例说平面图形阴影部分面积的求法
例说平面图形阴影部分面积的求法
连州市慧光中学 欧阳礼
[摘 要] 本文主要对平面图形中求阴影部分面积，作具体的方法介绍。 [关键词] 作差法 等积法 重叠法 割补法 位移法 特值法 方程法
九年制义务教育课本中“求阴影部分面积”的题目大量出现，并且在中考和数学竞赛中，也逐步增多出现。不规则阴影部分常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的。此类题目能较好地考查学生的识图能力和数学综合知识。本文通过实例介绍求阴影部分面积的几种常用方法。
（一）和差法。
对于求图形面积问题，计算时往往将所求图形的面积转化为规则图形的面积和或差，这是求面积的常用方法．
【例1】如图1，正方形的内切圆的半径为r ，这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形，其中一个弓形的面积是（ ）。
(π-2)r 2 (π-1)r 2
（A ；（π－1）r ； （D ）(π－2) r. （B ； （C ）
2
2
2
2
解：一个弓形的面积等于正方形外接圆面积与正方形面积的差的四分之一，得
2(1⎡π-2)r 22⎤ S 阴影=π2r -(2r )=
⎢⎥⎣⎦2故选（B ）。 4
图2 图1
【例2】如图2，已知边长为a 的正方形ABCD 内接于⊙O ，分别以正方形的各边为直径向正方形外作半圆，求四个半圆与⊙O 的四条弧围成的四个新月形的面积。
解：四个新月形的面积S 等于正方形面积与四个半圆面积的和减去⊙O 的面积：
2 2
⎛⎫1a 2⎛⎫2
a ⎪=a 2 S =a +4⨯π ⎪-π
)
【例33，B 是AC 上的一点，分别以AB 、BC 、AC 为直径作半圆，从B 作BD ⊥AC ，与半圆相交于D 。求证：图中阴影部分面积等于以BD 为直径的圆的面积。
证：∵AC=AB＋BC, 222
πAC πAB πBC π⎛⎫⎛⎫⎛⎫ S 阴影=⋅ -⋅-⋅=AB ·BC ⎪ ⎪⎪2 2⎝2⎭2⎝2⎭2⎭24⎛BD 2⎫⎝π BD 为直径的圆面积以S 圆=π=BD ⎪
4 ⎝2⎭
2
因BD ⊥AC ，∠ADC=90°，故BD =AB·BC .
2⎝2⎭
2⎝⎪⎭
∴ 阴影部分面积等于以BD 为直径的圆的面积。
A B
D C O
图4 图3
（二）等积法。
一个图形的面积不易求或难以求出时，常借助于两个图形之间的面积相等来进行转化，改求与其面积相等的图形面积．
【例4】如图4，ABCD 为⊙O 的内接梯形，AB ∥CD ，且CD 为直径，如果⊙O 的半径为r ，∠ACB =15°，那么图中阴影部分的面积等于 。
解：连结OA 、OB ，
∵AB ∥CD ， ∴△OAB 与△CAB 等积, 又∠AOB = 2∠ACB = 30°.
1
S 阴影=S 扇形OAB =π⋅r 2 ∴
【例5】如图5，已知半圆的直径AB = 40cm ，点C 、D 是这个半圆的三等分点，求弦AC 、AD 和弧 围
︵
成的图形的阴影面积ＳCD .
B
图5
图6
解：连结OC 、OD . ⌒ ⌒
∠ADC ＝∠CD ∥S △ACD ＝S △OCD AC= BD
1202⋅π200π2
S =S =S ==cm 阴影⊙O 扇形OCD 663
【例6】已知，如图6，⊙O
的半径为1，C 是⊙O 上一点，以C 为圆心，以1为半径作弧与⊙O 相交于A 、B 两点，则图中阴影部分的面积是 。
解：连结AB ，则S
阴影 =2×S
弓形ACB 。
11∵ OD =OC =
22
12
()
可得∠OAB ＝30°，从而∠AOB ＝120°，
120π11π∴ S 弓形=-⨯⨯=-3602234
23
所以 S 阴影=π-
32
（三）重叠法。
把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。
【例7】如图7，正方形ABCD 的边长为a ，以每边为直径在正方形内作半圆，求中间所围成的阴影部分的面积。
D C
A B
图8
图7
解：阴影部分的面积可看作是四个同样的半圆重叠面积减去正方形面积。 2
1a π⎫2⎛⎫ S 阴影=4⋅π ⎪-a 2=⎛ -1⎪a 2⎝2⎭⎝2⎭
说明：此题也可用“作差法”来解：阴影部分面积等于半圆AOB 的面积减去直角三角形AOB 的面积所得差的4倍。
1⎫⎛π⎛1⎫
∴ S 阴影=4 π⋅a 2-a 2⎪= -1⎪a 2
4⎭⎝2⎭⎝8
【例8】已知，如图8，菱形ABCD 的两条对角线长分别为a 、b ，分别以每边为直径向形内作半圆，求4条半圆弧围成的花瓣形面积（阴影部分的面积）。
解：设以BC 为直径的半圆面积为S 半圆，则
1所以 S 半圆-S ∆OBC =S 花瓣 4 2
22
1⎡1⎛a ⎫⎛b ⎫⎤ab
S 花瓣=4S 半圆-S 菱形ABCD =4⨯π⎢ ⎪+ ⎪⎥-
2⎢2⎝2⎭⎝2⎭⎥2
⎣⎦
πa 2+b 2-4ab
. =
8
【例9】如图9，正三角形的边长为a ，以各边为弦，向形内作
三条120°的弧，求中间阴影部分的面积。
解：阴影部分的面积可看作三个同样的弓形重叠面积减去三角形面积。
⎛π⎫232⎛π3⎫2
S -⎪a -⎪a a = -阴影
=3 ⎪ ⎪4 ⎝912⎭⎝32⎭
2
⎛⎫120312
（说明：一个弓形的面积是π a ⎪-⋅a ）
()
360 ⎝3⎪
⎭
26
D A
C B
图9 图10
（四）割补法。
将一个图形的一部分割下来，而移放到其他合适位置上，从而构成易求面积的图形，这种求面积的方法叫做割补法．
【例10】如图10，ABCD 是面积为1的正方形，△PBC 为正三角形，则△PBD 的面积为（ ）。
（A ）
1-13-123-1 ； （B ）； （C ）； （D ）； （E ）。
42484
解：连结AC 交BD 于O ，连结PO ，则△PBD 被分为两部分：△PBO 与△POD ，
且S △PBO = S△POC = S△POD .
∴
111-1
S ∆PBD =S ∆PBC -S ∆OBC =⨯⨯1-⨯1⨯=
故应选（B ）。
⌒ ⌒ 是⊙O 的圆周长的1/4 ，在 【例11】如图11，⊙O 的半径为r ， 上取与A 、C 等距的两点B 、AC AC D ，且AB =DC =15。作BE ⊥OC 于E ，DF ⊥OC 于F ，求曲边梯形BEFD 的面积。
解：由已知条件，易证得△ODF ≌△BOE ，于是可把梯形GEFD 割下来补到△OGB 上，即梯形GEFD 的面
积等于△OGB 的面积。
60π22S =S =π⋅r =r 曲边梯形BEFD 扇形OBD 3606
A F
E A
B C
22224
︵
︵
图12
图11
【例12】如图12，⊙A 、⊙B 、⊙C 两两不相交，且半径都是0.5cm ，则图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为（ ）。
(D )πcm 2. (A )⋅πcm 2; (B )πcm 2; (C )πcm 2;
12864
解：三圆是等圆，可把三个扇形割补到同一个圆中，所得扇形的圆心角是180°（即得半圆）。
1π22
()∴S =π⋅0. 5=cm 阴影
故选（B ）。 28
（五）位移法。
把一个图形通过平移变换或旋转变换，使题目中不相关或关系不密切的几何元素相对集中，以便于研究它们之间的关系。这种变换是全等变换，图形的面积没有改变，而变换后往往容易找到面积的求法。
【例13】如图13，两个半圆，大半圆的弦CD 平行于直径AB ，且与小半圆相切，已知CD = 24，试求大半圆中挖去小半圆后剩下部分的面积。
D C D
B A
O A B O
图13
解：为了计算方便，可把小半圆移动，使它与大半圆同心（如图14），它的阴影部分面积与原来的阴影部分面积相等。此时有CM = 12，则
πππ
S 阴影=⋅OC 2-⋅OM 2=⋅CM 2=72π
222
【例14】如图15左图，以正方形的一个顶点为圆心，边长a 为半径作半圆，则图中阴影部分的面积是_________。
分析：左图中可以这样计算S 阴影=S 扇形+S 正方形-S 三角形-S 扇形. 但是这样计算比较麻烦。如果把左边阴影，沿着圆弧顺时针旋转，与右边阴影相接（如右图），阴影结合成三角形；还可把左边阴影图形按中心线翻折，两部分阴影部分相接成三角形。求出三角形面积就可以了，并且此三角形的面积是正方形面积的一半。可得
图14
S 阴影=
12a . 2
图15
（六）特值法。
特值法意指用一个特殊的数值代替题中的某些未知量，使得计算简单化，从而找到计算方法，再从特殊到一般通过归纳、猜想出解题方法，这种方法也常常用在求解图形的面积的题型中。
【例14】如图16，在半圆的直径AB 上取一点C ，分别以AC 、BC 为直径作半圆，过点C 作CD ⊥AB 交圆于D ，CD 的长为h ，则阴影部分面积为（ ）。
（A ）π⋅h ； （B ）π⋅h ; （C ）πh ; （D ）πh .
1
3
2
14
2
15
2
16
2
解：设直径AB = 4，且C 与圆心O 重合，则
1 22
S 阴影=π⋅2-π⋅1=π
2
因C 与O 重合，所以h = 2，当h = 2时，
1A 只有π⋅h 2=π O 4
B
故应选（B ）。
图16
（七）方程法。 将图形按形状、大小分类，并设其面积为未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法。 【例15】如图17，已知正方形的边长为1，分别以A 、B 、C 、D 四点为圆心，以1为半径画弧，则所得四个扇形的公共部分的面积是（ ）。
πππ1()C ⋅-1; ()()()A ⋅1-3+; B ⋅2--; D . 2384
A
D A Z
Y Y Y
Z Z X Z Z
X
Y Y Y Y Z Z α C B C B
图18 图17
解：由对称性，用x 、y 、z 分别表示曲边形的面积，则
⎧π ① x +3y +2z =⎪
4 ⎪π⎪ y +2z =1-② ⎨
4 ⎪ ππ3⎪ x +2y +z =+-③ ⎪664⎩
π
解之，得x =1-+
3
00
（说明：上面方程组中，①是圆心角为90的扇形面积，②是正方形面积－圆心角为90的扇形面积，
③是线段BC 、弧CE 、弧EB 围成的面积=2×圆心角为60的扇形面积－正三角形△BCE 的面积。）
故选（A ）。
【例16】如图18，以边长为2a 的正三角形的各顶点为圆心为半径作弧，求阴影部分的面积。 2a
解：由对称性，用x 、y 、z 分别表示曲边形的面积。作如图辅助线。
a 2
∵cos α= ∴α= 45° =
22a
于是x ＋z 可看作半径为2a ，含（45×2）°弧的弓形面积。
22π1π
x +z =2a -2a =a 2-a 2
4
)
2
)
2
∴ ① 又由图可知：
x ＋3y ＋3z =Ｓ△ＡＢＣ= 3a ② x ＋y ＋2z =
2
π
2a )6
2
=
π
3
a 2 ③
1
π+23-6a 2 .
2
解由（1）、（2）、（3）联立的方程组，得x =
()
，圆心角为90
°的扇形面积是
π
4
，而所含直角三角形的面积为
)
2
12
。②式△ABC 的底与高分别是2a
. ③式表示圆心角为60
的扇形面积。）
)
2
【例17】如图19，ABCD 是长方形，图中的数字是各部分的面积数，求图中阴影部分的面积.
解：注意到△AFD 和△CED 的面积都等于长方形ABCD 的面积的一半，△ADE 与△BCE 的面积的和也等于长方形ABCD 面积的一半。
设阴影部分面积为x, 图中另一部分的面积为y （标注在图上），则有
S
AFD
=S
ADE
+S
BCE
=
1
S 2长方形ABCD
即有 x＋y ＋65=（65+20）+（y+50+15） 解得 x=85. 所以 S 阴影=85。
D A
65
E 70
Y 50
15
C F 图19
以上通过例题讲解了各类求阴影部分面积习题的不同解法，当然，几何习题中阴影部分面积的求法不只以上几种。在解此类题目时，只要深入审题，具体问题具体分析，就能找到一种合理、简捷、恰当的解题方法。