集合知识点总结及典型例题
集 合
一．【课标要求】
1．集合的含义与表示
（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系
（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算
（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用
二．【命题走向】
有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主。
预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体
三．【要点精讲】
1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合 （1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作a∈A；若b不是集合A的元素，记作b∉A；
（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；
确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
（4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N；
*
正整数集，记作N或N+； 整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R。 2．集合的包含关系：
（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作A⊆B（或A⊂B）；
集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A⊆B且B⊇A，则称A等于B，记作A=B；若A⊆B且A≠B，则称A是B的真子集，记作A B；
（2）简单性质：1）A⊆A；2）Φ⊆A；3）若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）； 3．全集与补集：
（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；
（2）若S是一个集合，A⊆S，则，CS={x|x∈S且x∉A}称S中子集A的补集； （3）简单性质：1）CS(CS)=A；2）CSS=Φ，CSΦ=S
4．交集与并集：
（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集A⋂B={x|x∈A且x∈B}。
（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。并集A⋃B={x|x∈A或x∈B}
注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 5．集合的简单性质：
（1）A⋂A=A,A⋂Φ=Φ,A⋂B=B⋂A; （2）A⋃Φ=A,A⋃B=B⋃A; （3）(A⋂B)⊆(A⋃B);
（4）A⊆B⇔A⋂B=A;A⊆B⇔A⋃B=B；
（5）CS（A∩B）=（CSA）∪（CSB），CS（A∪B）=（CSA）∩（CSB）。
四．【典例解析】 题型1：集合的概念
(2009湖南卷理)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__ 答案 ：12
解析 设两者都喜欢的人数为
x人，则只喜爱篮球的有(15-x)人，只喜爱乒乓球的有
(10-x)人，由此可得(15-x)+(10-x)+x+8=30，解得x=3，所以15-x=12，
即 所求人数为12人。
例1．已知全集U=R，集合M={x-2≤x-
1≤2}和
N={xx=2k-1,k=1,2, }的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的
集合的元素共有( )
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多个 答案 B
1,3}，有2个，选B. 解析 由M={x-2≤x-1≤2}得-1≤x≤3，则M⋂N={
2
例2．集合A={0,2,a},B=1,a,若A B={0,1,2,4,16},则
{}
a的值为
( )
A.0 B.1 C.2 D.4 答案 D
⎧a2=16
解析 ∵A={0,2,a},B={1,a},A B={0,1,2,4,16}∴⎨∴a=4,故选D.
a=4⎩
2
【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,
本题属于容易题.
题型2：集合的性质
2
例3．集合A={0,2,a},B=1,a,若A B={0,1,2,4,16},则
{}
a的值为
( )
A.0 B.1 C.2 D.4 答案 D
⎧a2=16
解析 ∵A={0,2,a},B={1,a},A B={0,1,2,4,16}∴⎨∴a
=4,故选D.
⎩a=4
2
【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.
随堂练习
2
1.设全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={ x∈R︱x+ x－6=0}，则下图中阴影表示的集合为 （ ）
A．{2}
B．{3}
C．{－3，2} D．{－2，3}
2. 已知集合A={y|y-(a+a+1)y+a(a+1)>0},B={y|y-6y+8≤0}，若
2
2
2
2
A∩B≠φ，则实数a的取值范围为（ ）．
分析：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想．本题若直接求解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，就比较容易得到正确的解答．
解：由题知可解得A={y|y>a2+1或y
⎧a≤2⎧a≤2由⎨2，得
⎨⎩a≥3或a≤-⎩a+1≥4
∴a≤-或≤a≤2.
即A∩B＝φ时a的范围为a≤-3或3≤a≤2.而A∩B≠φ时a的范围显然是其补集,从而所求范围为a|a>2或-
评注：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，
求得其解，这就是“补集思想”．
例4．已知全集S={1,3,x-x-2x}，A={1,2x-1}如果CSA={0}，则这样的实数
3
2
{x是否存在？若存在，求出x，若不存在，说明理由
解：∵CSA={0}；
32
∴0∈S且0∉A，即x-x-2x＝0，解得x1=0,x2=-1,x3=2
当x=0时，2x-=1，为A中元素； 当x=-1时，2x-=3∈S 当x=2时，2x-=3∈S
∴这样的实数x存在，是x=-1或x=2。 另法：∵CSA={0} ∴0∈S且0∉A，3∈A
32
∴x-x-2x＝0且2x-=3
∴x=-1或x=2。
点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当x=0时，
不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号CSA={0}是两层含义：2x-=1”
0∈S且0∉A。
变式题：已知集合A={m,m+d,m+2d},B={m,mq,mq}，其中m≠0,且A=B,求q的值。
解：由A=B可知，
2
⎧m+d=mq⎧m+d=mq2
（1）⎨，或（2）⎨ 2
⎩m+2d=mq⎩m+2d=mq
解（1）得q=1， 解（2）得q=1,或q=-
1
， 2
2
又因为当q=1时，m=mq=mq与题意不符， 所以，q=-
1。 2
题型3：集合的运算 例5已知函数
f(x)=定义域集合是B （1）求集合A、B （2）若A B=B,求实数
22
A,函数g(x)=lg[x-(2a+1)x+a+a]的a的取值范围．
解 （1）A＝x|x≤-1或x>2 B＝x|xa+1
{}
{}
（2）由A B＝B得A
a>-1
⊂B，因此⎧⎨
⎩a+1≤2
所以-1
例6．已知集合A=1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则AICNB=( ) A.1,5,7} B.3,5,7} C.1,3,9} D.1,2,3} 答案 A
解析 易有A CNB=1,5,7}，选A
{
{{
{
{
{
点评：该题考察了集合的交、补运算。 题型4：图解法解集合问题
2
y2⎧xy⎫⎧x⎫
例7．（2009年广西北海九中训练）已知集合M=⎨x|+=1⎬，N=⎨y|+=1⎬，则
4⎩32⎭⎩9⎭
M N= （ ）
A．∅
B．{(3,0),(2,0)} D．{3,2}
C．[-3,3] 答案 C
例8．1.设全集⋃=R，函数f(x)=lg(|x+1|+a-1)(a
B={x|cosπx=1}，若(C⋃A)⋂B恰好有2个元素，求a的取值集合。
解：|x+1|+1-a>0⇔|x+1|>1-a
a0 ∴x>-a或x
∴A=(-∞,a-2)⋃(-a,+∞)
cosπx=1,πx=2kπ，∴x=2k(k∈z)
∴B={x|x=2k,k∈z}
当a
⎧a
⎪
⇒-2
⎪-4
2， ，k)，由A中的元素构成两个相2、A={a1，a2， ，ak}(k≥2)，其中ai∈Z(i=1，
应的集合：
S={(a，b)a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={(a，b)a∈A，b∈A，a-b∈A}．其中
(a，b)是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总
有-a∉A，则称集合A具有性质P． （I）对任何具有性质P的集合A，证明：n≤
k(k-1)
； 2
（II）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．
2
解：（I）证明：首先，由A中元素构成的有序数对(ai，aj)共有k个．
因为0∉A，所以(ai，ai)∉T(i=1，2， ，k)；
又因为当a∈A时，-a∉A时，-a∉A，所以当(ai，aj)∈T时，
(aj，ai)∉T(i，j=1，2， ，k)．
从而，集合T中元素的个数最多为即n≤
12k(k-1)
(k-k)=， 22
k(k-1)
． 2
（II）解：m=n，证明如下：
（1）对于(a，b)∈S，根据定义，a∈A，b∈A，且a+b∈A，从而(a+b，b)∈T． 如果(a，b)与(c，d)是S的不同元素，那么
a=c与b=d中至少有一个不成立，从而
a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立．
故(a+b，b)与(c+d，d)也是T的不同元素．
可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m≤n，
（2）对于(a，b)∈T，根据定义，a∈A，b∈A，且a-b∈A，从而(a-b，b)∈S．如果(a，b)与(c，d)是T的不同元素，那么
a=c与b=d中至少有一个不成立，从而
a-b=c-d与b=d中也不至少有一个不成立，
故(a-b，b)与(c-d，d)也是S的不同元素．
可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m， 由（1）（2）可知，m=n．
例9．向50名学生调查对A、B 赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
解：赞成A的人数为50×
3
=30，赞成B的人数为5
30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B。
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为
x
+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数3
为33－x。依题意(30－x)+(33－x)+x+(
x
+1)=50,解得x=21。所以对A、B都赞成的同学有3
21人，都不赞成的有8人
点评：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握。本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索。画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。
例10．求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？
解：如图先画出Venn图，不难看出不符合条件 的数共有（200÷2）＋（200÷3）＋(200÷5) 5的倍数－(200÷10)－(200÷6)－(200÷15)
2的倍数
＋(200÷30)＝146 3的倍数所以，符合条件的数共有200－146＝54（个）
点评：分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。 题型7：集合综合题
例11．（1999上海，17）设集合A={x||x－a|
2x-1
a的取值范围。
解：由|x－a|2x-1x-3
⎧a-2≥-2因为A⊆B，所以⎨，于是0≤a≤1。
a+2≤3⎩
点评：这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查集合的
概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。
例12．已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,
Sn1
)|n∈N*},B={(x,y)|x2－y2=1,x,y∈R}。
4n
试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：
（1）若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上； （2）A∩B至多有一个元素；
（3）当a1≠0时，一定有A∩B≠∅。
n(a1+an)SS1
,则n=(a1+an),这表明点(an,n)2n2n
S111
的坐标适合方程y=(x+a1),于是点(an, n)均在直线y=x+a1上。
222n
解：（1）正确；在等差数列{an}中，Sn=
11⎧y=x+a1⎪⎪22（2）正确；设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组⎨的解，由方程⎪1x2-y2=1⎪⎩4
组消去y得：2a1x+a12=－4(*)，
当a1=0时，方程(*)无解，此时A∩B=∅；
-4-a1
当a1≠0时，方程()只有一个解x=
2a1
*
2
2
⎧-4-a1⎪y=
2a1⎪
,此时，方程组也只有一解⎨,
2
⎪y=a1-4⎪4a1⎩
故上述方程组至多有一解。
∴A∩B至多有一个元素。
（3）不正确；取a1=1，d=1，对一切的x∈N*，有an=a1+(n－1)d=n>0,
Sn
>0，这时集n
合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1≠0 如果A∩B≠∅，
a+x03-4-a12
那么据(2)的结论，A∩B中至多有一个元素(x0,y0),而x0==-＜0,y0=1=＜
2a1524
0，这样的(x0,y0)∉A,产生矛盾，故a1=1,d=1时A∩B=∅，所以a1≠0时，一定有A∩B≠∅
是不正确的。
点评：该题融合了集合、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。 变式题：解答下述问题： （Ⅰ）设集合A={x|x-2x+2m+4=0},B={x|x
分析：关键是准确理解A⋂B≠ 的具体意义，首先要从数学意义上解释A⋂B≠的意义，然后才能提出解决问题的具体方法。 解：
2
2
命题⇔方程x2-2x+2m+4=0至少有一个负实数根,
设M={m|关于x的方程x2-2x+2m+4=0两根均为非负实数}, ⎧∆=4(-2m-3)≥0⎪3⎪
则⎨x1+x2=2>0⇒-2≤m≤-,
2⎪
⎪⎩x1x2=2m+4≥0
33∴M={m|-2≤m≤-设全集U={m|∆≥0}={m|m≤-
22
∴m的取值范围是
UM={m|m
(解法二)命题⇔方程的小根x=1--2m-31⇒-2m-3>1⇒m
（解法三）设f(x)=x-2x+4,这是开口向上的抛物线， 其对称轴x=1>0，则二次函数性质知命题又等价于f(0)
注意，在解法三中，f(x)的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单。 （Ⅱ）已知两个正整数集合A={a1,a2,a3,a4},
2
B={a1,a2,a3,a4},其中a1
若A⋂B={a1,a4},且a1+a4=10,且A⋃B的所有元素之和是124,求集合A、B.
分析：命题中的集合是列举法给出的，只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用，
2222
1≤a1
2
而a1+a4=10,∴a4=9,∴a4≠a4,
2(1)若a2=a4,则a2=3,∴A⋃B={1,3,a3,9,a3,81},
2
2
2222
∴a3+a3+94=124⇒a3=5;
(2)若a3=a4,则a3=3,同样可得a2=5>a3,与条件矛盾,不合;综上,A={1,3,5,9},B={1,9,25,81}.
（Ⅲ）设集合A={(x,y)|y=x+1},B={(x,y)|4x+2x-2y+5=0},
2
2
2
2
C={(x,y)|y=kx+b},问是否存在自然数k,b,使(A⋃B)⋂C=试证明你的结论.
分析：正确理解(A⋃B)⋂C=
,
,并转化为具体的数学问题.
,必须A⋂C=
且B⋂C=
,
要使(A⋃B)⋂C=(A⋂C)⋃(B⋂C)=
⎧y2=x+1由⎨⇒k2x2+(2kb-1)x+b2-1=0, ⎩y=kx+b
2
当k=0时，方程有解x=b-1,不合题意；
4k2+1
当k≠0时由∆1=(2kb-1)-4k(b-1)①
4k
2
2
2
⎧4x2+2x-2y+5=0又由⎨⇒4x2+2(1-k)x+5-2b=0,
⎩y=kx+b
20-(k-1)2
由∆2=4(1-k)-16(5-2b)
8
2
由①、②得b>k+120>1,而b
∵b为自然数，∴b=2，代入①、②得k=1
点评：这是一组关于集合的“交、并”的常规问题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容，才能由此寻求解决的方法。
题型6：课标创新题
例13．七名学生排成一排，甲不站在最左端和最右端的两个位置之一，乙、丙都不能站在正中间的位置，则有多少不同的排法？
解：设集合A={甲站在最左端的位置}，
B={甲站在最右端的位置}，
C={乙站在正中间的位置}，
D={丙站在正中间的位置}，
则集合A、B、C、D的关系如图所示，
765∴不同的排法有A7-4A6+4A5=2640种.
点评：这是一道排列应用问题，如果直接分类、分步解答需要一定的基本功，容易错，若考虑运用集合思想解答，则比较容易理解。上面的例子说明了集合思想的一些应用，在今后的学习中应注意总结集合应用的经验。
例14．A是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数ϕ(x)组成的集合：①对任意x∈[1,2]，都有ϕ(2x)∈(1,2) ； ②存在常数L(0
（1）设ϕ(x)=+x,x∈[2,4]，证明：ϕ(x)∈A
（2）设ϕ(x)∈A,如果存在x0∈(1,2),使得x0=ϕ(2x0),那么这样的x0是唯一的;
（3）设ϕ(x)∈A,任取xl∈(1,2),令xn+1=ϕ(2xn),n=1,2,⋅⋅⋅,证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式|xk+l
解：
对任意x∈[1,2],ϕ(2x)=+2x,x∈[1,2],≤ϕ(2x)≤,1
对任意的x1,x2∈[1,2]， Lk+1-xk|≤|x2-x1|H。 1-L
|
ϕ(2x1)-ϕ(2x2)|=|x1-x2|2
1+2x12+1+2x11+x2+1+x22，
3
3
21+2x12
2+1+2x11+x2+1+x222
1+2x12+1+2x11+x2+1+x2=L，
0
所以ϕ(x)∈A
'∈(1,2),x0≠x0'使得x0=ϕ(2x0),x0'=ϕ(2x0')。 反证法：设存在两个x0,x0
则由|ϕ(2x0)-ϕ(2x0)|≤L|x0-x0|，
得|x0-x0|≤L|x0-x0|，所以L≥1，矛盾，故结论成立。 ////
x3-x2=(2x2)-ϕ(2x1)≤Lx2-x1，
所以xn+1-xn≤Ln-1x2-x1
Lk-1
|xk+p-xk|=(xk+p-xk+p-1)+(xk+p-1-xk+p-2)+ (xk+1-xk)≤|x2-x1| 1-L
≤xk+p-xk+p-1+xk+p-1-xk+p-2+ xk+1-xk
≤Lk+p-2x2-x1+Lk+p-3x2-x1+„Lk-1x2-x1
LK-1
≤x2-x1。 1-L
点评：函数的概念是在集合理论上发展起来的，而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中，题目比较新颖
五．【思维总结】
集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。
1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如∈、∉、⊆、、=、CSA、∪，∩等等；
2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或
求解），一般应考虑先化简（或求解）；
3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。
① 区别∈与、与⊆、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；
② A⊆B时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ
③若集合A中有n(n∈N)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2，所有真子集的个数是2－1, 所有非空真子集的个数是2-2 ④区分集合中元素的形式：
如A={x|y=x2+2x+1}； nnn
B={y|y=x2+2x+1}；
C={(x,y)|y=x2+2x+1}；
D={x|x=x2+2x+1}；
E={(x,y)|y=x2+2x+1,x∈Z,y∈Z}；
F={(x,y')|y=x2+2x+1}；
yG={z|y=x2+2x+1,z=。 x
⑤空集是指不含任何元素的集合。{0}、φ和{φ}的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为A⊆B，在讨论的时候不要遗忘了A=φ的情况。
⑥符号“∈,∉”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“Ø,⊄”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。
逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力