中考数学专题复习--折叠剪切问题

中考数学专题复习——折叠剪切问题

折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题，学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题.

一、折叠后求度数

【1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ）

000

A ．

60 B．75 C．90 D．95

答案：C

【2】如图, 把一个长方形纸片沿EF 折叠后, 点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置，若∠EFB

＝65°，则∠AED ′等于（ ）

A ．50° B．55° C ．60° D．65° 答案：A

【3】 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平

就可以得到如图（2）所示的正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝ 度.

图 （2） 图（1）

第3题图 答案：36°

二、折叠后求面积

【4】如图, 有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为

AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为（ ） A ．4 B ．

6 C ．8 D ．10

答案：C

【5】如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中

的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是

A ．2 B．4 C．8 D．

10

答案：B

【6】如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm 。操

作：

（1）将AB 向AE 折过去，使AB 与AE 重合，得折痕AF ，如图b ；（2）将△AFB 以BF 为折痕向右折过去，得图c 。则△GFC 的面积是（ ）

D D A

G

C C F C

图b 图c 图a

第6题图

A.1cm 2 B.2 cm2 C.3 cm 2 D.4 cm 2 答案：B

三、折叠后求长度

【7】如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC ，则CE 的长是（ ） （A

）15 （B

）10-

（C ）

-

5 （D

）

20-

答案：D 第7题图 四、折叠后得图形

【8】将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）

第8题图

A ．矩形 B．三角形 C．梯形 D．菱形

答案：D

【9】在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（ ）

A. B. C. D.

第9题图 答案：D

【10】小强拿了张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次如图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是( )

答案：D 第10题图

【11】将一圆形纸片对折后再对折，得到图1，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，

其中一部分展开后的平面图形是（ ）

图3

图1

A B C

D

第12题图

答案：C

【12】如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（ ）

答案：C

【13】 如图，已知BC 为等腰三角形纸片ABC 的底边，AD ⊥BC ，AD=BC. 将此三角形纸片

沿AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3

D. 4

答案：D

五、折叠后得结论

【14】亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影. 请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于_______°. ”

（2）

（1） 第15题图

第17题图 答案：180

【15】从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形(如图1) ，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2) ，上述操作所能验证的等式是（ ）

A.a 2–b 2 =(a+b)(a-b) Ｂ.(a–b) 2 = a2–2ab+b 2

Ｃ.(a+b)2 = a 2 +2ab+ b 2 Ｄ.a 2 + ab = a (a+b) 答案：A

【16】如图，一张矩形报纸ABCD 的长AB ＝a cm，宽BC ＝b cm，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ∶b 等于（ ）． A ．2:1 B．1:2 C．3:1 D．1

:3

M

C

E

B

答案：A

A

第19题图

六、折叠和剪切的应用

【17】将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G （如图）.

（1）如果M 为CD 边的中点，求证：DE ∶DM ∶EM=3∶4∶5； （2）如果M 为CD 边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG 的周长是否与点M

的位置有关？

若有关，请把△CMG 的周长用含DM 的长x 的代数式表示；若无关，请说明理由.

315

答案：（1）先求出DE=AD ，DM =AD ，EM =AD 后证之.

288

（2）注意到△DEM ∽△CMG ，求出△CMG 的周长等于4a ，从而它与点M 在CD 边上的位置无关.

【18】同学们肯定天天阅读报纸吧? 我国的报纸一般都有一个共同的特征:每次对折后, 所得的长方形和原长方形相似, 问这些报纸的长和宽的比值是多少? 答案：2∶1.

【19】用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD 沿着直线CM 剪成两部分, 其中M 为AD 的中点. 用这两部分纸片可以拼成一些新图形, 例如图2中的Rt △BCE 就是拼成的一个图形. E D A A B B C 图1 图2 图3 图4

第21Rt 题图 外, 还可以拼成一些四边形. 请你 (1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的△BCE

试一试, 把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.

(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt △BCE 是等腰直角三角形, 设原矩形纸片中的边AB 和

BC 的长分别为a 厘米、b 厘米, 且a 、b 恰好是关于x 的方程x -(m -1) x +m +1=0的两个实数根, 试求出原矩形纸片的面积.

答案：（1

）如图

E

2

E B

图3

C

第21题答案图

B

图4

C

（2）由题可知AB ＝CD ＝AE ，又BC ＝BE ＝AB ＋AE

∴BC ＝2AB ， 即b =2a

由题意知 a , 2a 是方程x 2-(m -1) x +m +1=0的两根 ∴⎨

⎧a +2a =m -1

a ⋅2a =m +1⎩

消去a ，得 2m 2-13m -7=0

1

解得 m =7或m =-

2经检验：由于当m =-

131

，a +2a =-

m =7符合题意.

∴S 矩形=ab =m +1=8

答：原矩形纸片的面积为8c m 2.

【20】电脑CPU 蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片，叫“晶圆片”。现为了生产某种CPU 蕊片，需要长、宽都是1cm 的正方形小硅片若干。如果晶圆片的直径为10. 05cm 。问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由。（不计切割损耗）

答案：可以切割出66个小正方形。 方法一：

（1）我们把10个小正方形排成一排，看成一个长条形的矩形，这个矩形刚好能放入直径为10. 05cm 的圆内，如图中矩形ABCD 。

∵AB ＝1 BC＝10

∴对角线AC ＝100＋1＝101＜10. 05 （2）我们在矩形ABCD 的上方和下方可以分别放入9个小正方形。

2

2

E A B F

H D C G

∵新加入的两排小正方形连同ABCD 的一部分可看成矩形EFGH ，矩形EFGH 的长为9，高为3，对角线EG =9+3=81+9=90＜10. 05。但是新加入的这两排小正方形不能是每排10个，因为：

2

2

2

2

102+32=100+9=109＞10. 052

222

（3）同理：8+5=64+25=89＜10. 05

9+5=81+25=106＞10. 05

∴可以在矩形EFGH 的上面和下面分别再排下8个小正方形，那么现在小正方形已有了5层。

（4）再在原来的基础上，上下再加一层，共7层，新矩形的高可以看成是7，那么新加入的这两排，每排都可以是7个但不能是8个。

222∵7+7=49+49=98＜10. 05

222

82+72=64+49=113＞10. 052

（5）在7层的基础上，上下再加入一层，新矩形的高可以看成是9，这两层，每排可以是4个但不能是5个。

222∵4+9=16+81=97＜10. 05

52+92=25+81=106＞10. 052

现在总共排了9层，高度达到了9，上下各剩下约0. 5cm 的空间，因为矩形ABCD 的位置不能调整，故再也放不下一个小正方形了。

∴10＋2×9＋2×8＋2×7＋2×4＝66（个） 方法二：

学生也可能按下面的方法排列，只要说理清楚，评分标准参考方法一。 可以按9个正方形排成一排，叠4层，先放入圆内，然后： （1）上下再加一层，每层8个，现在共有6层。

（2）在前面的基础上，上下各加6个，现在共有8层。 （3）最后上下还可加一层，但每层只能是一个，共10层。 这样共有：4×9＋2×8＋2×6＋2×1＝66（个）

【21】在一张长12cm 、宽5cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形. 李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH （见方案一），张丰同学沿矩形的对角线AC 折出∠CAE=∠DAC ，∠ACF=

∠ACB 的方法得到菱形AECF （见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？

答案：（方案一）

A

D

（方案一）

第23题图

E

（方案二）

S 菱形=S 矩形-4S AEH

15

=12⨯5-4⨯⨯6⨯

22

2

=30(cm) （方案二）

设BE=x，则

CE=12-x

∴AE ==由AECF 是菱形，则AE =CE

2

2

∴25+x 2=(12-x ) 2

∴x =

119

24

S 菱形=S 矩形-2S ABE =12⨯5-2⨯⨯5⨯ ≈35.21(m)

比较可知，方案二张丰同学所折的菱形面积较大.

【22】正方形提供剪切可以拼成三角形。方法如下：

第24题图（1）

12119

24

仿上面图示的方法，及韦达下列问题： 操作设计：

（1）如图（2），对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形。

第24题图（2） 第24题图（3）

）对于任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个原三角（2）如图（3

形等面积的矩形。

答案：（1） 方法一： 方法二：

第24题答案图（1） 第24题答案图（2）

（2）略。

【23】如图，⊙O 表示一圆形纸板，根据要求，需通过多次剪裁，把它剪成若干个扇形面，操作过程如下：第1O 次剪裁，将圆形纸板等分为4个扇形；第2次剪裁，将上次得到的扇形面中的一个再等分成4个扇形；以后按

第25题图 第2次剪裁的作法进行下去.

(1)请你在⊙O 中，用尺规作出第2次剪裁后得到的7个扇形(保留痕迹，不写作法). (2)请你通过操作和猜想，将第3、第4和第n 次裁剪后所得扇形的总个数(S)填入下表

(3)请你推断，能不能按上述操作过程，将原来的圆形纸板剪成33个扇形？为什么？ 答案：(1)由图知六边形各内角相等. (2) 七边形是正七边形.

(3)猜想：当边数是奇数时(或当边数是3，5，7，9，„时) ，各内角相等的圆内接多边形是正多边形.

【24】如图，若把边长为1的正方形ABCD 的四个角(阴影部分) 剪掉，得一四边形A 1B 1C 1D 1. 试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的

5

9

，请说明理由(写出证明及计算过程).

答案：剪法是：当AA 1=BB1=CC1=DD1=

13或2

3时， 四边形A 5

1B 1C 1D 1为正方形，且S=9

.

在正方形ABCD 中， AB=BC=CD=DA=1，

∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AA 1=BB1=CC1=DD1， ∴A 1B=B1C=C1D=D1A.

∴△D 1AA 1≌△A 1BB 1≌△B 1CC 1≌△C 1DD 1. ∴D 1A 1=A1B 1=B1C 1=C1D 1，

∴∠AD 1A 1=∠BA 1B 1=∠CB 1C 1=∠DC 1D 1. ∴∠AA 1D+∠BA 1B 1=90°，即∠D 1A 1B 1=90°. ∴四边形A 1B 1C 1D 1为正方形. 设AA 1=x， 则AD 1=1－x.

∵正方形A 1B 1C 1D 1的面积=

59

， ∴S 1△AA1D1=9 即1

2x(1－x)=19

， 整理得9x 2－9x+2=0.

解得x 11=

3，x 2

2=3. 当AA 12

1=3时，AD 1=3，

当AA 21

1=3时，AD 1=3

.

∴当AA 1=BB1=CC1=DD1=

12

或时， 33

5. 9

四边形A 1B 1C 1D 1仍为正方形且面积是原面积的

折叠问题专题研究

上虞市滨江中学 潘建德

一、教学目标：

1、理解折叠问题的本质

2、了解折叠问题解题策略，学会应用这些策略解决折叠问题 3、渗透方程思想及中考复习以“本”为本的导向 二、教学重点：通过动手操作、应用轴对称性解决折叠问题 三、教学难点：折叠型综合题的分析 四、教学过程：

AB （如图1），第二次翻折，折痕为PQ

（如图2），第三次翻折使PA 与PQ 重合，折痕为PC （如图3），第四次翻折使PB 与PA 重合，折痕为PD （如图4）．此时，如果将纸复原到图1的形状，则∠CPD 的大小是（ ）

A ．120 B ．90 C ．60 D ．45

1、引入：出示08绍兴8题：将一张纸第一次翻折，折痕为

此题凸显的主题是图形的折叠，折叠问题在近几年的中考中越来越常见，据统计，在08年我省11个地区的中考卷中有7个地区都出现了折叠型考题，其中有5个地区中考卷的压轴题是折叠型问题，包括绍兴地区，折叠问题已成为中考的热门问题之一．点出课题．

2、解题策略（一）——重过程“折”

（1）如何迅速且准确地解决08绍兴卷第8题？（学生：动手折一折）学生动手操作，后教师归纳：题型一：考察空间想象能力与动手操作能力的实践操作题．解题策略：重过程——“折”．

（2）学生进一步尝试．题2：（2008山东东营）将一正方形纸片按下列顺序折叠，然

后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

B E F

C

3、解题策略(二) ——重本质“叠”

（1）本质探究：题3：如图，长方形ABCD 沿AE 折叠，使D 落在边BC 上的F 点处，如果∠BAF=30°，AD=2，则∠DAE=___，EF=_______．

学生解决后讲解方法，教师：显然，折叠问题不能只靠动手操作来解决，我们必须透过现象看本质．那么折叠的本质是什么呢？学生讨论后教师归纳：折叠问题的实质是图形的轴对称变换，所以在解决折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质．根据轴对称的性质可以得到：（1）轴对称是全等变换：折叠重合部分一定全等（有边、角的相等）；（2）点的轴对称性：互相重合两点（对称点）之间的连线必被折痕（对称轴）垂直平分（有Rt △，可应用勾股定理得方程）．

（2）初步应用：题4：08丽水8：如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA 'E 是菱形，则下列说法正确的是 （ ）

A ． DE 是△ABC 的中位线 B ． AA '是BC 边上的中线 C ． AA '是BC 边上的高 D ． AA '是△ABC 的角平分线

（3）题5：09绍兴市属期末23．（本题满分12分）

课堂上，老师出示了以下问题，小明、小聪分别在黑板上进行了板演，请你也解答这个问题： 在一张长方形ABCD 纸片中，AD ＝25cm, AB＝20cm ． 现将这张纸片按如下列图示方式折叠，分别求折痕的长．

(1) 如图1, 折痕为AE;

(2) 如图2, P，Q 分别为AB ，CD 的中点，折痕为AE; (3) 如图3, 折痕为EF ．

D

E A

A '

（第8题）

分析：此题虽有多种说明方法，即可应用折叠的全等性得到，也可根据折叠的点轴对称性得到．

分析：题（1）题（2）主要应用折叠的全等性，题（3）连结对称点的连线BD ，根据

5

41，同时根据矩形的中心对 2

41

称性知，EF=2E0，在Rt △CDE 中，根据勾股定理可解得DE=, 根据折叠全等性

2

41

得BE=DE=, 在Rt △BOE 中根据勾股定理得EO=241, 故EF=441．由此题

2

折叠中点的轴对称性得EF 是BD 的中垂线，BO=

得心得：在解决折叠类计算题时，根据Rt △的勾股定理应用方程思想是常用方法． 题后说明：此题（2）是课本习题原题，（1）、（3）都根据课本原题改变而成．根据

课本原题改变成中考题，是中考卷出题的一个新的方向，所以我们在中考复习中仍应以“本”为本，不断对课

本习题进行探索和挖掘．

（4）题6：08绍兴24题（2）（3）（简述）：将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，O (0，0) ，

A (6，0) ，

C (0，3) ．OP =6-t ，OQ =t +

2

． 3

（1）当t =1时，如图1，将△OPQ 沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D

的坐标；

（2）连结

AC ，将△O P Q 沿PQ 翻折，得到△EPQ ，如图2．问： PE 与AC 能否垂直？

图1

（第24题图）

此题（1）让学生自己解决，教师适当点拨．题(2)根据情况可留作课后解决，教师点透解题的着眼点．

4、反思小结:

折叠问题题型多样，变化灵活，从考察学生空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题．其中“折”是过程，“叠”是结果．

折叠问题的实质是图形的轴对称变换，所以在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质．借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问

题，可以使得解题思路更加清晰，解题步骤更加简洁．

初中几何综合复习（讲稿）—矩形折叠问题

同学们好，今天我和大家一起研究平面图形的折叠问题。

首先，在最近几年的中考中题折叠问题中频频出现，这对于我们识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求。希望通过今天的讨论，使同学们对折叠问题中有关的几何图形之间的位置关系和数量关系有进一步认识；在问题分析和解决的过程中巩固头脑中已有的有关几何图形的性质以及解决有关问题的方法；并在观察图形和探索解决问题的方法的过程中提高分析问题和解决问题的能力。 那么，什么是折叠问题呢？

这个问题应分两个方面，首先什么是折叠，其次是和折叠有关的问题。下面我们将对它们分别进行讨论 一. 折叠的意义

1．折叠，就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180º，使它与另一部分在这条直线的同旁，与其重叠或不重叠；显然，“折”是过程，“叠”是结果。

如图（1）是线段AB 沿直线l 折叠后的图形，其中OB' 是OB 在折叠前的位置； 图（2）是平行四边形ABCD 沿着对角线AC 折叠后的图形，△ABC是△AB'C在折叠前的位置，它们的重叠部分是三角形；

(2)图形在折叠前和折叠后翻折部分的形状、大小不变，是全等形 如图（1）中OB'=OB；

如图（2），△AB'C≌△ABC；

(3) 图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称 如图（1）OB' 和OB 关于直线l 成轴对称；

如图（2）△AB'C和△ABC关于直线AC 成轴对称。 二．和折叠有关的问题

图形经过折叠，其翻折的部分折叠前的图形组合成新的图形，新的图形中有关的线段和角的位置、数量都有哪些具体的关系呢？这就是我们今天要重点讨论的问题。下面，我们以矩形的折叠为例，一同来探讨这个问题。 问题1:

将宽度为a 的长方形纸片折叠成如图所示的形状，观察图中被覆盖的部分△A'EF.

（a ）△A'EF是什么三角形？ 结论：三角形AE'F 是等腰三角形

证明：方法一，∵图形在折叠前和折叠后是全等的, ∴∠1= ∠2,

又∵矩形的对边是平行的∴∠1=∠3,∴∠2=∠3, ∴A'E=A'F

三角形AE'F 是等腰三角形 方法二：

∵图形在折叠前和折叠后的形状、大小不变，只是位置不同

∴表示矩形宽度的线段EP 和FQ 相等，即∆A'EF 的边A'E 和A'F 上的高相等， ∴A'E=A'F

三角形AE'F 是等腰三角形 (b)改变折叠的角度α的大小，三角形A'EF 的面积是否会改变？ 为什么?

答：不会改变。

分析：

α的改变影响了A'E 的长度，但却不能改变边A'E 上的高，三角形A'EF 的面积会随着α 的确定而确定. 例一：在上面的图中，标出点A' 在折叠前对应的位置A, 四边形A'EAF 是什么四边形？ 分析：

（1）由前面的分析可知A' 与A' 在折叠前的位置A 关于折痕EF 成轴对称, 所以作A' 关于EF 的对称点即可找到点A （过点A' 作A'A⊥ EF 交矩形的边于点A ）。 同学们还可以动手折叠一下，用作记号的方法找到点A 。 （2）四边形AEA'F 是菱形

证法一：∵ A是A' 在折叠前对应的位置, ∴A和A' 关于直线EF 轴对称, ∴AA'⊥EF,且AO=A'O,

又∵AE∥A'F,∴EO∶OF=AO∶OA', ∴EO=OF∴四边形AEA'F 是菱形 证法二：

A 是A' 在折叠前对应的位置, ∴∆AEF≌∆A'EF, A'E=A'E,AF=AF，

又∵∆AEF 是等腰三角形（已证）,A'E=A'F, ∴AE=AF=A'E=A'F,

∴四边形AEA'F 是菱形.

图中被覆盖的部分是等腰三角形，其腰上度2, 所以，本题的解题或A'E 的长。

答：S 四边形AEA'F ＝2S△A'EF=(8/3)√3 （解答过程略）

例

2. 在上题的图中, 若翻折的角度

α=30°,a=2,求图中被覆盖的部分△A'EF.的面积. 。 分析： △A'EF

的高就是原矩形的宽关键就是要求出腰A'F

练一练：当α的大小分别45°、60°时，图中被覆盖的部分△A'EF.的面积是多少？

例题3. 如图：将矩形ABCD 对折，折痕为MN ，再沿AE 折叠，把B 点叠在MN 上，（如图中1的点P ）, 若AB=√3,则折痕AE 的长为多少？ 分析：

折痕AE 为直角三角形ABE 的斜边，故解决本题的关键是求PE(或BE) 的长。 解法一：由折叠的意义可知，AP⊥EP,

延长EP 交AD 于F, 则FE=FA(在问题一中已证)∵ M、N 分别是矩形的边AB 和CD 的中点，∴MN∥AD∥BC 且EP∶PF=BN∶NA=1∶1,

又∠APE= ∠D=90°, ∴AE=AF∴AE=AF=EF, ∴ ∠1= ∠2=30°,∠1=30°∴AE=2。 ∵ M、N 分别是矩形的边AB 和CD 的中点，∴MN∥AD ∥BC且AN 是AP 的一半∴ MN⊥AN∴AE=AF

又FE=FA(问题1的结论)

∴AE=AF=EF, ∴ ∠1=∠2=30°,∠1=30° ∴AE=2。

由

BC∥MN∥DA且M 、N 分别为CD 和AB 的中点可得EP=PF，EO=AO ∴PO=AF， 又PO=AE， ∴AE=AF

∴AE=AF=EF，∠EAF=60° （其余同上）

例题4. 在例3中，若M 、N 分别为CD 、AB 的三等分点（如图），AB=√5,其他条件不变，折痕 AE 的长为多少？

分析：本题与上一题略有不同，MN 由原来的二等分线变为三等分线，其他条件不变。所以本题的解题关键还是求出EB(或EP) 的长 解：延长EP 交AD 于F, 则FE=FA(已证)

∵ M、N 分别是矩形的边AB 和CD 的三等分点∴MN∥AD∥BC 且EP∶PF=BN∶NA=1∶2,

设EP=x, 则PF=2x, AF=EF=3x, 在直角三角形APF 中有 AP²+PF²=AF²

∴5+(2x)²=(3x)², ∴x=1, ∴AE²=1+5=6, ∴AE=√6 例4 如图3, 有一张边长为3的正方形纸片(ABCD),将其对折, 折痕为MN, 再将点B 折至折痕MN 上, 落在P 点的位置, 折痕为AE.

(1)求MP 的长;(2)求以PE 为边长的正方形的面积. 分析：

将本题与例题2比较，不难看出它们的共同之处，显然，解决本题的关键是求PE 和PN 的长 解法一：

延长EP 交AD 的延长线于F, 则FE=FA(已证)

M 、N 分别是矩形的边AB 和CD 的中点，∴ MN∥AD ∥BC且AN 是AP 的一半 ∴MN⊥AN∴AE=AF∴AE=AF=EF, ∴ ∠1=∠2=30°,∠1=30° ∴PN=(3/2)√3，

(1)∴MP=1-PN=3-(3/2)√3, 又AP=3,∴EP=√3，

(2)∴以EP 为边长的正方形的面积为3。 其他解法请同学们思考。

例5. 如图，将矩形ABCD 折叠，使C 点落在边AB 上，（如图中的M 点），若AB=10,BC=6,求四边形 CNMD 的面积 分析：本题与上一题区别在于点C 折叠后落在矩形的边AB 上，由折叠的意义可以知道，ΔACN 和ΔAMN 是全等的，所以，求四边形CNMD 的面积的关键就是求ΔDCN 或ΔDMN 的面积，所以本题的解题关键还是求出NC(或BN) 的长

.

解:在直角三角形ADM 中,AD=6,DM=DC=10,由勾股定理可以求得AM=8.BM=10-8=2. 设NC=x,则MN=x,BN=6-x, 在Rt△BMN中，MN2=BN2+BM2 ∴x2=（6-x ）2+4 ∴x=10/3

S 四边形CNMD =2S△DCN=(10/3)*10=100/3

例6. 将长为8，宽为6的矩形ABCD 折叠，使B 、D 重合，（1）求折痕EF 的长。（2）求三角形DEF 的面积

分析：由矩形折叠的意义可知，EF 垂直平分BD （O 为BD 的中点由AB//DC可得EO:FO=BO:DO=1:1 ∴O为EF 的中点，所以

可设法先求出EO 的长，或直接求EF 的长, 进而求三角形DEF 面积。 解（法一）：

∵D、B 关于EF 成轴对称

∴EF垂直平分DB ，又DC⊥CB, ∴△DOE∽△DCB

在Rt△DCB中，由勾股定理可得BD=10 又AB∥DC

∴EO:OF=DO:OB ∴DO=5

(1)由△DOE∽△DCB得DO:DC=DE:BC ∴EO:6=5:8 ∴EO=15/4 ∴EF=15/2

(2)S△DEF=(1/2)EF•DO=(1/2)×(15/2)×5=75/4 解（法二）：

(1)过C 作CP∥EF，交AB 于P ∵EF⊥DB ∴CP⊥DB

易得△CBP∽△DCB ∴CP:BD=CB:DC

∴CP=10*6/28=15/2 ∴EF=15/2

(2)S△DEF=(1/2)EF•DO=(1/2)×(15/2)×5=75/4

同学们，图形折叠问题中题型的变化比较多，但是经过研究之后不难发现其中的规律，从今天我们对矩形折叠情况的讨论中可以得到以下几点经验： 1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形

状、大小不变，是全等形； 2图形的翻折部分在折 叠前和折叠后的位置 关于折痕成轴对称； 3. 将长方形纸片折叠 成如图所示的形状，图

中重叠的部分△AE'F是等腰三角形；

4．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而 进一步发现其中的数量关系；

5．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，

用方程的形式表达出

来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一。今天的讨论就到这里, 最后祝同学们在中考中取得好的成绩.

中考专题复习——折叠问题

动手折一折，并思考：

（1）用一张矩形的纸，通过折叠，使较短的边AB 落在较长的边AD 上，分析重叠部分展开后的形状。

（2）将一张正方形纸，通过两次对折，成为一个正方形，再折叠一次，分析折痕所围成的图形。

题组一：

（1）如图（1），点E 是矩形ABCD 的边CD 上的点，沿着AE 折叠矩形ABCD ，使D 落在BC 边上的F 点处，如果∠BAF ＝60o ，则∠DEA ＝____________。

（2）如图（2），已知：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB ∶CE ＝_________。

（3）如图（3），AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45o ，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C ´的位置，若BC ＝2，则BC ´＝_________。

A B

A

B

图（1）

D

图（2）

B

题组二： 图（3）

（4）如图（4），已知矩形ABCD 中，AD ＝8，AB ＝4。沿着对角线BD 将矩形ABCD 折叠，使点C 落在C ´处，BC ´交AD 于E 。求出未知的线段。

（5）如图（5），矩形ABCD 的长、宽分别为5和3，将顶点C 折过来，使它落在AB 上的C ´点（DE 为折痕），那么阴影部分的面积是________。 A

A

B

B

图（4） 图（5）

题组三：

（6）如图（6），P 是以AB 为直径的半圆上的一点，PA ＝4，AB ＝10，将半圆折叠使弦PA 正好落在AB

上，则折痕AC 的长为___________。

B

P ´图（6）

（7）如图（7），把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在弧BC 的中点A ´，若BC ＝6，则折痕在△ABC 内的部分DE 的长为_____。

B

提高题 ：(1)一张宽为3、长为4的矩形纸片ABCD ，先沿对角线BD 对折，点C 落在C ´的位置，

BC ´交AD 于G （如图8） 。再折叠一次，使点D 与点A 重合，得折痕EN ，EN 交AD 于点M （如图9） ，则ME 的长为__________。 C

A

G

A B

B

图（9）

图（8）

(2)如图（10），在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，如图将矩形折叠使B 点落在AD 上，设为B ’，顶点C 到C ’点，B ’C ’交DF 于G ． （1） 求证：△AB ’E ∽△C ’GF ；

（2）若AB ’＝x ，S B ’EFC ’＝y ，求y 关于x 之间的函数解析式；A C ´

（3）当B ’在何处时，y 的值最小， y 的最小值是多少？

图（10）

G

E

C 图（7）

B

折叠问题

折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；解题时，灵活运用轴对称性质和背景图形性质。轴对称性质-----折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。

压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。

1、（2009年浙江省绍兴市）如图，D ，E 分别为△ABC 的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若∠CDE =48°，则∠APD 等于（ ） A ．42° B．48° C ．52° D．58°

2、（2009湖北省荆门市）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则∠A 'DB =（ ）

A ．40° B ．30°

A '

C ．20° D ．10°

3、（2009年日照市）

将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，

C A

F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 第2题图 4、（2009年衢AD 是BC 边上点A 与点D 重A ．9. 5

5、（2009泰安）如图，在Rt △ABC 中， ∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，沿△ABC 的中线CM 将△CMA 折叠，使点A 落在点D 处， 若CD 恰好与MB 垂直，则tanA 的值 为 ．

A

6、(2009年上海市) 在C BRt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，M 为边

（第18题图）

（如图3所示）．如果将△ABM 沿直线AM 翻折BC 上的点，联结AM

后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 ．

州）在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，的高. 将△ABC 按如图所示的方式折叠，使合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为 B ．10. 5 C ．11 D ．15. 5

图3

C

7、(2009宁夏) 如图：在Rt △ABC 中，将△ADC ∠ACB =90°，CD 是AB 边上的中线，

沿AC 边所在的直线折叠，使点D 落在点E 处，得四边形ABCE ． 求证：EC ∥AB ．

B A D

8、（2009年清远）如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，∠B 和∠C 都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A 、B 不重合），过点M 作MN ∥BC ，交AC 于点N ，在△AMN 中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ．

（2）将△AMN 沿MN 折叠，使△AMN 落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为A 1，△A 1MN 与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？

B

C

9、（2009恩施市）如图，在△ABC 中，∠A =90°，BC =10，△ABC 的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点（D 不与A 、B 重合），过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ．设D E =x ，以DE 为折线将△ADE 翻折（使△ADE 落在四边形DBCE 所在的平面内），所得的△A 'DE 与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y ． （1）用x 表示△ADE 的面积；

（2）求出0

C

C

提示：相似、二次函数

10、（2009年天津市）

已知一个直角三角形纸片OAB ，其中∠AOB =90°，OA =2，OB =4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ． （Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；提示：画出图形，图中性质 △ACD ≌△BCD, △BDC ∽△BOA,BC=AC

（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB '=x ，OC =y ，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；

提示：画图，△COB ＇中由勾股定理得出函数关系式，由x 取值范围确定y 范围。

（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B 'D ∥OB ，求此时点C 的坐标． 提示：画图，△COB ＇∽△

BOA

11、（2009年湖南长沙）如图，二次函数y =ax +bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ．连结AC 、

BC ，A 、C 两点的坐标分别为A (-3，0) 、C (0，且当x =-4和x =2时二次函数的函数值y 相等．

（1）求实数a ，b ，c 的值； （2）若点M 、N 同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA 、BC 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将△BMN 沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B ，N ，Q 为项点的三角形与△ABC 相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

2

2）问发现

特殊角∠CAB=30°, ∠CBA=60°

特殊图形四边形BNPM 为菱形；

第画出

与△ABC

相似的△BNQ ，再判断是否在对称轴上。

12、（2009年浙江省湖州市）

已知抛物线y =x -2x +a （a

(1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则M ( ， )，N ( ， )； (2)如图，将△NAC 沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连结CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；

(3)在抛物线y =x -2x +a （a

第（2）题

（第12题）

备用图

22

1

x -a 分2

13、(2009成都) 如图，将矩形ABCD 沿BE 折叠，若∠CBA ′=30°则∠BEA ′=_____．

C D

14、（2009年凉山州）如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使C 落在C '处，BC '交AD 于E ，则下列结论不一定成立的是（ ）

A ．AD =BC ' B ．∠EBD =∠EDB

C ．△ABE ∽△CBD '

D ．sin ∠ABE =AE ED A

D

B C

15、（2009年衡阳市）如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ）

A ．1 B ．4 3

3C ． D ．2 2

16、（2009东营）如图A B 所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，G

C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于 （ ）

（A ）70°（B ）65°（C ）50°（D ） 25°

A

D ′B D C′ F C

17、（2009年淄博市）矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为（ ）

A ． 8 B ．

115 C ． 4 D ． 2

E （17题）

18、（09四川绵阳）如图，四边形ABCD 是矩形，AB :AD = 4:3，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE ，则

DE :AC =（ ）

A ．1:3 B ．3:8 C ．8:27 D ．7:25

C

B

19、（2009仙桃）将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）． A

A 、 B 、2 C 、3 D 、2

20、（2009年佳木斯）如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B ′的位置，AB ′与CD 交于点E.

（1）试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明.

（2）若AB=8，DE=3，P 为线段AC 上的任意一点，PG ⊥AE 于G ，PH ⊥EC 于H ，试求PG+PH的值，并说明理由.

21、（2009年鄂州市）如图27所示，将矩形OABC 沿AE 折叠，使点O 恰好落在BC 上F 处，以CF 为边作正方形CFGH ，延长BC 至M ，使CM ＝｜CF —EO ｜，再以CM 、CO 为边作矩形CMNO

(1)试比较EO 、EC 的大小，并说明理由

(2)令m S 四边形CFGH

S 四边形CNMN ；，请问m 是否为定值？若是，请求出m 的值；若不是，请说明理由

(3)在(2)的条件下，若CO ＝1，CE ＝122，Q 为AE 上一点且QF ＝，抛物线y ＝mx +bx+c经33

2过C 、Q 两点，请求出此抛物线的解析式. (4)在(3)的条件下，若抛物线y ＝mx +bx+c与线段AB 交于点P ，试问在直线BC 上是否存

在点K ，使得以P 、B 、K 为顶点的三角形与△AEF 相似? 若存在，请求直线KP 与y 轴的交点T 的坐标? 若不存在，请说明理由。

22、（2009年湖北荆州）如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ）

A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm

N E

23、(2009年温州) 如图，已知正方形纸片ABCD 的边长为8，⊙0的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA 恰好与⊙0相切于点A ′(△EFA ′与⊙0除切点外无重叠部分) ，延长FA ′交CD 边于点G ，则A ′G 的长是

24、（2009年北京市）如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A ′，折痕交AD 于点E , 若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则A ′N = ; 若M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC 最近的n 等分点（n 2, 且n 为整数），则A ′N = （用含有n 的式子表示）

C

25、（2009山西省太原市）

问题解决

如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当

类比归纳 方法指导： B C N 为了求得的值，可先求图（1） BN 不妨设：AB =2 BN 、AM 的长，CE 1AM 的值． =时，求CD 2BN D E

CE 1AM CE 1AM 则的值等于 ；若则的值等于 ； ==，CD 3BN CD 4BN

CE 1AM 若的值等于 ．（用含n 的式子表示） =（n 为整数），则CD n BN 在图（1）中，若

联系拓广

如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ，设AB 1CE 1AM 则的值等于 ．（用含=(m >1)=，BC m CD n BN

m ，n 的式子表示）

D A E

B C N 图（2）

26、（2009年哈尔滨）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A ´处，若∠A ´BC ＝20°，则∠A ´BD 的度数为（ ）．

（A ）15°（B ）20°（C ）25°（D ）30° D

A '

27、(2009年抚顺市) 如图所示，已知：Rt △ABC 中，∠ACB =90°．

（1）尺规作图：作∠BAC 的平分线AM 交BC 于点D （只保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作图形中，将Rt △ABC 沿某条直线折叠，使点A 与点D 重合，折痕EF 交AC 于点E ，交AB 于点F ，连接DE 、DF ，再展回到原图形，得到四边形AEDF ． ①试判断四边形AEDF 的形状，并证明；

②若AC =8，CD =4，求四边形AEDF 的周长和BD 的长．

B

《折叠类专题复习》

折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。

折叠的规律是，折叠前后两部分的图形，关于折痕成轴对称，两图形全等。解决折叠型问题时，常用方程思想。

知识目标：1、理解折叠的本质

2、能解决常见的折叠问题

能力目标：1、提高学生动手能力和空间想象能

2、提高学生综合解题能力

情感目标：激发学生学习兴趣，培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯。

重 点：折叠的本质、方程的思想

难 点：找准对应关系，快速找到解题的切入点。

学法指导：启发学生动手、动脑积极主动去解决折叠问题

教学过程：

一、复习引入：

将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图①）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点 处，折痕为EG （如图②）；再展平纸片（如图③）．求图③中 的大小．

通过简单的例子引入让学生理解折叠过程中存在的相等的角。

【反馈练习】如图a 是长方形纸带，∠DEF=20°将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是 ．

模仿性练习，坡度较小，学生易于解决，能激发学生继续深入的兴趣。

二、动一动手：

如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB ，再以AB 的中点O 为顶点把平角∠AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O 为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定

是（ ）

A ．正三角形 B．正方形 C ．正五边形 D ．正六边形

通过此例的学习，让学生了解到动手操作也是解决折叠问题行之有效的方法。

【反馈练习】将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，•得到的图形是（ ）

三、例题解析

折叠矩形ABCD ，让点B 落在对角线AC 上如图所示，若AD=4，AB=3，请求出线段CE 的长度。

通过本例让学生理解折叠过程中存在的相等的边，另外让学生感受到用设未知数列方程的方法解决此类问题是一般思路。

【反馈练习】将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF 。已知AB=AC=3，BC=4,若以点B ′、F 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求BF 的长。

在复习课的阶段，很多学生都感觉没有新鲜感，但是很多题目老师讲了多遍学生不会做的现象比比皆是，如何让学生既有兴趣又有一定的收获，我采用了这样“一题一练一得”的方式，每个类型的题目配以相同类型的练习，既条理清晰又目的明确，学生在复习课上也有上新课的感觉，提高了课堂效率，在具体的实践教学中取得了较好的效果