椭圆及其标准方程导学案
2.2.1 椭圆及其标准方程导学案(第一课时)
营山二中 龚玉伦
【学法指导】1. 仔细阅读教材(P 38—P 40),独立完成导学案,规范书写,用红色笔勾画 出疑惑点,课上讨论交流。
2. 通过动手画出椭圆图形,研究椭圆的标准方程。
【学习目标】1. 掌握椭圆的定义,标准方程的两种形式及推导过程。
2.会根据条件确定椭圆的标准方程,掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。
3.通过对卫星发射的再现, 培养学生爱国主义情操, 民族自豪感, 通过对天体运动的分析, 激发学生的求知欲. 【学习重、难点】
学习重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程.
学习难点:椭圆的标准方程的推导,椭圆的定义中常数加以限制的原因.
【预习案】
预习一:椭圆的定义(仔细阅读教材P 38,回答下列问题)
1. 取一条定长的细绳,把细绳的两端拉开一段距离,分别用图钉固定在图板的两个点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线 ,在移动笔尖的过程中,细绳的 保持不变,即笔尖到两定点的距离之和等于 .
2. 思考下列问题:
(1)作图的过程中哪些量没有变?
的位置不变, 的长度不变。 (2)为什么作图过程中笔尖要绷紧?
保证无论笔尖移动到任何位置,笔尖到两定点到距离之和
(3)笔尖所对应的动点M 到两个定点F 1、F 2的距离有什么长度之间的关系? = 绳长
3. 平面内与两个定点F 1,F 2的的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 叫做椭圆的 , 叫做椭圆的焦距。
预习二:对椭圆定义的理解
1.将“大于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”的常数,其他条件不变,点的轨迹是 2.将“大于|F 1F 2|”改为“小于|F 1F 2|”的常数,其他条件不变,点的轨迹存在吗?
预习三:椭圆的标准方程及其推导:(仔细阅读教材P 39-P 40,回答下列问题)
思考:用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤是什么?
(1) (2) (3) (4) (5)
根据定义推导椭圆标准方程:取过焦点F 1, F 2的直线为x 轴,线段F 1F 2的垂直平分线为y M (x , y ) 为椭圆上的任意一点,椭圆的焦距是
2c (c >0). 则F 1(-c , 0), F 2(c , 0) ,又设M 与F 1, F 2距离之和等于2a (2a >2c ) ∴P ={M MF (a >0)
1+MF 2=2a }
又 MF 1=,MF 2=∴(x +c ) 2+y 2+(x -c ) 2+y 2=2a ∴(x +c ) 2+y 2=2a -,
等式两边平方整理得:a (x -c ) 2+y 2= , 等式两边再平方整理得:(a 2-c 2) x 2+a 2y 2=a 2(a 2-c 2) ,
22
由定义2a >2c , ∴a -c >0
x 2y 2
=1 ① 两边同除以a (a -c ) 得 2+2
2
a a -c
2
2
2
观察右图,你能从中找出表示a , c , a 2-c 2的线段吗?
= a ; = =c ; =
2
2
a 2-c 2
x 2y 2
令a -c =代入①,得 2+2=1(a >b >0) ②
a b
由曲线与方程的关系可知,方程②为焦点在x
它的焦点在x 轴上,两个焦点坐标分别是 ,其中a , b , c 满足的关系式为
【探究案】
探究一:推出焦点在y 轴上的椭圆的标准方程:
如果焦点F 1,F 2在y 轴上,且F 1,F 2的坐标分别为(0, -c ), (0, c ) ,a , b 的意义同上,那么由P =M MF 1+MF 2=2a (a >0)得
与(x +c ) +y +(x -c ) +y =2a 相比较,只需
2
2
2
2
{}
将 对调就可得到焦点在y 轴上的椭圆的标准方程
它的焦点在y 轴上,两个焦点坐标分别是 ,其中a , b , c 满足的关系式为
探究二:对椭圆标准方程的认识
1. 椭圆的标准方程有什么特点?
①椭圆的标准方程的形式: 左边是,右边是 ②椭圆的标准方程中a 、b 的关系是
2. 如何区分焦点在x 轴上的椭圆的标准方程与焦点在y 轴上的椭圆的标准方程?
结论:看标准方程中x ,y 分母的大小,哪个分母。
22
x 2y 2x y 例如:判断:方程+=1的焦点是在x 轴上还是在y 轴上? +=1与
916169
22
探究三:椭圆定义的应用
例:已知椭圆两个焦点的坐标分别是(-2, 0), (2, 0) ,并且经过点(, -) ,求它的标准方程。 (解法指导:根据椭圆的定义|MF 1|+|MF 2|=2a (a >0) ,先求出a ,再利用a , b , c 的关系求出b )
思考:你还能用其他方法求它的方程吗?
5232
【练习案】
【自我测评】
1. 下列方程哪些表示椭圆?若是, 则判定其焦点在哪条坐标轴上?
x 2y 2x 2y 2
(1)+=1(2)+=1
25161616
x 2y 2
(3) 2+2=1 (m ≠0) (4) 9x 2-25y 2=225
m m +1
2. 口答:
x 2y 2
①2+2=1则a = ,b = , 焦点在 轴上;
53x 2y 2
②2+2=1则a = ,b = , 焦点在 轴上;
46x 2y 2
+=1则a = ,b = , ③
焦点在 轴上。 96
x 2y 2
+=1 (m >0, n >0) 表示焦点在x 轴或y 轴上的椭圆? 思考:当m,n 满足什么条件时,方程
m n
x 2y 2
+=1的焦点坐标是 焦距是 3. 椭圆54
4. 椭圆 2x 2+y 2=16 的焦点坐标是焦距是x 2y 2
+=1 上一点P 到焦点F 1的距离等于6,那么点P 到另一个焦点F 2的距离是 5. 如果椭圆
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【巩固练习】
写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1) a =4, b =1, 焦点在x 轴上
(2) a =4, c =焦点在y 轴上
(3) a +b =10, c = 【检测案】
你在这堂课上学到了什么?
【作业】
习题2.2 A组 2
【板书设计】