线性空间和度量空间

线性空间和度量空间

摘要：线性空间和度量空间是很重要的内容，本文对空间的线性结构和度量结构做了简单总结，体现了空间的度量结构和线性结构之间具有某种协调性，特别重要和有用的一类度量空间是赋范线性空间. 而向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的内积来表示. 关键词：空间；线性；度量

线性空间是线性代数最基本的概念之一. 在解析几何中，讨论过三维空间中的向量. 向量的基本属性是可以按平行四边形规律来描述的.

P 是一个数域. 在集合X 的元素之间定义了一种代定义1 设X 是一个集合，

数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于X 中任意两个元素α与β，在X 中都有唯一的一个元素γ与它们对应，称为α与β的和，记为γ=α+β. 在数域P 与集合X 的元素之间还定义了一运算，叫做数量乘法；这就是说，对于

数域P 中任一数k 与X 中任一元素α，在X 中都有唯一的一个元素δ与它们对应，称为k 与α的数量乘积，记为δ=k α. 如果加法与数量乘法满足下述规则，那么X 称为数域P 上的线性空间.

加法满足下面四条规则：

1）α+β=β+α；

2）(α+β) +γ=α+(β+γ) ；

3）在X 中有一个元素0，对于X 中任一元素α都有

0+α=α； 4）对于X 中每一个元素α，都有X 中的元素β，使得

α+β=0.

数量乘法满足下面两条规则： 5）1α=α； 6）k (l α) =(kl ) α.

数量乘法与加法满足下面两条规则： 7）(k +l ) α=k α+l α； 8）k (α+β) =k α+k β.

在以上规则中，k ，l 等表示数域P 中任意数；α，β，γ等表示集合X 中任意元素.

由定义，几何空间中全部向量组成的集合是一个实数域上的线性空间. 分量属于数域P 的全体n 元数组构成数域P 上的一个线性空间，这个线性空间我们用

P n 来表示.

下面我们直接从定义来证明线性空间的一些简单性质. 1. 零元素是唯一的.

假设01，02是线性空间V 中的两个零元素. 我们来证01=02. 考虑和

01+02.

由于01是零元素，所以01+02=02. 又由于02也是零元素，所以 01+02=02+01=01. 于是

01=01+02=02

这就证明了零元素的唯一性.

2. 负元素是唯一的.

这就是说，适合条件α+β=0的元素β是被元素α唯一确定的. 假设α有两个负元素β与γ，

α+β=0，α+γ=0.

那么

β=β+0=β+(α+γ) =(β+α) +γ=0+γ=γ. 向量α的负元素记为-α.

利用负元素，我们可以定义减法如下：

α-β=α+(-β) .

3. o α=0; k 0=0; (-1) α=-α. 我们先来证o α=0. 因为

α+o α=1α+o α=(1+o ) α=1α=α.

两边加上-α即得

o α=0.

再证第三个等式. 我们有

α+(-1) α=1α+(-1) α=(1-1) α=o α=0

两边加上-α即得

(-1) α=-α

易证

k 0=k (0-0) =k 0-k 0=0

4. 如果k α=0，那么k =o 或者α=0 . 假设k ≠o ，于是一方面

k -1(k α) =k -10=0 .

而另一方面

k -1(k α) =(k -1k ) α=1α=αk -1(k α) =k -10=0.

由此即得α=0

对于线性变换，定义加法与数量乘法，线性空间X 上全体线性变换对于加法与数量乘法，也构成数域P 上一个线性空间.

定义2 设V 是数域P 上的一个线性空间，f 是V 到P 的一个映射，如果f 满足

1）f (α+β) =f (α) +f (β) ； 2）f (k α) =kf (α) ，

式中α，β是V 中任意元素，k 是P 中任意数，则称f 为V 上的一个线性函数.

设V 是数域P 上一个n 维线性空间. V 上全体线性函数组成的集合记作

L (V , P ) . 可以用自然的方法在L (V , P ) 上定义加法和数量乘法.

设f ，g 是V 的两个线性函数. 定义函数f +g 如下：

(f +g )(α) =f (α) +g (α), α∈V .

f +g 也是线性函数：

(f +g )(α+β) =f (α+β) +g (α+β) =f (α) +f (β) +g (α) +g (β) =(f +g )(α) +(f +g )(β) ，

(f +g )(k α) =f (k α) +g (k α)

=kf (α) +kg (α) =k (f +g )(α) ，

f +g 称为f 与g 的和.

还可以定义数量乘法. 设f 是V 上线性函数，对P 中任意数k ，定义函数kf 如下：

(kf )(α) =k (f (α)), α∈V ，

kf 称为k 与f 的数量乘积，易证kf 也是线性函数.

容易检验在这样定义的加法和数量乘法下，L (V , P ) 称为数域P 上的线性空间.

取定V 的一组基ε1, ε2,..., εn ，作V 上n 个线性函数f 1, f 2,..., f n , 使得

⎧1, j =i ; f i (εj )=⎨ (1)

0, j ≠i , ⎩

i , j =1,2,..., n .

因为f i 在基ε1, ε2,..., εn , 上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.

对V 中向量

α=∑x i εi , 有f i (α)=x i ， (2)

i =1

n

即f i (α)是α的第i 个坐标的值.

引理 对V 中任意向量α，有

α=∑f i (α)εi , (3)

i =1

n

而对L (V , P ) 中任意向量f ，有

f =∑f (εi )f i . (4)

i =1n

证明: (3)是(2)的直接结论，而由(1)及(3)就得出(4).

定理1 L (V , P ) 的维数等于V 的维数，而且f 1, f 2,..., f n 是L (V , P ) 的一组基. 证明 首先证明f 1, f 2,..., f n 是线性无关的，设 c 1f 1+c 2f 2+... +c n f n =0 (c 1, c 2,..., c n ∈P ).

依次用ε1, ε2,..., εn 代入，即得c 1=c 2=... =c n =0. 因此f 1, f 2,..., f n 是线性无关的. 又由(4)知L (V , P ) 中任一向量都可以由f 1, f 2,..., f n 线性表出，所以f 1, f 2,..., f n 是

L (V , P ) 的一组基，dim L (V , P )=n =dim V .

定义3 L (V , P ) 称为V 的对偶空间. 由(1)决定的L (V , P ) 的基，称为

ε1, ε2,..., εn 的对偶基.

以后我们简单地把V 的对偶空间记作V *.

例1 考虑实数域R 上的n 维线性空间V =P [x ]n ，对任意取定的n 个不同实数a 1, a 2,..., a n , 根据拉格朗日插值公式，得到n 个多项式 p i (x )=

(x -a 1)... (x -a i -1)(x -a i +1)... (x -a n ), a i -a 1... a i -a i -1a i -a i +1... a i -a n i =1,2,..., n . 它们满足

⎧1, j =i ;

p i (a j )=⎨

⎩0, j ≠i , i , j =1,2,..., n .

p 1(x ), p 2(x ),..., p n (x )是线性无关的，因为由 c 1p 1(x )+c 2p 2(x )+... +c n p n (x )=0, 用a i 代入，即得

∑c k p k (a i )=c i p i (a i )=c i =0,

k =1n

i =1,2,..., n .

又因V 是n 维的，所以p 1(x ), p 2(x ),..., p n (x )是V 的一组基. 设L i ∈V *(i =1,2,..., n )是在a i 点的取值函数： L i (p (x ))=p (a i ), p (x )∈V , i =1,2,..., n .

则线性函数L i 满足

⎧1, j =i ;

L i (p j (x ))=p j (a i )=⎨

⎩0, j ≠i , i , j =1,2,..., n .

因此，L 1, L 2,..., L n 是p 1(x ), p 2(x ),..., p n (x )的对偶基.

在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法与数量乘法，统称为线性运算. 如果以几何空间中的向量作为线性空间理论的具体模型，那么就会发现向量的度量性质，如长度，夹角等，在线性空间的理论中没有得到反映. 但是向量的度量性质在许多问题中有着特殊的地位.

定义4 设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y 都有唯一确定的实数d (x , y ) 与之对应而且这一对应关系满足下列条件：

1）d (x , y ) ≥0, d (x , y ) =0的充要条件为x =y ；

2）d (x , y ) ≤d (x , z ) +d (y , z ) ，对任意z 都成立，则称d (x , y ) 是x ，y 之间的距离，称(X , d ) 为度量空间.

例2 可测函数空间M (X ) .

设M (X ) 为X 上实值（或复值）的Lebesgue 可测函数全体，m 为Lebesgue 测度，若m (X )

f (t ) -g (t ) 1+f (t ) -g (t )

所以这是X 上可积函数，令

d (f , g ) =⎰

f (t ) -g (t ) 1+f (t ) -g (t )

X

dt .

如果把M (X ) 中两个几乎处处相等的函数视为M (X ) 中同一个元，那么利用不等式

a +b 1+a +b

≤

a 1+a

+

b 1+b

及积分性质容易验证d (f , g ) 是距离. 因此M (X ) 按上述距离d (f , g ) 称为度量空间.

例3 l 2.

∞

⎧⎫2

记l =⎨x ={x k }:∑x k

k =1⎩⎭2

定义

⎡2⎤

d (x , y )=⎢∑(y k -x k )⎥,

⎣k =1⎦

. 距离条件的1 是容易得出的. 现检验条件2. 则d 是l 2上的距离（可以证明d

∞

1

2

对任意正整数n ，x (n )=(x 1, x 2,..., x n )和y (n )=(y 1, y 2,..., y n )都是R n 中元素，由

Cauchy 不等式

n n

⎛n ⎫2

∑x k y k ⎪≤∑x k ⋅∑y k 2,

k =1k =1⎝k =1⎭

2

不等式右端令n →∞，得

∞∞

⎛n ⎫22

∑x k y k ⎪≤∑x k ⋅∑y k .

k =1⎝k =1⎭k =1

2

再令左端的n 趋于∞，即得

∞∞

⎛∞⎫22

∑x k y k ⎪≤∑x k ⋅∑y k

k =1⎝k =1⎭k =1

2

由此可得

2

∑(x k +y k )=∑x +2∑x k ⋅y k +∑y k

2

k

k =1

k =1

k =1

k =1

∞

2

∞

∞

∞

∞

⎛22⎫2

≤∑x +2 ∑x k ⋅∑y k ⎪+∑y k

k =1k =1⎝k =1⎭k =1

2

k

∞∞∞

12

11

⎡∞⎤∞22⎛⎫⎛⎫22⎥. =⎢ ∑x k + ∑y k

⎪⎪⎢⎝k =1⎭⎝k =1⎭⎥

⎣⎦

2

今取ξ={ξk }, η={η{ζ}. 以x k =ζk -ξk , y k =ηk -ζk 代入上式，即可得k }, ζ=k

ξ, η, ζ的三点不等式

d (ξ, η)≤d (ξ, ζ)+d (ζ, η).

由上述例子可见，度量空间除了有限维的欧几里得空间R n 之外，还包括其

他的空间.

定义5 设X =(X , d ) 是度量空间，{x n }是X 中点列，如果对任何事先给定的正数ε>0，存在正整数N =N (ε) ，使当n , m >N 时必有

d (x n , x m )

则称{x n }是X 中的柯西点列. 如果度量空间(X , d ) 中每个柯西点列都在(X , d ) 中收敛，那么称(X , d ) 是完备的度量空间.

例4 l ∞是完备度量空间.

m m

证明 设{x m }是l ∞中的柯西点列，其中x m =ξ1(), ξ2(),... ，对于任意ε>0，

()

存在正整数N ，当时n , m >N 时，

d (x m , x n )=sup ξ(j m )-ξ(j n )

j

因此，对每一个固定的j ，当n , m >N 时，成立

m n

ξ(j )-ξ(j )

.. 柯西数列，因此，存在数ξj ，使得这就是说，数列ξ(j k ), k =1, 2, 是

ξ(j k )→ξj (n →∞)，令x =(ξ1, ξ2,... ). 下面证明x ∈l ∞，且x m →x (m →∞). 在

式中，令n →∞，我们得到，对一切m >N ，成立

m

ξ(j )-ξj ≤ε, (7) m m m

又因x m =ξ1(), ξ2(),..., ξ(j ),... ∈l ∞，因此存在实数K m ，使得对所有j ，成立

()

ξ(j m )≤K m . 因此，

m m

ξj ≤ξj -ξ(j )+ξ(j )≤ε+K m .

这就证明了x ∈l ∞. 由(7)式，可知对一切m >N ，成立

d (x m , x )=sup ξ(j )-ξj ≤ε.

m

j

所以x m →x (m →∞). 因此l ∞是完备度量空间. 证毕.

令C 表示所有收敛的实（或复）数列全体，对C 中任意两点

x =(ξ1, ξ2,... ), y =(η1, η2,... )，令

d (x , y )=sup ξj -ηj .

j

易证C 是一度量空间，实际上它是l ∞的一个子空间.

特别重要和有用的一类度量空间是赋范线性空间. 在赋范线性空间中的元素可以相加或者数乘，元素之间不仅有距离，而且每个元素有类似于普通向量长度的叫做范数的量.

定义6 设X 实（或复）的线性空间，如果对每个向量x ∈X ，有一个确定的实数，记为x 与之对应，并且满足：

1) x ≥0, 且x =0等价于x =0； 2) x =x 其中α为任意实（复）数； 3）x +y ≤x +y ，，y ∈X ，

则称x 为向量x 的范数，称X 按范数x 称为赋范线性空间.

设{x n }是X 中点列，如果存在x ∈X ，使x n -x →0(n →∞) ，则称{x n }依范数收敛于x . 记为x n →x (n →∞) ，或lim x n =x .

x →∞

如果令

d (x , y ) =x -y (x , y ) ∈X ，

容易验证d (x , y ) 是X 上的距离，且{x n }依范数收敛于x 等价于{x n }按距离d (x , y ) 收敛于x . 称d (x , y ) 为由范数x 导出的距离. 所以赋范线性空间实际上是一种特殊的度量空间. 如果d (x , y ) 是由x 导出的距离，x 那么这种距离和线性运算之间有某种关系，即对任何数α和向量x , y ∈X ，有

（a ）d (x -y , 0) =d (x , y ) ， （b ）d (αx , 0) =d (x , 0) .

反之，如果X 是线性空间，d 是X 上的距离，并且满足条件（a ）和（b ），那么一定可以在X 上定义范数x ，使d 是由x 所导出的距离. 事实上，令x =d (x , 0) ，由条件（a ），（b ），不难证明这样定义的x 是范数，且d (x , y ) =x -y . 条件（a ），

（b ）反映了空间的度量结构和线性结构之间具有某种协调性.

完备的赋范线性空间称为Banach 空间

例5 空间l ∞，对每个x =(ξ1, ξ2, ) ∈l ∞，定义

x =sup ξj . (8)

j

不难验证l ∞按(8)中范数成为Banach 空间.

在解析几何中看到，向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的内积来表示，而且向量的内积有明显的代数性质. 所以在抽象的讨论中，取内积作为基本的概念.

定义7 设X 是实数域R 上一线性空间，在X 上定义了一个二元函数，称为内积，记作〈α, β〉，它具有以下性质：

1）〈α, β〉=〈β, α〉； 2）〈k α, β〉=k 〈α, β〉； 3）〈α+β, γ〉=〈α, γ〉+〈β, γ〉；

4）〈α, α〉≥0，当且仅当α=0时〈α, α〉=0；

这里α，β，γ是X 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间X 称为欧几里得空间.

例6 在闭区间[a , b ]上的所有连续函数所成的空间C [a , b ]中，对于函数f (x ) ，

g (x ) 定义内积

〈f , g 〉=⎰f (x ) g (x ) dx . （9）

a

b

由定积分的性质不难证明，对于内积(9)构成一欧几里得空间.

欧式空间是专对实数域上的线性空间而讨论的. 酉空间实际就是复数域上的欧式空间.

定义8 设X 是复数域上的线性空间，在X 上定义了一个二元函数，称为内积，记作〈α, β〉，它具有以下性质：

1）〈α, β〉=〈, 〉，这里〈, 〉是〈β, α〉的共轭复数； 2）〈k α, β〉=k 〈α, β〉； 3）〈α+β, γ〉=〈α, γ〉+〈β, γ〉；

4) 〈α, α〉是非负实数，且〈α, α〉=0当且仅当〈α, α〉=0.

这里α，β，γ是X 中任意向量，k 为任意复数，这样的线性空间称为酉空间. 如果照搬欧氏空间内的〈α, β〉=〈β, α〉，对于α≠0，有

〈i α, i α〉=i 2〈α, α〉=〈α, α〉

与〈i α, i α〉>0是矛盾的. 所以将对称性修改成〈α, β〉=〈, 〉这一性质称为埃而米特性. 所以

〈i α, i α〉=i 〈α, i α〉=i 〈i , 〉=i i 〈α, α〉=〈α, α〉>0.

这样就不矛盾了.

来看一个例子：在复数域C 上的n 维线性空间C n 中，对向量α=(a 1, a 2, , a n ) ，β=(b 1, b 2, , b n ) 定义二元复函数 〈α, β〉=a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n .

根据酉空间的4个条件可以判断C n 构成一个酉空间.

由内积的定义可知：

1 若〈α, k β〉=〈k , 〉=k 〈, 〉=k 〈α, β〉，

特别

〈α, 0〉=0. 2 〈α, β+γ〉=〈+, 〉=〈, 〉+〈, 〉=〈α, β〉+〈α, γ〉，

由1，2可知，酉空间的内积对第二个变量是半线性的. 换句话说就是：〈α, k 1β1+k 2β2〉=k 1〈α, β1〉+k 2〈α, β2〉.

3 因为〈α, α〉≥0，由此我们同样可以定义向量α的长度，=α, α〉. 特别的，若=1，称α为单位向量.

由向量α的长度可以得到以下一些性质：

（1）k α=k

(k α, k α) =k k (α, α) 也就是说k α2=k 2 2

∴k α=k

（2）若α≠0，则1

α为单位向量.

（3）柯西—布涅柯夫斯基不等式仍然成立，也就是：∀α, β∈X 有(α, β) ≤β，其中(α, β) 表示复数（α, β）的模，当且仅当α, β线性相关时，等号成立.

对于以上的不等式，对于非零向量α, β可以定义它们的夹角

〈α, β〉=其中0≤〈α, β〉≤π

若〈α, β〉=0

参考文献： (α, β) β， ，那么=π2，这时称α, β是正交的，记作α⊥β.

[1] 邱森编. 高等代数. 武汉：武汉大学出版社.

[2] 丘维声. 高等代数. 北京：高等教育出版社，2003. 8.

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Linear spaces and metric spaces

Wang Weidong (200611009)

Institute of Mathematical Sciences, Mathematics and Applied Mathematics 06 (1) Class

Instructor Su Yala Tu

Abstract: The linear space and metric space is a very important part of this paper the linear structure of space and structure to do a simple summary measure reflects the metric structure of space and linear structure of a coordination between, the vector Measure the length and nature of the angle between the vector can be adopted

to represent the inner product. Key words: space; linear; measure