半导体物理学第三章习题和答案
第三章习题和答案
100π 2
1. 计算能量在E=Ec 到E =E C + 之间单位体积中的量子态数。 *2
2m n L 解:
1
V (2m g (E ) =(E -E C ) 2
232π
d Z =g (E ) dE
d Z
单位体积内的量子态数Z 0=
V
*n
E c +
100π 2
2m n l
3
2
E c +
100h 2
8m n l
1
Z 0=
V
E C
⎰g (E ) dE =⎰
32
E C
1
V (2m (E -E C ) 2dE 23
2π
*
n
32
*32V (2m n =(E -E ) C
32π2 3
100h 2
E c +*2
8m n L E c
=
1000π
3L 3
2. 试证明实际硅、锗中导带底附近状态密度公式为式(3-6)。
2. 证明:si 、G e 半导体的E (IC )~K 关系为
22
h 2k x +k y k z 2
E (=E C +(+) C k )
2m t m l
**m a m m ' a
令k =() k x , k y =() k y , k z ' =(a ) k z
m t m t m l
'
x
h 2' 2' 2' 2
则:E c (k ) =E c +(k +k +k x y z " ) *
2m a
'
在k ' 系中, 等能面仍为球形等能面⎛m ∙m +m ' ' t l
在k 系中的态密度g (k ) = t
*3 m a ⎝
1*
k ' =2m a (E -E C )
h
⎫⎪V ⎪⎭
在E ~E +dE 空间的状态数等于k 空间所包含的
状态数。
2
即d z =g (k ' ) ∙∇Vk ' =g (k ' ) ∙4πk ' dk
⎡2(m ∙m +m ) ⎤dz ' t t l ⎢⎥∴g (E ) ==4π∙(E -E ) V c 2
dE h ⎢⎥
⎣⎦
对于si 导带底在100个方向,有六个对称的旋转椭球, 锗在(111)方向有四个, g (E ) =sg ' (E ) =4π(2m n ) (E -E ) V ∴c
h 2
*2m n =s m t m l
*
[
3. 当E-E F 为1.5k 0T ,4k 0T, 10k 0T 时,分别用费米分布函数和玻耳兹曼分布函数计算电子占据各该能级的概率。
4. 画出-78o C 、室温(27 oC )、500 oC 三个温度下的费米分布函数曲线,并进行比较。
5. 利用表3-2中的m *n ,m *p 数值,计算硅、锗、砷化镓在室温下的N C , NV 以及本征载
流子的浓度。
6. 计算硅在-78 oC ,27 oC ,300 oC 时的本征费米能级,假定它在禁带中间合理吗?
*
Si 的本征费米能级,Si :m n =1. 08m 0, m *p =0. 59m 0 *
E C -E V 3kT m p
+ln *
E F =E i =24m n 3kT 0. 59m 0当T 1=195K 时,kT 1=0. 016eV , ln =-0. 0072eV
41. 08m 0
0. 59
当T 2=300K 时,kT 2=0. 026eV , 3kT ln =-0. 012eV
41. 08
3kT 0. 59
当T 2=573K 时,kT 3=0. 0497eV , ln =-0. 022eV 41. 08
*
⎧2πkoTm n
N =2() ⎪C 2
h ⎪
⎪2πkoTm *⎪p 5⎨N v =2() 2
h ⎪
E g
⎪-⎪n i =(N c N v ) e 2koT ⎪⎩
*
⎧G e :m n =0. 56m 0; m *p =o . 37m 0; E g =0. 67ev ⎪⎪**
⎨si :m n =1. 08m 0; m p =o . 59m 0; E g =1. 12ev ⎪**G A :m =0. 068m ; m ev ⎪a s n 0p =o . 47m 0; E g =1. 428⎩
[]
所以假设本征费米能级在禁带中间合理,特别是温度不太高的情况下。 7. ①在室温下,锗的有效态密度N c =1.05⨯1019cm -3,N V =3.9⨯1018cm -3,试求锗的载流子有效质量m *n m*p 。计算77K 时的N C 和N V 。 已知300K 时,E g =0.67eV。77k 时E g =0.76eV。求这两个温度时锗的本征载流子浓度。②77K 时,锗的电子浓度为1017cm -3 ,假定受主浓度为零,而E c -E D =0.01eV,求锗中施主浓度E D 为多少?
k 0Tm n 7(. 1)根据N c =2()
2π 2
k 0Tm *p N =2() 得2 v
2π
*
*m n =
2π ⎡N c ⎤
=0. 56m 0=5. 1⨯10-31kg ⎢⎥k 0T ⎣2⎦
2
23
(2)77K 时的N C 、N V '
'
N (C 77K )T =N (300K )T C
' 773773∴N C =N C ∙)=1. 05⨯1019⨯)=1. 37⨯1018/cm 3
300300
773773'
N V =N V ∙)=3. 9⨯1018⨯)=5. 08⨯1017/cm 3
300300
(3 ) n i =(N c N v ) e
-
Eg
2koT
室温:n i =(1. 05⨯1019⨯3. 9⨯1018) e
-
0. 67
2k 0⨯300
=1. 7⨯1013/cm 3
0. 76
-2k
77K 时,n i =(1. 37⨯1018⨯5. 08⨯1017) e 0⨯77=1. 98⨯10-7/cm 3
N D N D N D +
n 0=n D ===E -E E -E +E -E F ∆E D n o
-D F -D c C ∙ -k 0T k 0T k 0T N C 1+2e 1+2exp 1+2e
∆E D n o 0. [1**********]
∴N D =n 0(1+2e ∙) =10(1+2e ∙) =1. 17⨯10/cm koT N C 0. 0671. 37⨯1018
8. 利用题 7所给的N c 和N V 数值及E g =0.67eV,求温度为300K 和500K 时,含施主浓度N D =5⨯1015cm -3,受主浓度N A =2⨯109cm -3的锗中电子及空穴浓度为多少?
E g -8. 300K 时:n i =(N c N V ) e 2k 0T =2. 0⨯1013/cm 3 e ' ' 500K 时:n i =(N C N V ) e
-
g 2k 0T '
=6. 9⨯1015/cm 3
根据电中性条件:
⎧n 0-p 0-N D +N A =02 →n 0-n 0(N D -N A ) -n i 2=0⎨2⎩n 0p 0=n i N D -N A ⎡N D -N A 22⎤∴+⎢() +n i ⎥ n 0=
22⎣⎦
N A -N D ⎡N A -N D 22⎤p =+⎢() +n i ⎥ 022⎣⎦
153
⎧⎪n 0≈5⨯10/cm
T =300K 时:⎨103
⎪⎩p 0=8⨯10/cm
153
⎧⎪n 0=9. 84⨯10/cm
t =500K 时:⎨153
⎪⎩p 0=4. 84⨯10/cm
9.计算施主杂质浓度分别为1016cm 3,,1018 cm-3,1019cm -3的硅在室温下的费米能级,并假定杂质是全部电离,再用算出的的费米能 级核对一下,上述假定是否在每一种情况下都成立。计算时,取施主能级在导带底下的面的0.05eV 。
9. 解假设杂质全部由强电离区的E F
⎧N C =2. 8⨯1019/cm 3N D ⎪ E F =E c +k 0T ln , T =300K 时, ⎨103
N C ⎪⎩n i =1. 5⨯10/cm
N
或E F =E i +k 0T ln D , N i
16 N =1016/cm 3; E =E +0. 026ln 10=E c -0. 21eV D F c 19
2. 8⨯10
1018183
N =10/cm ; E F =E c +0. 026ln =E c -0. 087eV D 2. 8⨯1019
1019
=E c -0. 0. 27eV
2. 8⨯1019
(2) E -E =0. 05eV 施主杂质全部电离标准为90%,10%占据施主C D n D 1
=是否≤10%
E -E 1F
N D 1+e D
2k 0T
+
n D 1或=≥90%
1E D -E F N D
1+e 2k 0T
n 11N D =1016:D ===0. 42%成立E D -E C +0. 210. 16
N D 11
1+e 0. 0261+e 0. 026
22
N =1019/cm 3; E =E +0. 026ln
D F c
n N D =1018:D =
N D
n
N D =1019:D = N D
11
1+e 21
0. 0370. 026
=30%不成立
11+e 2
'
(2)求出硅中施主在室温下全部电离的上限
2N ∆E D
D -=(D ) e (未电离施主占总电离杂质数的百分比) N C koT 0. 1N C -0. 0262N D 0. 05
10%=e , N D =e =2. 5⨯1017/cm 3
N C 0. 0262
N D =1016小于2. 5⨯1017cm 3全部电离
N D =1016, 1018〉2. 5⨯1017cm 3没有全部电离
0. 05
-0. 0230. 026
=80%〉10%不成立
' '
(也可比较E D 与E F ,E D -E F 〉〉k 0T 全电离 2)
N D =1016/cm 3; E D -E F =-0. 05+0. 21=0. 16〉〉0. 026成立,全电离
N D =1018/cm 3; E D -E F =0. 037~0. 26E F 在E D 之下,但没有全电离 N D =1019/cm 3; E D -E F =-0. 023〈0. 026,E F 在E D 之上,大部分没有电离
10. 以施主杂质电离90%作为强电离的标准,求掺砷的n 型锗在300K 时,以杂质电
离为主的饱和区掺杂质的浓度范围。
10. 解
A s 的电离能∆E D =0. 0127eV , N C =1. 05⨯1019/cm 3
室温300K 以下,A s 杂质全部电离的掺杂上限 2N D ∆E D -=D )
N C k 0T 10%=
0. 01270. 0127
0. 1N C -0. 0260. 1⨯1. 05⨯1019-0. 026
∴N D 上限=e =e =3. 22⨯1017/cm 3 22
A s 掺杂浓度超过N D 上限的部分,在室温下不能电离
2N D +0. 0127
exp N C 0. 026
G e 的本征浓度n i =2. 4⨯1013/cm 3
∴A s 的掺杂浓度范围5n i ~N D 上限,即有效掺杂浓度为2. 4⨯1014~3. 22⨯1017/cm 3
11. 若锗中施主杂质电离能∆E D =0.01eV,施主杂质浓度分别为N D =1014cm -3j 及 1017cm -3。计算①99%电离;②90%电离;③50%电离时温度各为多少?
12. 若硅中施主杂质电离能∆E D =0.04eV,施主杂质浓度分别为1015cm -3, 1018cm -3。计
算①99%电离;②90%电离;③50%电离时温度各为多少?
13. 有一块掺磷的 n型硅,N D =1015cm -3, 分别计算温度为①77K ;②300K ;③500K ;④
800K 时导带中电子浓度(本征载流子浓度数值查图3-7) 13(. 2)300K 时,n i =1010/cm 3
143
(3) 500K 时,n i =4⨯10/cm ~N D 过度区2
n =N D +N D +4n i ≈1. 14⨯1015/cm 3
2
(4) 8000K 时,n i =1017/cm 3 n ≈n =1017/cm 3
i
14. 计算含有施主杂质浓度为N D =9⨯1015cm -3,及受主杂质浓度为1.1⨯1016cm 3,的硅在
33K 时的电子和空穴浓度以及费米能级的位置。
解:T =300K 时,Si 的本征载流子浓度n i =1. 5⨯1010cm -3, 掺杂浓度远大于本征载流子浓度,处于强电离饱和区p 0=N A -N D =2⨯1015cm -3n i 2n 0==1. 125⨯105cm -3 p 0
p 02⨯1015
E F -E V =-k 0T ln =-0. 026ln =0. 224eV 19
N v 1. 1⨯10p 02⨯1015
或:E F -E i =-k 0T ln =-0. 026ln =-0. 336eV 10
n i 1. 5⨯10
15. 掺有浓度为每立方米为1022硼原子的硅材料,分别计算①300K ;②600K 时费米
能级的位置及多子和少子浓度(本征载流子浓度数值查图3-7)。
(1) T =300K 时,n i =1. 5⨯1010/cm 3, 杂质全部电离a p 0=1016/cm 3
n i 2
n 0==2. 25⨯104/cm 3
p 0
p 01016
E E -E i =-k 0T ln =-0. 026ln 10=-0. 359eV
n i 10或E E -E V =-k 0T ln
p 0
=-0. 184eV N v
(2) T =600K 时,n i =1⨯1016/cm 3处于过渡区:p 0=n 0+N A n 0p 0=n i 2
p 0=1. 62⨯1016/cm 3n 0=6. 17⨯1015/cm 3
16
E -E =-k T ln p 0=-0. 052ln 1. 62⨯10=-0. 025eV
F i 0
n i 1⨯1016
16. 掺有浓度为每立方米为1.5⨯1023砷原子 和立方米5⨯1022铟的锗材料,分别计算
①300K ;②600K 时费米能级的位置及多子和少子浓度(本征载流子浓度数值查图3-7)。
解:N D =1. 5⨯1017cm -3, N A =5⨯1016cm -3300K :n i =2⨯1013cm -3
杂质在300K 能够全部电离,杂质浓度远大于本征载流子浓度,所以处于强电离饱和区n 0=N D -N A =1⨯1017cm -3n i 24⨯1026p 0===109cm -3
17
n 01⨯10
n 01⨯1017
E F -E i =k 0T ln =0. 026ln =0. 22eV
n i 2⨯1013600K :n i =2⨯1017cm -3
本征载流子浓度与掺杂浓度接近,处于过度区
n 0+N A =p 0+N D n 0p 0=n i 2n 0=
N D -N A +(N D -N A ) 2+4n i 2
2
=2. 6⨯1017
n i 2
p 0==1. 6⨯1017
n 0
n 02. 6⨯1017
E F -E i =k 0T ln =0. 072ln =0. 01eV
n i 2⨯1017
17. 施主浓度为1013cm 3的n 型硅,计算400K 时本征载流子浓度、多子浓度、少子浓
度和费米能级的位置。
17. si :N D =1013/cm 3, 400K 时,n i =1⨯1013/cm 3(查表)⎧n -p -N D =0N D 12213
, n =+N +4n =1. 62⨯10⎨D i 2
22⎩np =n i
n i 2
p 0==6. 17⨯1012/cm 3
n o
n 1. 62⨯1013
E F -E i =k 0T ln =0. 035⨯ln =0. 017eV 13
n i 1⨯1018. 掺磷的n 型硅,已知磷的电离能为0. 044eV ,求室温下杂质一半电离时费米
N D
18. 解:n =能级的位置和浓度。 D
1E -E F 1+e D
2k 0T
n D =N D 则有e
E F =E D -k 0T ln 2=E c -0. 062eV
E D -E F koT
=2.
E F =E D -k 0T ln 2=E C -∆E D k 0T ln 2=E C -0. 044-0. 026ln 2si :E g =1. 12eV , E F -E i =0. 534eV E C -E F 0. 062
19. 求室温下掺锑的n 型硅,使E F =(E C +ED )/2时锑的浓度。已知锑的电离能为0.039eV 。
E C +E D
19. 解: E = F
2
E +E D 2E C -E C -E D E C -E D 0. 039
∴E C -E F =E C -C ====0. 0195
2222
发生弱减并 ⎡E -E C ⎤22∴n 0=N c F 1⎢F =N F 1(-0. 71) C ⎥ 2⎣k 0T ⎦2
2
= 2. 8⨯1019⨯⨯0. 3=9. 48⨯1018/cm 3
. 14
+求用:n 0=n D E +E D E -E D E F -E D =C -E D =C =0. 0195
22
⎡E F -E C ⎤2N C N D
=F ⎢⎥
1⎣k 0T ⎦1+2E F -E D )
2
k 0T
∴ N D =
⎡E -E C ⎤E F -E D
F 1⎢F 1+2)⎥
k T k T 2⎣00⎦
2N C 0. 0195⎡-0. 0195⎤=F ⎢1+2exp )=9. 48⨯1018/cm 3
⎥ 1⎣0. 026⎦0. 026
2N C
2
20. 制造晶体管一般是在高杂质浓度的n 型衬底上外延一层n 型外延层,再在外延
层中扩散硼、磷而成的。
(1)设n 型硅单晶衬底是掺锑的,锑的电离能为0.039eV ,300K 时的E F 位于导带
下面0.026eV 处,计算锑的浓度和导带中电子浓度。
(2)设n 型外延层杂质均匀分布,杂质浓度为4.6⨯1015cm -3, 计算300K 时E F 的位
置及电子和空穴浓度。
(3)在外延层中扩散硼后,硼的浓度分布随样品深度变化。设扩散层某一深度处
硼浓度为5.2⨯1015cm -3, 计算300K 时E F 的位置及电子和空穴浓度。
(4)如温度升到500K ,计算③中电子和空穴的浓度(本征载流子浓度数值查图
3-7)。
20(. 1)E C -E F =0. 026=k 0T ,发生弱减并
∴n 0=
2N c
F 1(-1) =
2
2⨯2. 8⨯1019
. 14
⨯0. 3=9. 48⨯1018/cm 3
+n 0=n D =
N D
E -E D
1+2F )
k 0T
0. 013
E -E D
∴N D =n 0(1+2F ) =n 0(1+2e 0. 026) =4. 07⨯1019/cm 3
k 0T (2) 300K 时杂质全部电离
N
E F =E c +k 0T ln D =E C -0. 223eV
N C n 0=N D =4. 6⨯1015/cm 3
n i 2(1. 5⨯1010) 2
p 0===4. 89⨯104/cm 3
15
n 04. 6⨯10
(3)p 0=N A -N D =5. 2⨯1015-4. 6⨯1015=6⨯1014/cm 3n i 2(1. 5⨯1010) 253
n 0===3. 75⨯10/cm
p 06⨯1014E F -E i =-k 0T ln
p 0
⨯1014
=0. 026ln 16=-0. 276eV . 5⨯10n i
(4) 500K 时:n i =4⨯1014cm -3, 处于过度区n 0+N A =p 0+N D n 0p 0=n i 2
p 0=8. 83⨯1014n 0=1. 9⨯1014E E -E i =-k 0T ln
p 0
=-0. 0245eV n i
21. 试计算掺磷的硅、锗在室温下开始发生弱简并时的杂质浓度为多少?
发生弱减并E C -E F =2k 0T N =
D si =
-0. 008
⎡⎤0. 026
F 1(-2) ⎢1+2e ⎥2⎣⎦
21.
2N C
⎡E -E C ⎤N D F 1⎢F =⎥
2⎣k 0T ⎦1+2E F -E D )
k 0T
2N C
2⨯2. 8⨯1019
3. 14
⨯0. 1⨯(1+2e
-0. 0080. 026
3
) =7. 81⨯1018/cm (Si )
N D Ge =
2⨯1. 05⨯1019
. 14
-0. 0394⎡⎤1830. 026
F 1(-2) ⎢1+2e ⎥=1. 7⨯10/cm (Ge ) 2⎣⎦
22. 利用上题结果,计算掺磷的硅、锗的室温下开始发生弱简并时有多少施主发生电离?导带中电子浓度为多少?
+n 0=n D =N D
E -E D 1+2F ) k 0T
+
D Si :n 0=n =7. 81⨯1018
-0. 008
0. 026=3. 1⨯1018cm -31+2e
1. 7⨯1018
+18-3Ge :n 0=n D ==1. 18⨯10cm 0. 0394
1+2e -0. 026