函数求定义域方法总结和配套习题
函数定义域求法的总结和配套习题
(1)分式中的分母不为零;
(2)偶次方根下的数(或式)大于或等于零; (3)指数式的底数大于零且不等于一;
(4)对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零; (5)正切函数y =tan x x ∈R , 且x ≠k π+
⎛⎝
π
⎫, k ∈Z⎪; 2⎭
(6)余切函数y =cot x (x ∈R , 且x ≠k π, k ∈Z); (7)反三角函数的定义域
函数y =arcsinx 的定义域是[-1,1],值域是;
函数y =arccosx 的定义域是[-1,1],值域是[0,π] ;
函数y =arctgx 的定义域是R ,值域是;
函数y =arcctgx 的定义域是R ,值域是(0,π)。
1、 抽象的
一、已知f (x ) 的定义域,求f [g (x ) ]的定义域
例1
已知函数f (x ) 的定义域为[-15,],求f (3x -5) 的定义域.
分析:该函数是由u =3x -5和f (u ) 构成的复合函数,其中x 是自变量,u 是中间变量,由于f (x ) 与f (u ) 是同一个函数,因此这里是已知-1≤u ≤5,即
-1≤3x -5≤5,求x 的取值范围.
410
解: f (x ) 的定义域为[-15,],∴-1≤3x -5≤5,∴3≤x ≤3.
⎡410⎤
故函数f (3x -5) 的定义域为⎢⎥.
⎣33⎦
二、已知f [g (x ) ]的定义域,求f (x ) 的定义域
例2 已知函数f (x 2-2x +2) 的定义域为[0,3],求函数f (x ) 的定义域.
分析:令u =x 2-2x +2,则f (x 2-2x +2) =f (u ) ,
由于f (u ) 与f (x ) 是同一函数,因此u 的取值范围即为f (x ) 的定义域. 解:由0≤x ≤3,得1≤x 2-2x +2≤5.
令u =x 2-2x +2,则f (x 2-2x +2) =f (u ) ,1≤u ≤5. 故f (x ) 的定义域为[15,].
三、运算型的抽象函数
例3 若f (x ) 的定义域为[-3,5],求ϕ(x ) =f (-x ) +f (2x +5) 的定义域.
⎧-3≤-x ≤5, 解:由f (x ) 的定义域为[-3解得,5],则ϕ(x ) 必有⎨
⎩-3≤2x +5≤5,
-4≤x ≤0.
所以函数ϕ(x ) 的定义域为[-4,0].
3、逆向型 例5已知函数y =
mx 2-6mx +m +8的定义域为R 求实数m 的取值范围。
分析:函数的定义域为R ,表明mx 2-6mx +m +8≥0,使一切x ∈R 都成立,由x 2项的系数是m ,所以应分m =0或m ≠0进行讨论。
解:当m =0时,函数的定义域为R ;
当m ≠0时,mx 2-6mx +m +8≥0是二次不等式,其对一切实数x 都成立的充要条件是
⎧m >0
⇒0
⎩∆=(-6m ) -4m (m +8) ≤0
综上可知0≤m ≤1。
评注:不少学生容易忽略m =0的情况,希望通过此例解决问题。 例6已知函数f (x ) =
kx +7
的定义域是R ,求实数k 的取值范围。 2
kx +4kx +3
解:要使函数有意义,则必须kx 2+4kx +3≠0恒成立, 因为f (x ) 的定义域为R ,即kx 2+4kx +3=0无实数解
①当k ≠0时,∆=16k 2-4⨯3k
3; 4
3。 4
抽象函数的定义域
总结解题模板
1. 已知f (x ) 的定义域,求复合函数f [g (x )]的定义域
由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可得其方法为:若f (x ) 的定义域为x ∈(a , b ),求出
f [g (x )]中a
2. 已知复合函数f [g (x )]的定义域,求f (x ) 的定义域
方法是:若f [g (x )]的定义域为x ∈(a , b ),则由a
f (x ) 的定义域。
3. 已知复合函数f [g (x )]的定义域,求f [h (x )]的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为:可先由f [g (x )]定义域求得f (x )的定义域,再由f (x )的定义域求得f [h (x )]的定义域。 4. 已知f (x ) 的定义域,求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,其定义域为各基本函数定义域的交集,即先求出各个函数的定义域,再求交集。
例1已知函数f (x ) 的定义域为[-15,],求f (3x -5) 的定义域.
得x 的取值范围即为f [g (x ) ]的定义域.本题该函数是由u =3x -5和f (u ) 构成的复合函数,其中x 是自变量,u 是中间变量,由于f (x ) 与f (u ) 是同一个函数,因此这里是已知-1≤u ≤5,即-1≤3x -5≤5,求x 的取值范围.
解: f (x ) 的定义域为[-15,],∴-1≤3x -5≤5,∴≤x ≤
故函数f (3x -5) 的定义域为⎢⎥.
33变式训练:
若函数y =f (x ) 的定义域为⎢, 2⎥,则f (log2x ) 的定义域为。
2分析:由函数y =f (x ) 的定义域为⎢, 2⎥可知:≤x ≤2;所以y =f (log2x )
22中有
分析:若f (x ) 的定义域为a ≤x ≤b ,则在f [g (x ) ]中,a ≤g (x ) ≤b ,从中解
4
310. 3
⎡410⎤⎣⎦
⎡1⎤⎣⎦
⎡1⎤
⎣⎦
1
1
≤log 2x ≤2。 2
解:依题意知: ∴
1
≤log 2x ≤2 解之,得:2≤x ≤4 2
f (log2x ) 的定义域为x |2≤x ≤4
{}
例2已知函数f (x 2-2x +2) 的定义域为[0,3],求函数f (x ) 的定义域.
分析:若f [g (x ) ]的定义域为m ≤x ≤n ,则由m ≤x ≤n 确定的g (x ) 的范围
即为f (x ) 的定义域.这种情况下,f (x ) 的定义域即为复合函数f [g (x ) ]的内函数的值域。本题中令u =x 2-2x +2,则f (x 2-2x +2) =f (u ) ,
由于f (u ) 与f (x ) 是同一函数,因此u 的取值范围即为f (x ) 的定义域. 解:由0≤x ≤3,得1≤x 2-2x +2≤5.
令u =x 2-2x +2,则f (x 2-2x +2) =f (u ) ,1≤u ≤5. 故f (x ) 的定义域为[15,]. 变式训练:
已知函数的定义域为,则的定义域为
________。 解:由所以例3. 函数
,得
,故填定义域是
,则
的定义域是( )
A. B. C. 的定义域,求
D.
定义域求
分析:已知得
的定义域,可先由
的定义域
的定义域,再由
的定义域 的定义域是
的定义域求得
解:先求
,
,再求
的定义域
即的定义域是
变式训练:
的定义域是,故应选A
已知函数f(2)的定义域是[-1,1],求f(log2x) 的定义域.
x
分析:先求2的值域为M 则log 2x 的值域也是M ,再根据log 2x 的值域求定义域。
x
1
x x
解 ∵y=f(2) 的定义域是[-1,1],即-1≤x ≤1, ∴2≤2≤2.
1
∴函数y=f(log2x) 中2≤log 2x ≤2. 即log 22≤log 2x ≤log 24, ∴2≤x ≤4.
故函数f(log2x) 的定义域为[2,4]
例4 若f (x ) 的定义域为[-3,5],求ϕ(x ) =f (-x ) +f (2x +5) 的定义域.
分析:求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域,其解法是:先求出各个函数的定义域,然后再求交集.
解:由f (x ) 的定义域为[-3,5],则ϕ(x ) 必有⎨
所以函数ϕ(x ) 的定义域为[-4,0]. 变式训练:已知函数
的定义域是
⎧-3≤-x ≤5,
解得-4≤x ≤0.
⎩-3≤2x +5≤5,
,求
的定义域。
分析:分别求f(x+a)与f(x-a)的定义域,再取交集。
解:由已知,有函数的定义域由
,即
确定
函数
的定义域是
12
,2],求f (x ) 的定义域. 2
111
,2],x 满足-≤x ≤2,于是<x +1<3,222
例5 若函数f (x +1)的定义域为[-
分析:已知f (x +1)的定义域为[-
2
得到f (x ) 的定义域,然后f (x ) 的定义域由f (x ) 的定义域可得.
解:先求f (x ) 的定义域:
由题意知-
111
≤x ≤2,则<x +1<3,即f (x ) 的定义域为[,3], 222
再求f [h (x )] 的定义域:
∴
12
<x <3,解得-<x
<-或<x <. 22
2
2
∴f (x ) 的定义域是{x |-<x
<-
或<x <}.
2
2
例6、 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x 、y(单位:m) 的矩形. 上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm 2. 问x 、y 分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?
分析:应用题中的定义域除了要使解析式有意义外,还需考虑实际上的有效范围。实际上的有效范围,即实际问题要有意义,一般来说有以下几中常见情况:
(1)面积问题中,要考虑部分的面积小于整体的面积;
(2)销售问题中,要考虑日期只能是自然数,价格不能小于0也不能大于题设中规定的值(有的题没有规定);
(3)生产问题中,要考虑日期、月份、年份等只能是自然数,增长率要满足题设;(4)路程问题中,要考虑路程的范围。本题中总面积为S 三角形+S 矩形=xy +由于xy >0,于是
12
x =8,4
12
x 0,∴x 的取值范围是0
解:由题意得
x 28-
12=8-x (0
x 4x 4
于是, 框架用料长度为 l=2x+2y+2(
3162
x )=(+2)x+≥46+42.
2x 2
当(
316
+2)x=, 即x=8-42时等号成立. 2x
此时, x≈2.343,y=22≈2.828.
故当x 为2.343m,y 为2.828m 时, 用料最省. 变式训练:
13. (2007·北京理,19)如图,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为2r ,短半轴长为r. 计划将此钢板切割成等腰梯形的形状, 下底AB 是半椭圆的短轴,上底CD 的端点在椭圆上. 记CD=2x,梯形面积为S.
(1)求面积S 以x 为自变量的函数式,并写出其定义域; (2)求面积S 的最大值.
解(1)依题意,以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O-xy (如图), 则点C 的横坐标为x, 点C 的纵坐标y 满足方程
x 2r 2+y 2
4r 2
=1(y≥0), 解得y=2r 2-x 2 (0
1
2
(2x+2r)·2r 2-x 2 =2(x+r)·r 2-x 2, 其定义域为{x|0
2)记f(x)=4(x+r)2
(r2
-x 2
),0
(r-2x).
令f ′(x)=0,得x=12r. 因为当0
2
时,f ′(x)>0; 当
r 2
2
r )是f(x)的最大值. 因此,当x=
1
2
r 时,S 也取得最大值,最大值为f (1322r ) =2
r . 即梯形面积S 的最大值为332
r 2
. 巩固训练
1. 设函数的定义域为,则
(1)函数的定义域为________。
(2)函数
的定义域为__________。
分析:做法与例题1相同。 解:(1)由已知有,解得
故
的定义域为
(2)由已知,得
,解得
(
故的定义域为
2、已知函数________。
的定义域为,则的定义域为
分析:做法与例题2相同。 解:由
所以
,得
,故填
3、已知函数________。
的定义域为,则y=f(3x-5)的定义域为
分析:做法与例题3相同。 解:由
所以
,得
,所以0≤3x-5≤1, 所以5/3≤x ≤2.