x 1⎫⎛1⎫4⎭⎝0⎭⎝x 3⎭⎝0⎭⎝x ⎪= ⎪⇒ ⎪= ⎪⎭
4⎭⎝1⎭⎝x 3⎭⎝0⎛ -2⎫⎪⎛ 1⎫⎪ 得一个基础解系:ξ10
1= ⎪ ξ2= ⎪ 结构解:x =k 1ξ1+k 2ξ2
0⎪ 0⎪⎝0⎪⎭ ⎝1⎪⎭
⎛5.求矩阵A = 1-33⎫
3-53⎪
⎪的特征值及对应的全部特征向量.
⎝6-64⎪⎭
λ-1
3-3
解:det (λE -A )=-3
λ+5
-3=(λ+2)2
(λ-4)=0 ⇒λ1=λ2=-2, λ3=4
-6
6
λ-4
⎛-33-3⎫⎛1-11 λ ⎪ ⎫⎪
1=-2 -2E -A = -33-3⎪→ 000⎪⇒x 1-x 2+x 3=0⇒x 1=x 2-x 3
⎝-66-6⎪⎭ ⎝000⎪⎭⎛ 令x 1, x ξ 1⎫⎪
⎛ -1⎫
⎪2=3=0⇒1= 1⎪ x 2=0, x 3=1⇒ξ2= 0⎪ x =k 1ξ1+k 2ξ2 k 1, k 2不全为零⎝0⎪
⎭
⎝1⎪⎭
⎛33-3⎫⎛10-1/2⎫⎧x 1-1x 3=0⎧ λ -39-3⎪ ⎪⎪⎪2⎪x 1=1x 3
1=4 4E -A =⇒⎪ ⎪→ 01-1/2⎪⇒⎨⎨2
⎝-660⎪⎭ ⎝000⎪⎭⎪⎪⎩x 2-12x 13=0⎪⎪⎩x 2=2x 3⎛ 令x 1⎫
1⎪
3=2, ⇒ξ3=⎪⇒x 3=k x ξx (k 3≠0)
⎝2⎪⎭
6
0-1-16. 计算行列式D=
451
394的值. -4440001
解:D =
462
[1**********]1=-3105=--7-55=-275=0 -455
1
-455-14-10510
⎛101⎫⎛37. 已知矩阵A= 1-10⎪⎪,B= 01⎫ 110⎪
⎪,
⎝012⎪⎭ ⎝014⎪⎭
(1)求A 的逆矩阵A -1; (2)解矩阵方程AX=B.
⎛101100⎫⎛1002-1-1⎫⎛2-1-1解:(1) 1-10010⎪⎪→ 0102-2-1⎪⎫⎪⇒A -1
= 1-2-1⎪ ⎝012001⎪⎪⎭ ⎝001-111⎪⎭ ⎝-111⎪⎭⎛2-1-1⎫⎛301⎫⎛5-2-2⎫
(2)AX =B ⇒X =A -1
B = 2-2-1⎪⎪ ⎪ ⎪110⎪= 4-3-2⎝-111⎪⎭⎝014⎪⎭ ⎝-223⎪
⎪⎭
1-2-3
48.计算行列式D =
-2-14
3
3412的值. 4-321
1-2-341000
解:
-2-143-5-21103412=-2-5-21136
31010-10
=1010-10=1011-1 4-32
14514-15
514-1509-10
=-1036
9-10
=840
9.设向量组α1, α2, α3线性无关,令β1=σ1-σ2, β2=2σ1+σ2+3σ3
β3=3σ1+σ2+2σ3试确定向量组β1,β2,β3的线性相关性.
解:x 1β1+x 2β2+x 3β3=0⇒x 1(σ1-σ2) +x 1(2σ1+σ2+3σ3) +x 3(3σ1+σ2+2σ3) =0⎧x 1+ (x 1+2x 2+3x 3σ) 1+(-x 1+x 2+)x σ3(2+3x 2+2)x
σ3 ⎪2x 2+3x 3=0
3=⇒0⎨-x 1+x 2+x 3=0 ⎪⎩
3x 2+2x 3=0
7
1
2 -1
1=-6≠0⇒x 1x =2
x =3
=0 ∴β1,β2,β3线性无关
3
1x 3
10. 已知3阶行列式a ij =x
2
0中元素a 12的代数余子式A 12=8,求元素a 21的代数余子式A 21的值.
5-14
解:A 12=(-1)
1+2
x 504=8⇒x =-2 A 2+1-2
321=(-1)-14
=5 ⎛-11⎫⎛-11⎫11. 已知矩阵A = ⎪,B = ⎪
⎪
⎪, 矩阵X 满足AX +B =X ,求X . ⎝-10⎪⎭
⎝02⎪
⎭解:X -AX =B ⇒X (E -A )=B ⇒X ⎛ 2-1⎫
⎛-1
⎝11⎪⎭
=B
2-1⎫⎪=⎛1/3
1/⎫⎝11⎭
⎝
-1/32/ ⎪3
⎭3
X =
⎛-11⎫⎛1/31⎫/3⎛2/3⎫⎝02⎪
⎭⎝-1/32⎪⎭/=3 -⎝-1/3⎪1/
⎭
4/3
⎧x 1-x 2+ax 3=012. 设3元齐次线性方程组⎪
⎨2x 1+x 2-x 3=0,确定当a 为何值时,方程组有非零解;
⎪⎩
x 1+x 3=0
1-1
λ
解:2
1-1=0⇒a =4 1
1
0a
b c
13. 证明
-a 0
d e -b -d 00=(be -cd )2
-c -e 00
0a b c
d 0a b
证:
-a 0d e
-a 0
-b -d 00
=-c -b -d 0+e -b -d 0 -c -e
00-c -e
0-c -e 0
=-c d
-b
---c -+b -b
-c
-=-c (d b e -)c d +(b e b -)e (c =d )-2
b
e c d
T
-1
⎛10
0⎫14. 设矩阵F =A -1B
T
(CB
-1
+E )-⎡⎢⎣
(C -1)
T
A ⎤⎥⎦,其中A= 01/20⎪
⎪, ⎝001/3⎪
⎭
8
⎛120⎫⎛123B = 210⎪ ⎫⎪
⎝001⎪ C =⎪ 456⎭ ⎝789⎪,求矩阵F
⎪⎭
-1-1
解:F =A -1
B
T
(CB
-1
+E )
T
-⎡⎢⎣(C -1)T A ⎤⎥-1⎦=A ⎡⎣(CB -1+E )B ⎤T
⎦=A -1⎡⎢T -1⎣(C )⎤⎥⎦
=A -1⎡⎣(C +B ) T -A -1C T ⎤⎦
=A -1(C T +B T -C T )
=A -B 1T
⎛100⎫-1
⎛ A -1= 01/20⎪⎪= 100⎫ 020⎪⎛100⎫
⎪⇒F =A -1B T
= 420⎪⎪
⎝001/3⎪⎭ ⎝003⎪⎭ ⎝003⎪⎭
.设A 为n 阶对称矩阵,B 为n 阶可逆矩阵,且B -1
=B T ,证明B -1AB 是对称矩阵.
证: A T =A , B -1=B T ⇒(
B -1
AB
)
T
=B T (B -1A )T
=B -1A T (B -1)T
=B -1AB
⎛-113⎫
.设A = -1 1-15⎪
⎪,求(E +A )
⎝1-2-1⎪⎭⎛013⎫
⎛0-010-6⎫
解:E +A = 105⎪
⎪
01
310⎫0⎛11-05-3⎪ 1-2 10501⎪→0
⎝0⎪⎭
⎝
1-20
0⎪0 ⎪
⎭1 ⎝
1
1⎪ 2-⎪⎭⎛-106-⎫
5 (E +A )-1= -53-3⎪
⎝2-11⎪
⎪⎭
⎧x 1-x 2-x 3=1
.a , b 为何值时,方程组⎪
⎨x 1+x 2-2x 3=2有唯一解,无穷多解或无解.
⎪⎩x 1
+3x 2+ax 3=b
解:a ≠-3,有唯一解; a =-3, b =3,有无穷多解;a =-3, b ≠3无解. .设矩阵,确定λ的值,使r (A )最小.
⎛解: 124⎫ 2λ1⎪⎛⎪→ 1
24⎫ 0λ-4-7⎪⎛ 124⎫14⎪⎛124⎫⎝110⎪⎭ ⎝0-1-4⎪→⎪ 0
⎪→ 014⎪
⎪ ⎭ ⎝0λ-4-7⎪⎭ ⎝00-4λ+9⎪⎭
⇒-4λ+9=0⇒λ=
9
4
9
151631
1718