利用方向导数求隐函数的极值_兰春霞
第35卷第5期Vo1.35
No.5
丽水学院学报
JOURNALOFLISHUIUNIVERSITY
2013年10月Oct.2013
利用方向导数求隐函数的极值
兰春霞,赵智媛
(丽水学院理学院,浙江丽水323000)
摘要:介绍隐函数求极值的一种新方法, 即利用方向导数求隐函数的极值, 得到一些相关的结论, 并举例应用这些结论。
关键词:隐函数;极值;方向导数doi :10.3969/j.issn.2095-3801.2013.05.018中图分类号:G642
文献标志码:A
文章编号:2095-3801(2013)05-0082-03
UsingDirectionalDerivativesforEvaluatingExtremeValuesof
ImplicitFunctions
LANChunxia,ZHAOZhiyuan
(CollegeofScience,LishuiUniversity,Lishui323000,Zhejiang)
Abstract:The article presents a new method for evaluating the extreme values of implicit functions ,that is ,using directional derivatives to find the extreme values of the functions. Some relevant conclusions are drawn and the examples of application are given.
Keywords:implicitfunction;extremevalue;directionalderivative
函数极值问题是数学分析的重要内容之一,大部分的相关文献只介绍了显函数的极值,因此如何求隐隐函数求极值的问题比较难,方法也比较少。文[1]函数的极值是一个重要的研究课题。相对显函数而言,
[1]的方法应用到求隐函数极值的问题,得到求隐研究了利用方向导数求解多元显函数的极值。本文将文函数极值的一种新方法,即利用方向导数求隐函数的极值。
命题1设函数F (x ,y ,z )在点P 0(x 0,y 0,z 0)的某个邻域内连续,且存在连续的偏导数,并且有F (x 0,y 0,z 0)=0,F x (x 0,y 0,z 0)=0,F y (x 0,y 0,z 0)=0,F (y 0,z 0)≠0,在P 0(x 0,y 0,z 0)的去心邻域内任取一点P (x ,y ,z 0),z x 0,令l =P P P l 表示点P 0(x 0,y 0,z 0)出发的并且经过P (x ,y ,z 0)的一条射线。0P ,
(1)如果在P 0(x 0,y 0,z 0)的去心邻域内
F 与F ' 是异号的,则由F (x ,y ,z )=0确定的隐函数z=f(x ,y )在y
'
'
收稿日期:2012-10-18
作者简介:兰春霞,女,浙江丽水人,副教授。
第5期
0
兰春霞,赵智媛:利用方向导数求隐函数的极值83
P 0(x 0,y 0)处取极小值(f x 0,y 0)。
(2)如果在P 0(x 0,y 0,z 0)的去心邻域内P 0(x 0,y 0)处取极大值(f x 0,y 0)。
(3)如果在P 0(x 0,y 0,z 0)的去心邻域内隐函数z=f(x ,y )在P 0(x 0,y 0)处不取极值。
证明设z=f(x ,y )为由F (x ,y ,z )=0确定的隐函数,由隐函数定理可知,f x =- 由于l=P(x-x 0,y-y 0,0),则方向余弦为cosα,cosβ,0。∴0P =
F x F z
' '
0
0
F 与F ' 是同号的,则由F (x ,y ,z )=0确定的隐函数z=f(x ,y )在y
F 与F ' 是又有同号又有异号的点,则由F (x ,y ,z )=0确定的y ,f y =-
F y F z
'
'
。
F =F ' cosα+F ' cosβ,
x y
l
F 与F ' 异号时,则y f >0,f =f cosα+f cosβ=-F ' cosα+F' cosβ)=-F ,则由文献[1]可知,当x y x y F F
z
z
则由F (x ,y ,z )=0确定的隐函数z=f(x ,y )在P 0(x 0,y 0)处取极小值(f x 0,y 0)。
同理也可以得到,如果在P 0(x 0,y 0,z 0)的去心邻域内
0
0
F 与F ' 是同号的,则由F (x ,y ,z )=0确定的隐y
F 与F ' 是又有同号
y
函数z=f(x ,y )在P 0(x 0,y 0)处取极大值(f x 0,y 0);如果在P 0(x 0,y 0,z 0)的去心邻域内(x ,y ,z )=0确定的隐函数z=f(x ,y )在P 0(x 0,y 0)处不取极值。又有异号的点,则由F
例1求由隐函数F (x ,y ,z )=-姨x +y -z 所确定的函数z=f(x ,y )的极值。解的。
F =-x
0
姨x +y
F =-y
姨x +y
F =-1,可知它在(0,0,0)处偏导数
F F 是不存在 P =x ·在(0,0,0)的去心邻域内任取一点P (x ,y ,0),令l=Oi+y·j+0·k ,则cosα=y
,cosγ=0,于是有=-1<0。
F =
l
F cosα+x
F cosβ+y
F cosγ=-z
x
x
x
姨x +y
,cosβ=y
姨x +y
y
姨x +y
姨x +y
-
姨x +y
姨x +y
而
F =-1<0,则它们是同号的,可知由隐函数F (x ,y ,z )=-姨x +y -z =0所确定的隐函数z=f(x ,y )在z
O (0,0)处取得极大值(f 0,0)=0。
命题2设函数F (x 1,x 2,…,x n ,y )在P (x 1,x 2,…,x n ,y )的邻域U (P 0)内连续,且存在连续的偏导数,并满足F (x 1,x 2,…,x n ,y )=0,F x (x 1,x 2,…,x n ,y )=0(i =1,2,…,n ),F y (x 1,x 2,…,x n ,y )≠0。在P 0(x 1,x 2,
j
0000
0000' 0000' 000000
000…,x n ,y )的去心邻域内任取一点P (x 1,x 2,…,x n ,y ),令l = P 0 P ,l 表示点P 0出发的并且经过P 的一条射
84线。
丽水学院学报
2013年
(1)如果在P 0(x 1,x 2,…,x n ,y )的去心邻域内
0
0
0
0
0000
F 与F ' 是异号的,则由F (x 1,x 2,…,x n ,y )=0确定的隐y
l
0
0
0
函数z=f(x 1,x 2,…,x n )在P 0(x 1,x 2,…,x n )处取极小值(f x 1,x 2,…,x n )。
(2)如果在P 0(x 1,x 2,…,x n ,y )
的去心邻域内
0
0
0
0
0
0
0
0
F 与F ' 是同号的,则由F (x 1
,
x 2,…,x n ,y )=0确定的隐y
0
0
0
(x 1,x 2,…,x n )在P 0(x 1,x 2,…,x n )处取极大值(f x 1,x 2,…,x n )。函数z=f
(3)如果在P 0(x 1,x 2,…,x n ,y )的去心邻域内
0
0
0
0
0
0
0
F 与F ' 是又有同号又有异号的点,则由F (x 1,x 2,…,y
0
x n ,y )=0确定的隐函数z=f(x 1,x 2,…,x n )在P 0(x 1,x 2,…,x n )处不取极值。
证明方法与命题1类似,此处省略。
例2由F (x 1,x 2,x 3,y )=x 1x 2x 3-y =0所确定的函数y=f(x 1,x 2,x 3)的极值。
F' x =x 2x 3=0,
12
F x =x 1x 3=0,
解由解得驻点A (0,0,a ,0),B (0,b ,0,0),C (c ,0,0,0),其中a ,b ,c ∈R 。
F x =x 1x 2=0,
3
F y =-1,
∈∈P =x 1·在点A (0,0,a ,0)的去心邻域内任取点P (x 1,x 2,x 3,0),l=Ai 1+x 2·i 2+x 3·i 3+0·i 4,则有cosα1=∴
x 1
(x -a )姨x +x+
1
2
3
2
3
,cosα2=
x 2
(x -a )姨x +x+
1
2
3
,cosα3=
x 3-a (x -a )姨x +x+
1
2
3
,cosα4=0,
F =F cosα+F cosα+F cosα+F cosα=
x x x x 1234
1
4
x 2x 3x 1
(x -a )姨x +x+
1
2
3
+x 1x 3x 2
(x -a )姨x +x+
1
2
3
+x 1x 2x 3-a
1
2
3
(x -a )姨x +x+(x -a )姨x +x+
1
2
3
=
x 1x 2(3x 3-a )
。
又F y =-1<0,而
0
是可正可负的,由隐函数F (x 1,x 2,x 3,y )=x 1x 2x 3-y =0所确定的隐函数y=f(x 1,x 2,x 3)在
l
A (0,0,a )没有极值。
同理可知,由隐函数F (x 1,x 2,x 3,y )=x 1x 2x 3-y =0所确定的函数y=f(x 1,x 2,x 3)在B (0,0,a ),C (0,0,a )也是没有极值的,所以该隐函数是没有极值的。参考文献:
[1]陈朝晖.利用方向导数探讨多元函数的单调性与极值[J].宜宾学院学报,2010,10(6):23-25.[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].3版.北京:高等教育出版社,2011.[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].2版.北京:高等教育出版社,2006.
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