关于爱因斯坦固体热容量子理论的一点讨论

关于固体热容爱因斯坦量子理论的一点讨论

（杨宇轩 南漳县第二中学 湖北 襄阳 441100）

摘要：阐述了固体热容的经典理论所遇到的困难。对固体热容的爱因斯坦量子理论作了一些讨论；并评述了爱因斯坦对固体热容及量子理论的发展所做的重大贡献。 关键词：热容 量子理论 谐振子

引言

热容是研究固体物质性质时一个非常重要的参数；因此，热容是化学家和物理学家共同关心的问题。1819年，原是化学家的杜隆（P.L.Dulong ，1785—1838）和物理学家珀替（A.T.Petit ，1790—1820）在长期合作研究物质的物理性质与原子特性的关系之后，进行了一系列比热实验。他们选择的对象是各种固体，想通过热容研究其物理性质。在大量数据的基础上他们发现，对于许多物质原子量和比热的乘积往往是同一常数。由此总结出杜隆---珀替定律：“所有简单物体的原子都精确地具有相同的热容量。” 在固体中讨论的热容，一般指的是定容热容C V 。由经典理论，固体热容主要由两部分贡献：晶格振动的晶格热容；电子热

运动的电子热容。根据经典统计理论的能量均分定理推导出来，固体热容C V =3Nk B ；也就是说固体的热容是一个与温度和材料无关的常数，这就是杜隆

---珀替定律。在高温时，该定律与实验结果符合的很好。但是，在低温时，实验中发现固体热容不再保持常数，而是随着温度的下降而趋于零。为了解决这个矛盾，爱因斯坦在1907年发展了普朗克的量子假说，第一次提出了固体热容的量子理论。

固体比热的量子统计推导

固体中原子的热运动可以等效为个谐振子的振动。根据量子理论，谐振子的能量本征值为：

εn =(n j +) ωj （其中n j =0,1,2,3... ） （1）

将晶体看作热力学系统，在简谐近似下，每个谐振子所代表的振动是独立的，可以分辨的粒子服从波尔兹曼分布。谐振子的统计平均能量为： 12

E j =

晶格的定容热容为： ω1 ωj +β ωJ （2） 2e j -1

( ωj

C V =k B k B T ) 2e ωj B T (e ωj k B T -1) 2 （3）

由公式（3），可以看出，谐振子的能量在量子理论中与振动频率有关，而且晶格的热容确实与温度有关。

在高温极限情况，当满足：

ωj

k B T

时，公式（3）可以改写为：

1 （4）

k B T k B T C V =k B ≈k （5） ω ω[j +(j ) 2+...]2

k B T k B T

这与经典值相一致。该结果说明了，在高温时，经典理论的结果是量子理论结果的很好的近似。从量子理论，可以很容易的找到经典的杜隆---珀替定律在高温时能很好的和实验符合的原因。

对于低温极限情况，类似的，公式（3）可写为：

C v ≈k B (( ωj 2) （1+ ωj +...） ωj k B T ) 2e - ωj k B T （6）

由（6）可以看出，谐振子对热容的贡献很小。按照量子理论，在温度趋近于零时，谐振子被“冻结”在基态。在加热时，能级间隔 ωj k B T ，谐振子很难

被激发，因此对热容的贡献几乎为零。

以上对热容做了定性分析，可见固体热容在低温极限时，我们不得不考虑量子效应，而经典理论必定会遇到无法克服的困难。

固体中包含有3N 个谐振子的简谐运动，总热容为：

C v d E j (T ) =∑ （7） dT j =13N

由公式（7），理论上只要知道了各个简谐振动的频率和简谐振动的数目，就可以求得固体的热容。但是在实际固体中N 1023，这对于计算来说是相当复杂的。因此，不得不对此作出简化。

爱因斯坦的量子理论

为了简化，爱因斯坦对晶格的振动作了很简单的假设：各原子的振动看作是相互独立的并且原子的振动都具有相同的频率 ω0。由此，可以求得，固体的比

热为：

C V =3Nk B ( ω0k B T ) 2e ω0(e ω0k B T B T 2-1) （8）

选定适当的ω0使理论值与实验值尽可能符合，用公式（8）和金刚石的热容

实验的结果比较，可以发现该理论结果能够反映出C V 在低温时下降的基本趋势。

爱因斯坦理论与试验比较（圆点为金刚石的实验值，温度以θE =ω0 为单位）

从图中，可以看出，在低温范围，爱因斯坦的理论值下降的比实验值快，这与实验不符。在爱因斯坦的假设中，所有原子的振动频率都相等，使得所有原子的振动都被“冻结”在基态。实际上，原子的振动不可能都是一样的，因此，这

过于简单的假设就能解释为什么在低温范围存在与实验不符的现象了。 结论

从爱因斯坦推导固体热容的过程，可以发现经典物理对于处理涉及到需要考虑量子效应时的困难。尽管爱因斯坦在推导的过程中使用了过于简单的假设，但是理论结果却能反映出实验结果的的趋势，抓住了主要矛盾，这在理论中是一次重大的突破；为后来的固体热容研究开辟了新的道路，尤其启发了德拜模型的提出。爱因斯坦对固体热容的研究，不仅开辟了固体比热研究的新方向，更加促进了量子理论的发展。爱因斯坦的工作虽然看起来制作了简单的假设，但是却是开创性重大突破。

参考文献（Preference ）

[1] 黄昆. 固体物理学[M]. 北京：高等教育出版社, 2012 : 122 125.

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[4] 乔灵爱，魏全香. 爱因斯坦对量子理论发展的重要影响[J]. 大学物理, 2006(5) :48 52.

A Little Disscussion on Solid Specific Heat under

Eintein ’s Quantum theory

杨宇轩

Abstract : In this paper , the difficulties had been stated when dealing with solid specific heat by using classics theory. It also discussed Solid Specific Heat under Einstein’s Quantum theory, and elaborated the great contribution which laid by Einstien to solid specific heat and quantum theory.

Key words: specific heat quantum theory harmonic oscillator