差分方程与微分方程间的关系及其解的性质的研究
差分方程与微分方程间的关系及其解的性质的研究
陈博轩
中国/北京市/十一学校
指导教师:潘国双
摘要:
本文通过将差分方程(组)转化为微分方程(组)的方法,对一般常系数线性差分方程(组)的解法作出解释. 同时通过类似的方法得出了著名的欧拉-麦克劳林公式. 最后对于一些难于计算的方程进行了定性的分析研究,从理论上解决了差分方程理论的一些问题.
关键词:差分方程(组)、微分方程(组)、定性分析
问题提出:
差分方程(组)是理论研究与生产生活中常遇到的一类问题,然而其研究程度远不如微分方程(组)深入. 同时差分方程(组)的一些结论与微分方程(组)极为类似. 本文即受此启发,将差分方程(组)转化为微分方程(组)进行研究.
问题研究:
第一部分、齐次常系数线性差分方程的研究
一般的,常系数线性差分方程的形式为∑a i x t +n -i =0,由于熟悉微分方
i =0n
程的求解,我们希望对其进行连续开拓,转化为解常系数线性微分方程
∑b D
i i =0
n
n -i
x t =0,其中D 为微分算子. 尽管开拓的方式可能是多种多样的,但
不同的开拓方式均满足同一差分方程,于是只考虑一种方式即可.
本文中我们记x t +i =V i x t ,我们称V 为递推算子. 下面我们由浅入深的讨论.
1. Vx t -kx t =0,k ∈C
我们将x t 视作一以t 为自变量的连续函数x t =x (t ),于是我们可将方程开拓为:
V x t -k x t =0,n ∈N
由上式应用数学归纳法: 假设对m ∈N 有:
1
n 1n
V x t -k x t =0,
则对m +1有:
m n m n
0=V x
1n
t +
m n
-k x
1n
t +
m n
=V ⋅V x t -k ⋅k x t =V
所以显然就有:
m +1n
1n m n 1n m n
x t -k
1q
m +1n
x t .
V x t -k x t =0,q ∈Q
我们对上式再通过有理数逼近实数就有:
1r
1r
1q
V x t -k x t =0,r ∈R
于是就有:
1
⎛1⎫⎛⎫
V r -1⎪x t = k r -1⎪x t , ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
对其取极限有:
Dx t =lim
r →+∞
⎛⎫
x 1-x t ⎪ t +⎪⎝r ⎭
1r
⎛⎫
⎪=lim r ⋅ x -x 1t ⎪ r →+∞⎝t +r ⎭=lim
⎛1⎫r r V -1⎪⎪x t
⎝⎭⎛1⎫r ⎪x t r k -1 ⎪⎝⎭
r →+∞
=lim
r →+∞
=ln k ⋅x t .
下面给出一例子.
例1:x t +1+2x t =0,x 0=1(此即为等比数列) 解:应用上面的方法将方程化为
Dx t =ln (-2)⋅x t ,x 0=1 (其中ln x 为复值函数,下同) 解得:x t =e ln (-2)t =(-2).
t
与传统方法结果相同.
2. Vx t -kx t =α⋅l t ,k ∈C ,l ∈C ,k ≠l ,α为待定常数.
我们可先设开拓后的方程为:
V x t -k x t =μ⋅l t ,n ∈N
于是有:
1n 1n
Vx t -kx t =V x
1n
1n
t +
n -1n
-kx t
t +n -1n
=k x
1n
t +
n -1n 1n
+μ⋅l
-kx t
t +n -1n
=k ⋅V x
=
t +
n -2n
+μ⋅l
-kx t
-11n -2n -1
t +t +⎛n n ⎫t n n n ⎪=kx t +μ⋅ k ⋅l + +k ⋅l +l ⎪-kx t
⎝⎭
=
k -l k -l
1
n
1n
⋅μ⋅l t .
于是有:
μ=
所以我们将方程开拓为:
V x t -k x t =
1n
1n
k -l
⋅α. k -l
1n 1n
k -l
⋅α⋅l t ,n ∈N k -l
1n 1n
由上式应用数学归纳法: 假设对m ∈N 有:
V x t -k x t =
1n
1n
k -l
⋅α⋅l t , k -l
1n 1n
则对m +1有:
1n
1n
t +k -l
⋅α⋅l n =V n x m -k n x m
t +t +k -l n n
m m
⎛m ⎫ n ⎪k n -l n
=V ⋅V x t -k ⋅ k x t +⋅α⋅l t ⎪
k -l ⎪
⎝⎭
1
n
m n
1n
m +1n
m +1n
m +1n
m n
1n
m 11
=V
x t -k x t -
k
-l ⋅k
⋅α⋅l t .
k -l
即
V
m +1n
x t -k
m +1n
x t =
k
m +1n
-l k -l
m +1n
⋅α⋅l t .
所以显然有:
V x t -k x t =
1q 1q
k -l
⋅α⋅l t ,q ∈Q k -l
1r
1r
1q 1q
我们对上式再通过有理数逼近实数就有:
V x t -k x t =
1r
1r
k -l
⋅α⋅l t ,r ∈R k -l
1r
1r
于是就有:
⎛⎫⎛⎫k -l t V -1⎪x t = k -1⎪x t +. ⋅α⋅l ⎪ ⎪k -l ⎝⎭⎝⎭
对其取极限有:
1
r 1r
Dx t =lim
r →+∞
⎛⎫ x 1-x t ⎪ t +⎪⎝r ⎭
1r
⎛⎫
⎪=lim r ⋅ x -x 1t ⎪ t +r →+∞⎝r ⎭=lim
⎛1⎫r r V -1⎪⎪x t
⎝⎭
r →+∞
=lim
r →+∞
⎛⎫k -l t r k -1⎪x +r ⋅⋅α⋅l t lim ⎪k -l r →+∞⎝⎭
1
r
1r 1r
=ln k ⋅x t +β⋅l t ,
其中β=α⋅
ln k -ln l
. k -l
观察两方程
Vx t -kx t =α⋅l t , Dx t -kx t =β⋅l t ,
等号的右端,由于α与β均为待定常数,所以等号右端函数的形式相同.
3. Vx t -kx t =α⋅k t ,k ∈C ,α为待定常数
我们采取与上题类似的方法,将方程开拓为:
1n -1
V x t -k x t =⋅k ⋅α⋅k t ,n ∈N
n
1n
1n
1
由上式应用数学归纳法: 假设对m ∈N 有:
1n -1
V x t -k x t =⋅k ⋅α⋅k t ,
n
1n
1n
1
则对m +1有:
t +1n -1
⋅k ⋅α⋅k n =V n x m -k n x m
t +t +n n n
m
-1⎛m ⎫m t n n ⎪=V ⋅V x t -k ⋅ k x +⋅k ⋅α⋅k t ⎪n ⎝⎭
m +1
n
m +1n
1m 11
1n m n 1n
=V
x t -k
m x t -⋅k
n
m +1
-1n
⋅α⋅k t .
即
V
m +1n
x t -k
m +1n
m +1x t =⋅k
n
m +1
-1n
⋅α⋅k t .
所以显然有:
1q -1
V x t -k x t =⋅k ⋅α⋅k t ,q ∈Q
q
1q 1q
1
我们对上式再通过有理数逼近实数就有:
1r -1
V x t -k x t =⋅k ⋅α⋅k t ,r ∈R
r
1r
1r
1
于是就有:
11
-1⎛1⎫⎛⎫1
V r -1⎪x t = k r -1⎪x t +⋅k r ⋅α⋅k t , ⎪ ⎪r ⎝⎭⎝⎭
对其取极限有:
Dx t =lim
r →+∞
⎛⎫
x 1-x t ⎪ t +⎪⎝r ⎭
1r
⎛⎫
⎪=lim r ⋅ x -x 1t ⎪ r →+∞⎝t +r ⎭=lim
⎛1⎫r r V -1⎪⎪x t
⎝⎭
1
-1⎛1⎫1r ⎪x t +lim r ⋅⋅k r ⋅α⋅k t r k -1 ⎪r r →+∞⎝⎭
r →+∞
=lim
r →+∞
=ln k ⋅x t +β⋅l t ,
其中β=α⋅
1
. k
观察两方程
Vx t -kx t =α⋅k t ,
Dx t -kx t =β⋅k t ,
等号的右端,由于α与β均为待定常数,所以等号右端函数的形式相同. 下面给出一例子:
例2:x t +1+2x t =2t +(-2),x 0=1
t
解:我们考虑如下两个方程:
y t +1+2y t =2t ,
z t +1+2z t =(-2),
t
显然有x t =y t +z t .
应用上面的方法将方程化为:
Dy t =ln (-2)⋅y t +
=ln (-2)⋅y t +
ln 2-ln (-2)t
⋅2
2--2ln (-1)t
⋅2, 4
其中y 0=1, 和
Dz t =ln 2⋅z t +
1t
⋅(-2) -21t
⋅(-2), 2
=ln (-2)⋅z t -
其中z 0=1. 于是有:
x t =y t +z t
3⎡1⎡1t ⎤t t ⎤
=⎢⋅2t +⋅(-2)⎥+⎢-⋅t ⋅(-2)+(-2)⎥
4⎣4⎦⎣2⎦=
1t 71t t
⋅2+⋅(-2)-⋅t ⋅(-2), 442
与传统方法结果相同.
4. Vx t -kx t =P (t )⋅l t ,k ∈C ,l ∈C ,P (t )为多项式
通过对本部分1、2、3情况的研究,我们猜想上式开拓后,等号右端函数形式不变,即开拓后为:
Dx t -ln k ⋅x t =Q (t )⋅l t ,
其中Q (t )为与P (t )同次的多项式.
事实上,由微分方程理论可知此方程的解为:
k ≠l 时,
x t =α⋅k t +R 1(t )⋅l t ,
其中α为待定常数,R 1(t )为与Q (t )同次的多项式.
k =l 时,
x t =R 2(t )⋅k t ,
其中R 2(t )为比Q (t )高一次的多项式.
我们将上述两种解代入Vx t -kx t =P (t )⋅l t ,得:
k ≠l 时,
Vx t -kx t
=α⋅k t +1+R 1(t +1)⋅l t +1-k α⋅k t +R 1(t )⋅l t =[l ⋅R 1(t +1)-k ⋅R 1(t )]⋅l t
()
=P (t )⋅l t .
k =l 时,
Vx t -kx t
=R 2(t +1)⋅k t +1-k R 2(t )⋅k t =k ⋅[R 2(t +1)-R 2(t )]⋅k t =P (t )⋅k t .
可见Dx t -ln k ⋅x t =Q (t )⋅l t 的解确实满足差分方程Vx t -kx t =P (t )⋅l t ,于是此微分方程确实是差分方程的一种开拓形式.
实际上,由P (t )可确定Q (t ),本部分仅仅得出等号右端函数形式不变的性质,具体开拓后的形式较复杂,将在第二部分给出.
5. ∑a i V n -i x t =0,a i ∈R
i =0n
()
由于递推算子有类似于微分算子的线性性质,于是就有:
∑a V
i i =0
n
n -i
x t =a 0⋅∏(V -k i )x t ,
i =1
n
其中k i 为方程∑a i k n -i =0的解,n 个k i 允许重复.
i =0
n
实际上上式是将∑a i V n -i 进行因式分解后的结果.
i =0
n
于是方程∑a i V n -i x t =0可转化为方程组:
i =0
n
⎧(V -k 1)y 1=0⎪(V -k )y =y ⎪221
, ⎨
⎪⎪⎩(V -k n )y n =y n -1
其中y n =x t ,y i =
∏(V -k )x
j
j =i +1
n
t
,i =1, 2, , n -1.
我们利用本部分4中的Dx t -ln k ⋅x t =Q (t )⋅l t 的解为Vx t -kx t =P (t )⋅l t
的解的结论及解的表达式可得:
y i 表达式皆为∑R j (t )k t j ,其中R i (t )为多项式且其次数等于k i 的重复次数,求和号对不同的k j 求和.
于是我们可将以上方程组开拓为:
⎧(D -ln k 1)y 1' =0⎪' ' ⎪(D -ln k 2)y 2=y 1
, ⎨
⎪
⎪(D -ln k )y ' =y '
n n n -1⎩
其中y i ' 的形式与y i 相同. 而以上方程组等价于微分方程:
b 0∑b i (D -ln k i )x t =0.
i =1n
所以方程:
∑a V
i i =0
n
n -i
x t =a 0⋅∏(V -k i )x t =0,
i =1
n
可以开拓为方程:
∑b V
i i =0
n
n -i
x t =b 0⋅∏(D -ln k i )x t =0.
i =1
n
通过上述5小部分的讨论,我们已经掌握了将齐次常系数线性差分方程开拓为齐次常系数线性微分方程的方法,并通过微分方程的理论知其解为:
ln k i ⋅t t ()()R t e =R t k ∑i ∑i i ,
其中R i (t )为多项式且其次数等于k i 的重复次数即ln k i 的重复次数,求和号对不同的k i 即不同的ln k i 求和. 这就是求解数列的特征根方法得出的结论.
由此我们证明了特征根方法的正确性. 下面给出一例子:
例3:x t +2=x t +1+x t ,x 1=1,x 2=1(此即为斐波那契数列) 解:由上述方法可将方程变为:
⎧(V -k 1)y 1=0
, ⎨
⎩(V -k 2)y 2=y 1
其中y 2=x t . k 1,k 2由方程k 2=k +1解得 所以有:
⎧⎛1+5⎫ ⎪y 1=0⎪ V -
2⎪⎪⎝⎭
. ⎨
1-⎫⎪⎛ V -⎪y 2=y 1
⎪ 2⎪⎭⎩⎝
再将此式转化为:
⎧⎡⎛1+⎫⎤'
⎪⎪⎢D -ln 2⎪⎥y 1=0
⎪⎝⎭⎥⎪⎢⎣⎦
⎨
⎛1-5⎫⎤' ⎪⎡' ⎪D -ln y =y ⎢⎥21⎪ 2⎪
⎪⎢⎥⎝⎭⎦⎣⎩
'
其中y 2=x t
于是由微分方程理论有:
⎛1+⎫⎛1-⎫ ⎪⎪, x t =c 1 +c 2 ⎪ ⎪⎝2⎭⎝2⎭
t t
通过待定系数法可知:
t t ⎡⎛⎫⎛⎫11+51-5⎤
⎪- ⎪⎥. ⎢ x t = ⎪ 5⎢⎝2⎭⎝2⎪⎭⎥⎣⎦
6. 可化为上述情况的方程
i
1)x t +m =c ⋅∏x t k +i ,k i ∈C ,c ∈C
m -1i =0
我们只需取对数,就有:
ln x t +m =∑k i ⋅ln x t +i +ln c ,
i =0m -1
令y t +i =ln x t +i 即化为:
y t +m -∑k i ⋅y t +i =ln c .
i =0m -1
该方程可用类似于本部分5中的方法解决. 2)x t +1=
ax t +c
,常数均为实数且b ≠0
bx t +d
由上式变形有:
x t +1-m =
(a -mb )x t +c -md ax t +c
. -m =
bx t +d bx t +d
我们希望等号右端分子与等号左端形式相同. 于是我们考虑:
-m (a -mb )=c -md ,
即
bm 2+(d -a )m -c =0.
若m 1≠m 2有:
x t +1-m 1a -m 1b x t -m 1
. =⋅
x t +1-m 2a -m 2b x t -m 2
若m 1=m 2有:
1d b 1
. =+⋅
x t +1-m a -mb a -mb x t -m
于是变成了本部分1,2中所讨论的问题的形式. 例4:解两方程:1)x t +1=x t 2,x 0=2;
2)y t +1=
解:1)取对数有
2y t +1
,y 1=2. y t +2
ln x t +1=2⋅ln x t ,
化为了前述形式a t +1=2a t . 于是解得x t =22. 2)变形可得
t
y t +1+1y +1
, =3⋅t
y t +1-1y t -1
化为了前述形式a t +1=3a t .
3t +1
于是可得y t =t .
3-1
就此,我们已经用微分方程求解的理论解释了差分方程求解的特征根方法,并说明了两者之间的关系.
第二部分、非齐次常系数线性差分方程(组)暨欧拉-麦克劳林公式的发现
在第一部分的4中,我们留下了定量计算Vx t -kx t =P (t )⋅l t 开拓后的方程Dx t -ln kx t =Q (t )⋅l t 的问题. 我们下面的工作解决了此问题,同时这工作还解决了形如Vx t -kx t =f (t )的一般化问题.
1. 对Vx t -kx t =f (t )的处理
首先我们观察方程Dx t -ln k ⋅x t =g (t ),由微分方程理论,此方程可转化为:
1e ln k ⋅t
⋅Dx t -
1e ln k ⋅t
⋅ln k ⋅x t =
1e ln k ⋅t
⋅g (t ),
即
1⎛1⎫
D ln k ⋅t ⋅x t ⎪=ln k ⋅t ⋅g (t ). ⎝e ⎭e
与此类比,我们希望以同样的方法处理Vx t -kx t =f (t ). 这时显然有:
1k
t +1
⋅Vx t -
1k
t +1
⋅kx t =
1k
t +1
⋅f (t ),
即
V
x t x t 1
-=⋅f (t ). k t k t k t +1
1k
t +1
这就是对差分方程的处理方法. 在后文中我们记h (t )=
2. h (t )=t k 情况
我们可以设:
⋅f (t ).
V x t -x t =H (t ),
那么就有:
⎧1
n
⎪V x t -x t =H (t )⎪1
1⎫⎪V n x -x =H ⎛t + ⎪11
⎪t +t +n ⎝⎭n n . ⎨⎪ ⎪1
⎛n -1⎫⎪n
V x -x =H t +⎪n -1n -1⎪t +t +n ⎝⎭n n ⎩
1
n
将这些式子全加起来有:
i ⎫⎛
Vx t -x t =∑H t +⎪=t k (1)
⎝n ⎭i =0
n -1
显然H (t )为次数为k 的多项式函数就是一种开拓方式,我们设:
H (t )=∑a j ⋅t k -j (2)
j =0
k
将(2)式带入(1)式有:
⎛a ⋅∑∑j t +
⎝i =0j =0
n
k n
k
i ⎫
⎪n ⎭
k -j
l k -j ⎡⎤i ⎛⎫l k -j -l
=∑∑⎢a j ⋅∑C k -j ⋅t ⋅ ⎪⎥
⎝n ⎭⎥i =0j =0⎢l =0⎣⎦
=t k (3)
我们的目的是求出
Dx t =lim
⎛1⎫r r V -1⎪r ⋅H (t ),r ∈R ⎪x t =lim r →+∞⎝⎭
r →+∞
1)先来讨论r 为整数的情况:
lim
n →+∞
⎛1⎫n ⎪x t =lim n ⋅H (t ) n V -1 ⎪n →+∞⎝⎭
=lim n ⋅∑a j ⋅t k -j
n →+∞k
j =0
k
=∑b j ⋅t k -j ,
j =0
其中b j =lim n ⋅a j ,n ∈N +.
n →+∞
下面我们应用(3)式来计算b j . 首先对(3)式重排,对t 降次排列有:
l k -j ⎡⎤i l k -j -l ⎛⎫⋅ ⎪⎥ ⎢a j ⋅∑C k -j ⋅t ∑∑⎝n ⎭⎥i =0j =0⎣l =0⎢⎦n
k
-l ⎛i ⎫=∑∑∑a l C k j -l ⋅ ⎪
⎝n ⎭i =0j =0l =0
n k j
j -l
⋅t k -j
=∑t
j =0k
k
k -j
⎧⎪j -l ⋅⎨∑a l C k j -l
l =0⎪⎩⎡n -1⎛i ⎫j -l ⎤⎫⎪
⋅⎢∑ ⎪⎥⎬⎢⎣i =0⎝n ⎭⎥⎦⎪⎭⎡n -1⎛i ⎫j -l 1⎤⎫⎪⋅⎢∑ ⎪⋅⎥⎬
n ⎥⎢i =0⎝n ⎭⎣⎦⎪⎭
=∑t k -j
j =0
⎧⎪j -l
⋅⎨∑n ⋅a l C k j -l
l =0⎪⎩
=t k ,
于是有:
lim ∑t
n →+∞j =0
k
k -j
⎧⎪j -l
⋅⎨∑n ⋅a l C k j -l
l =0⎪⎩⎡n -1⎛i ⎫j -l 1⎤⎫⎪
⋅⎢∑ ⎪⋅⎥⎬
n ⎥⎢i =0⎝n ⎭⎣⎦⎪⎭
=∑t
j =0
k
k -j
⎧⎪j -l
⋅⎨∑lim n ⋅a l C k j -l
l =0n →+∞⎪⎩
⎡
⋅⎢lim ⎢⎣n →+∞
⎛i ⎫
⎪∑i =0⎝n ⎭
n -1
j -l
1⎤⎫⎪
⋅⎥⎬n ⎥⎦⎪⎭
=∑t
j =0k
k
k -j
1⎛j ⎫j -l j -l
⎪⋅ b C ⋅ξd ξ ∑l k -l ⎰0⎪
⎝l =0⎭-l ⎛j ⎫C k j -l ⎪⋅ ∑b l ⋅⎪ j -i +1⎝l =0⎭
=∑t
j =0
k -j
=lim t k
n →+∞
=t k .
这里我们应用了黎曼积分的定义. 于是有对应项系数相等:
∑
l =0
j
-l
C k j -l
⋅b l
j -l +1
⎧1=⎨⎩0
(j =0)
, (j ≥1)
l
由此得b l =B l ⋅C k ,其中B l 为伯努利数.
2)下面对r ∈R 做探讨:
由于之前的证明中未用到t 的性质,所以∀t ∈R 有:
lim n ⋅H (t )=∑b ⋅t
i
n →+∞
i =0
k
k -i
先令r 为有理数,于是有:
n ⎛ V lim m n ⎝→+∞
m
m
n
⎫ -1⎪⎪x t ⎭
n m -1⎛i ⎫
=lim ⋅∑H t +⎪
m i =0⎝n ⎭n
→+∞
m
=lim
t +⎪∑n ⋅H
n i =0
m -1
⎛i ⎫
n
→+∞m
m
.
k
n
由于→+∞时,必有n →+∞,而且lim n ⋅H (t )=∑b i ⋅t k -i ,
m n →+∞所以有:
m -1
n ⋅H ⎛
t i ⎫lim ∑ i =0
⎝+n ⎪⎭n
m m
→+∞
∑∑k m -1
k -i
b ⎛
j ⎫i ⋅=lim
i =0j =0
⎝t +n ⎪⎭
n
m
→+∞
m k m -1
b k -i
i
⋅t
=lim
∑∑i =0j =0
n
→+∞m
m
∑k
m ⋅b j
i ⋅t k -=
i =0
m
k
=∑b k -i i ⋅t .
i =0
再通过有理数逼近,得
lim
r ⎛1 k r →+∞
V r -1⎫⎪⎝⎪x ⎭
t =∑b i ⋅t k -i . i =0于是Vx t -x t =t k 开拓为:
Dx r ⎛1t =lim
V r -1⎫⎪r →+∞
⎝⎪x ⎭
t
k
=∑b -i i ⋅t k
i =0
i =0
=∑B i ⋅C k i ⋅t k -i .
i =0
k
这也就是第一部分4中结论的定量结果. 下面给出一例子:
例5:x t +1=x t +t 3,x 1=0. 解:将上述方程化为
31
Dx t =∑B i ⋅C k i ⋅t k -i =t 3-t 2+t ,
22i =0
k
于是有
111⎡t (t -1)⎤
x t =t 4-t 3+t 2+c =⎢+c . ⎥424⎣2⎦
2
由待定系数法知:
⎡t (t -1)⎤
, x t =⎢⎥
⎣2⎦
2
与传统方法结果相同.
3. 欧拉-麦克劳林公式
下面我们讨论Vx t -x t =f (t )的情况.
由维尔斯特拉斯逼近定理知,f (t )可由多项式进行逼近,于是有:
Vx t -x t =∑a i t i ,
i =0+∞
这可以转化为:
⎛i ⎫j i -j
⎪ Dx t =∑a i B ⋅C ⋅t ∑j i ⎪
i =0⎝j =0⎭
+∞
⎛+∞⎫j i -j
=∑B j ∑a i ⋅C i ⋅t ⎪⎪ j =0⎝i =j ⎭
+∞
B j ⎛+∞⎫i ! i -j
⎪. =∑ a ⋅⋅t ∑i i -j ! ⎪j =0j ! ⎝i =j ⎭
+∞
注意到
i !
⋅t i -j 为t i 的j 阶导数,于是有: i -j !
∑a i ⋅
i =j
+∞
i !
⋅t i -j =f (j )(t ).
i -j !
所以有:
B j ⎛+∞⎫i ! i -j
⎪ Dx t =∑ a ⋅⋅t ∑i i -j ! ⎪j =0j ! ⎝i =j ⎭
+∞
=∑
j =0
+∞
B j j !
⋅f (j )(t ).
此即为欧拉-麦克劳林公式的一种形式.
以上计算均需要级数绝对收敛才成立. 对于一般情况,只需将f (t )逼近为带余项的部分和形式再计算即可,易证这样的最终表达式为带余项形式.
事实上,欧拉-麦克劳林公式也可直接求得. 我们假设Vx t -x t =f (t )的解为x t =F (t ). 已知泰勒公式:
F (i )(t )F (t +1)-F (t )=∑=f (t ), i ! i =1
+∞
而同时有:
+∞
⎧f (i )(t )⎪⎰f (t +1)d (t +1)-⎰f (t )dt =∑i ! i =0⎪
+∞⎪f (i )(t )⎪
. ⎨f (t +1)-f (t )=∑i ! i =1⎪
⎪ ⎪⎪⎩
+∞
于是可以猜出Dx t =F (t )=∑a i ⋅f (i )(t ),然后应用本部分2中的方法进行
'
i =0
计算可以直接得出公式.
就此,我们已经应用连续开拓的方法导出了欧拉-麦克劳林公式,解决了非齐次一阶常系数线性差分方程求解的问题. 将本部分内容与第一部分结合在一起,我们就解决了一般的非齐次常系数线性差分方程求解的问题.
下面给出一例子:
1
例6:x t +1=x t +,x 1=0
t
解:将上述方程化为:
Dx t =∑
j =0
+∞
B j j !
⋅f
(j )
(t )=∑(-1)j B j ⋅
j =0
+∞
1t
j +1
,
于是有:
x t =ln t -∑
j =1
+∞
(-1)j B j
j
⋅
1
+c . t j
由待定系数法知:
c =γ=∑
j =1
+∞
(-1)j B j
j
⋅
1
≈0. 577 , j t
该常数为欧拉常数. 所以有:
x t =ln t -∑
j =1
+∞
(-1)j B j
j
⋅
1
+γ. j t
显然t →+∞时,x t 与ln t 相差γ,与已知结果相同.
4. X t +m +∑A i ⋅X t +n -i =F (t ),其中大写字母均为矩阵.
i =1m
下面我们讨论一下常系数线性差分方程组的求解问题. 采用递推算子V 我们先将方程化简为:
m
⎛m ⎫
V ⋅I +∑V m -i ⋅A i ⎪X t =F (t ),
i =1⎝⎭
其中I 为单位矩阵.
于是上一式子变成了一个关于X t 的方程组,应用克莱姆法则可得:
m
⎛m ⎫
det V ⋅I +∑V m -i ⋅A i ⎪x ti =D i =g (t ),
i =1⎝⎭
其中D i 为x ti 所对应的行列式,显然计算后为一函数. 将如上m 个方程联立有:
m
⎛m ⎫
det V ⋅I +∑V m -i ⋅A i ⎪X t =G (t ),
i =1⎝⎭
其中G (t )可由克莱姆法则算得. 特别的,F (t )=0时, G (t )=0.
这便是m 个常系数线性差分方程,应用前文方法即可计算出结果,计算待定系数时需要将各个解代入X t +m +∑A i ⋅X t +n -i =F (t )中再求出结果.
i =1m
事实上这正是常系数线性差分方程组的特征向量解法. 我们应同时注意到常系数线性微分方程组的解法与此相同. 这也就是差分方程组与微分方程组间的联系,即都用同样的方法转化为差分方程或微分方程. 下面给出一例子:
⎛x t +1⎫⎛21⎫⎛x t ⎫⎛x 0⎫⎛3⎫
例7: 1⎪⎪. y ⎪⎪= 12⎪⎪⋅ y ⎪⎪= y ⎪⎪,
⎭⎝t ⎭⎝0⎭⎝⎭⎝t +1⎭⎝解:我们将上述方程化为:
m ⎛m ⎫⎛x t ⎫m -i
det V ⋅I +∑V ⋅A i ⎪⋅ y ⎪⎪
i =1⎝⎭⎝t ⎭22⎛x t ⎫
=(V -2)-(-1)⋅ y ⎪⎪
⎝t ⎭
[]
⎛0⎫= 0⎪⎪, ⎝⎭
即为
(
解差分方程可得:
⎛x t ⎫⎛0⎫
V -4V +3⋅ 0⎪⎪. y ⎪⎪=
⎝t ⎭⎝⎭
2
)
⎛x t ⎫⎛c 1⎫t ⎛d 1⎫t c ⎪⎪⋅1+ d ⎪⎪⋅3. y ⎪⎪=
⎝2⎭⎝t ⎭⎝2⎭
由待定系数法可知:
⎛c 1⎫⎛1⎫⎛d 1⎫⎛2⎫ -1⎪⎪, 2⎪⎪. c ⎪⎪= d ⎪⎪= ⎝2⎭⎝⎭⎝2⎭⎝⎭
于是方程组的解为:
⎛x t ⎫⎛1⎫⎛2⎫t -1⎪⎪+ 2⎪⎪⋅3, y ⎪⎪=
⎝t ⎭⎝⎭⎝⎭
与传统方法结果相同.
第三部分、差分方程的定性研究
下面我们探讨数列{y t },记∆y t =Vy t -y t .
对于方程∆y t =f (t , y t )我们一般难以计算出解的表达式,甚至无法计算精确解,于是我们考虑对其进行定性研究. 通过f (t , y t )表现出的属性来研究数列本身的性质.
对∆y t =f (t , y t ),设f (t , y t )连续且保证数列为无穷数列(否则将每项计算出即为解,无需定性研究). 显然,数列{y t }是唯一确定的.
对于众多情况,我们只探讨最典型的两种:1. 收敛;2. 发散至无穷. 1. 收敛
1)下面给出数列{y t }收敛的必要条件:
我们不妨设y t →a ,则必有
∑f (t , y )=a ,
t
t =1
+∞
依照级数收敛的必要条件有
lim f (t , y )=0.
t
t →+∞
由于f (t , y t )连续,有
lim f (t , y )=lim f (t , a )=0.
t
t →+∞
t →+∞
此即为数列{y t }收敛的必要条件.
如果有lim f (t , y t )=lim f (t , a )=0成立,我们称a 为数列{y t }的平衡点.
t →+∞
t →+∞
2)下面给出数列{y t }收敛的充分条件(判定方法)
由必要条件,只需判定平衡点是否为收敛点. 我们记x t =y t -a ,则有
x t +1=x t +f (t , x t +a )=g (t , x t ).
判定方法如下: 若
g (t , x t )在0附近对于t 一致收敛并连续,且lim x t x t →0
lim
t →+∞
g (t , x t )
则平衡点为收敛点.
事实上,由于
g (t , x t )g (t , x t )对于t 一致收敛并连续,有lim =g 0(x t )x t x t t →+∞
连续. 这说明存在N ,δ, 使得当t ≥N ,x t ≤δ时,有:
g (t , x t )
≤k
又因为:
x t +1g (t , x t )=, x t x t
于是有:
x t +1≤k x t ,0≤k
所以x t 收敛于0,即y t 收敛于a .
只要初值合适,当t 充分大时, 使得y t 靠近a ,则数列收敛于a ,至于初值的范围(我们称为收敛域)可计算出,但这并不属于数列本身的属性,不予讨论.
2. 发散至无穷大
1)下面给出一{y t }不收敛的充分条件:
考虑∆y t =f (t , y t ), 有如下结论:
对于不存在平衡点的情况,数列必不收敛. 如果存在平衡点,与上部分类似有: 若
g (t , x t )对于t 一致收敛,且x t x t →0
t →+∞
g (t , x t )
>1,则平衡点不为收敛点. x t
这结论的证明与上部分中的证明类似,此处省略. 2)下面给出数列{y t }发散至无穷大的充分条件:
当数列不收敛时,
若f (t , y t )>0,发散至+∞;
t →+∞
若lim f (t , y t )
t →+∞
y t 取值范围(我们称为发散域)可由上式求出,但这并不属于数列本身的属性,不予讨论.
以上命题的证明是显然的. 即数列单调且不收敛,则必发散于无穷大. 对于其他情况,以上两种方法并不能对其性质做出确定.
3. 几种特殊情况
1)对于f (t , y t )与t 无关 数列{y t }的收敛条件:
以下记x t =y t -a ,则有x t +1=x t +f (x t +a )=g (x t ). 数列{y t }收敛的必要条件变为:
存在f (a )=0,即a 为数列的平衡点,此时无需对t 求极限. 数列{y t }收敛的充分条件(判定方法)变为:
若lim
x t →0
g (x t )
题. 发散条件: 不收敛条件变为:
不存在平衡点,则数列必不收敛. 若x t →0
g (x t )
>1,则平衡点不为收敛点. x t
发散于无穷大充分条件变为: 若f (y t )>0,则数列发散至+∞; 若f (y t )
此时必要条件变为lim f (t )=0,即无平衡点. 前述方法已不适用.
t →+∞
但此时只需考虑∑f (t ),可以应用级数理论进行判定,此处不予说明.
t =1
+∞
发散条件:
同样应用级数理论进行判定即可,此处不予说明.
至此,对于数列的定性研究的定理就介绍完毕. 应用这些定理,我们可以定性的了解数列的性质. 下面给出一个例子:
x t 2+x t
例8:∆x t =- ,1)x 1=1;2)x 1=-2 .
12+
t
解:首先求平衡点lim f (t , a )=0,则a =0或a =-1 ,
t →+∞
然后分别对两平衡点考虑:
a =0时
x t 2+x t
g 1(t , x t )=x t -;
12+
t
a =-1时
g 2(t , x t )=x t -1-
(x t -1)2+x t -1
12+
t
.
而当a =0时
lim lim
g 1(t , x t )1
=
t →+∞
x t 2
于是0为x t 收敛点. 当a =-1时
lim g 2(t , x t )
x 0
lim
t →t →+∞
x >1 , t
x 2又因为x t +x t
t
1t
于是此时x t 发散至-∞. 回到题目中有:
1)x 1=1时可知x t →0; 2)x 1=-2时可知x t →-∞ . 具体运算结果如表格所示:
t x y
10 0.001661 1
1
-2
11 0.000869 0.333333 -2.666666667 12 0.000453 3 0.155556 -4.444444444 13 0.000235 4 0.078519 -11.00529101 14 0.000122 5 0.040881 -59.94357505 15 6.31E-05 6 0.021539 -1665.983855 16 3.26E-05 7 0.011384 -1281898.085 17 1.68E-05 8 0.006011 -7.66857E+11 18 8.63E-06 9 0.003165 -2.76738E+23
19
4.43E-06
-3.62767E+46 -6.26666E+92 -1.8782E+185 #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM!
2
第四部分、微分近似计算差分的研究
考虑方程∆x t =f (t , x t ),其解为x t ;再考虑方程Dx t ' =f t , x t ' ,其解为
()
x t ' =F (t ) .我们称Dx t ' =f t , x t ' 为∆x t =f (t , x t )对应的微分方程. 由于微分实际是差分的连续化,所以将差分方程用对应的微分方程代替,在相当的情况下可以表明差分方程的性质,甚至有些情况下还可以近似的计算差分方程. 以下我们就来研究满足什么要求的数列可以用对应的微分方程近似代替.
与前一部分类似,我们对f (t , x t )与x t 是否有关进行分类讨论.
1. f (t , x t )与x t 无关
此种情况下方程变为:
()
∆x t =f (t )和Dx t ' =f (t ) ,
其解分别为:
x t =∑f (i )+x 1和F (t )=⎰f (ξ)d ξ+x 1 .
i =1t
t
1
由级数中的理论可以判定x t 与F (t )敛散性是否相同,此处不多说.
若x t 与F (t )敛散性不同,则必然不可用F (t )近似代替x t . 在敛散性相同的情况下,我们就收敛与发散两种情况探讨. 1)x t 与F (t )均收敛 我们有结论:
一般情况下F (t )为x t 的不收敛代替. 事实上,由条件可知:
lim x
t →+∞t →+∞
t
=a ,
lim F (t )=b .
则有:
lim
t →+∞
x t -F (t )=c ,
其中a ,b ,c 均为常数. 于是有:
lim
t →+∞
x t -F (t )
=k 为常数. x t
我们把这称为不收敛代替,即F (t )只在趋势上近似表现了x t ,并未在数值上近似表现x t . 2)x t 与F (t )均发散至无穷大
我们给出F (t )收敛代替x t 的充分条件:
若有lim x t -F (t )≤c ,其中c 为常数,则必有lim
t →+∞
t →+∞
x t -F (t )
=0. x t
这证明是简单的,此处不多说明.
我们把这称为收敛代替,即F (t )在趋势上近似表现了x t ,并同时在数值上近似表现x t . 2. f (t , x t )与x t 有关
我们首先判断x t 与F (t )的敛散性是否相同. 由第三部分的结论,我们可以判定x t 的敛散性. 而F (t )的敛散性可由函数理论确定,此处不多说明. 于是我们可判断x t 与F (t )的敛散性是否相同.
记y t =x t -F (t ),则有∆y t =∆x t -∆F (t ). 下面我们给出一判断F (t )是否收敛代替x t 判别法: 由已知条件∆x t =f (t , x t ),DF (t )=f (t , F (t ))以及泰勒公式:
F ' ' (t +ξ)∆F (t )=F (t )+, 2!
'
其中0
F ' ' (t +ξ)∆y t =f (t , x t )-f (t , F (t ))- 2!
F ' ' (t +ξ)=f x (t , F (t )+γ⋅y t )⋅y t -, 2!
其中0
应用第三部分证明数列收敛的方法可知,考虑:
∆y t =f x (t , F (t )+γ⋅y t )⋅y t -
r (t +ξ) 2
的敛散性即可说明x t 与F (t )间的是否为收敛代替. 我们给出F (t )收敛代替x t 的充分条件:
F ' ' (t +ξ)在连续,同时f x (t , F (t )+γ⋅y t )对t 一致收敛的情况下, 2!
当lim y t =0时,有
t →+∞
lim
t →+∞
x t -F (t )y
=lim t =0, x t t →+∞x t
这是收敛代替同时也是绝对收敛代替,即不仅相对误差趋于0,绝对误差也趋于0.
当lim y t =c ≠0为常数时,若同时还有数列x t 发散于无穷大,就有:
t →+∞
lim
t →+∞
x t -F (t )y
=lim t =0, x t t →+∞x t
这是收敛代替.
至此,对于用数列对应的微分方程进行代替的定理就介绍完毕. 事实上,本部分的一些内容是常微分方程数值计算内容的反向应用. 我们由此也可知道差分方程与微分方程间的联系. 利用这联系,我们可以在其中一个方程难以计算的时候用另一个方程近似表示难以计算的方程.
下面给出一例子: 例9:∆x t =
11
-x t ,x 0=1. x t 4
解:首先求解对应的微分方程:
Dx t =11-x t ,x 0=1. x t 4
可求出F (t )=4-3e 1-t 2,
然后考虑敛散性,由第三部分方法知x t 收敛,而F (t )也收敛.
于是计算:
∆y t =f x (t , F (t )+γ⋅y t )⋅y t -r (t +ξ), 2
可以得到:
⎡⎤11-t ⎫-t ⎛⎢⎥ 8-3e 2⎪⋅e 2⎢⎥ ⎪113⎝⎭⎥⋅y t +⋅∆y t =-⎢+231⎢⎛⎥4161⎫-t -t ⎢ 4-3e 2+γ⋅y ⎪⎥4-3e 2
t ⎪⎢ ⎥⎭⎣⎝⎦
其中有0
应用第三部分中判定收敛的方法考虑:
y t +1⎡⎤11-t ⎫-t ⎛⎢⎥ 8-3e 2⎪⋅e 2⎢⎥ ⎪313⎝⎭⎥⋅y t +⋅=g (t , y t )=⎢-231⎢4⎛⎥161⎫-t 2 4-3e -2t +γ⋅y ⎪⎥⎢4-3e t ⎪⎥⎢⎝⎭⎦⎣
显然平衡点为y t =0, 于是通过计算知t →+∞时,有:
y t +1=
t →+∞3⋅y t . 4因此lim y t =0,F (t )绝对收敛代替x t .
具体计算结果如下表
t
1 x 1 F 9 1.999145 1.991651 10 1.999573 1.99494 1 1.75 1.47662 11 1.999786 1.996933
12 1.999893 1.99814 2 1.883929 1.70187
3 1.943752 1.824996
4 1.972283 1.895783
5 1.986239 1.937458
6 1.993143 1.962304
7 1.996578 1.977222
8 1.99829 1.986216 13 1.999947 1.998872 14 1.999973 1.999316 15 1.999987 1.999585 16 1.999993 1.999748 17 1.999997 1.999847 18 1.999998 1.999907
t 大时,可以用F (t )代替x t .
总结:
本文通过将离散量进行连续开拓的方法将差分方程(组)转化为微分方程(组)求解,对一般常系数线性差分方程(组)的解法作出解释. 同时通过同样的方法得出了著名的欧拉-麦克劳林公式,从而根本解决了常系数线性差分方程求解的问题. 其次对于一些难于计算的方程进行了定性的分析研究,给出了收敛与发散于无穷大的条件. 最后对用差分方程对应的微分方程的解近似代替差分方程解的问题做出探讨,给出了收敛代替的一些条件. 这样,本文从理论上解决了差分方程理论的一些问题.
一些问题:
本文仅仅是差分方程研究的起步,还有许多结论等待发现.
1. 对于差分方程的定性研究及近似代替方面,本文做出的定理是较初等的. 笔者期待着有更严格更有效的判定方法及定理.
2. 对于差分方程的定性研究及近似代替方面,本文仅就最简单的∆x t =f (t , x t )方程做出了研究. 事实上,更一般的理论应为研究方程组∆X t =F (t , X t )的理论,笔者期待着有研究方程组的理论.
参考文献:
张筑生,数学分析新讲(第三册),北京大学出版社.
王高雄、周之铭等,常微分方程(第三版),高等教育出版社. 朝伦巴根、贾德彬,数值计算方法,中国水利水电出版社.