工程力学习题答案_范钦珊_蔡新着_工程静力学与材料力学_第二版
1-1 图a 、b 所示,Ox 1y 1与Ox 2y 2分别为正交与斜交坐标系。试将同一方F 分别对两坐标系进行分解和投影,并比较分力与力的投影。
(a) (b)
习题1-1图
x 2
2
(d ) (
c )
解:(a ),图(c ):F =F o s c α i 1+F i s α j 1 n 分力:F x 1=F cos α i 1 , F y 1=F s i n α j 1 投影:F x 1=F cos α , F y 1=F s i n α
讨论:ϕ= 90°时,投影与分力的模相等;分力是矢量,投影是代数量。 (b ),图(d ):
F sin α
分力:F x 2=(F cos α-F sin α tan ϕ) i 2 ,F y 2=j 2
sin ϕ 投影:F x 2=F cos α , F y 2=F cos(ϕ-α) 讨论:ϕ≠90°时,投影与分量的模不等。
1-2 试画出图a 、b
R D (a-1) (a) (b)
习题1-2图
C
F R D
(b-1) (a-2) (a-3)
比较:图(a-1)与图(b-1)不同,因两者之F R D 值大小也不同。 1-3 试画出图示各物体的受力图。
(a-1)
B
3图 习题1-
或(a-2)
F
(b-1)
Ay A
(c-1) 或(b-2)
(e-1)
'
A O 1 (f-2) (f-3) (f-1)
1-4 图a 所示为三角架结构。力F 1
作用在B 铰上。杆AB 不计自重,杆BD 杆自重为W 。试画出图
b 、c 、
d 所示的隔离体的受力图,并加以讨论。
F F (b-3)
(b-2)
F B 1
B y F 1B y F 1 F
(d-2)
2
2
1-5 试画出图示结构中各杆的受力图。
习题1- 5图
E
(b-1) B
(b-2)
'
F
Ax
(a-3)
(b-3)
' F Ax
D
'
C C F
习题1-6图 B
(c)
1-6 图示刚性构件ABC 由销钉A 和拉杆GH 支撑,在构件的点C 作用有一水平力F 。试问如果将力F 沿其作用线移至点D 或点E (如图示),是否会改变销钉A 的受力状况。
解:由受力图1-6a ,1-6b 和1-6c 分析可知,F 从C 移至E ,A 端受力不变,这是因为力F 在自身刚体ABC 上滑移;而F 从C 移至D ,则A 端受力改变,因为HG 与ABC 为不同的刚体。 F F
1-7 试画出图示连续梁中的AC 和CD 梁的受力图。
'
F F Dx
(b) (a)
习题1-7图
1-8 图示压路碾子可以在推力或拉力作用下滚过100mm 高的台阶。假定力F 都是沿着连杆AB 的方向,与水平面成30°的夹角,碾子重为250N 。试比较这两种情形下所需力F 的大小。
4
解:图(a ):θ= n i s c r a
5
∑F x =0
F sin(60︒-θ) -W sin θ=0 F =1672N 图(b ):θ=53. 13︒ ∑F x =0
F cos(θ-30︒) -W sin θ=0 F =217N
习题1-8图
1-9 两种正方形结构所受力F 均已知。试分别求其中杆1、2、3所受的力。 解:图(a ):2F 3cos 45︒-F =0
2
F (拉) 2
F 1 = F 3(拉)
F 2-2F 3cos 45︒=0 F 3=
F 2 = F (受压) 图(b ):F 3=F 3'=0 F 1 = 0
∴ F 2 = F (受拉)
习题1-9图
3
F 3'
(a-2)
(a-1)
(b-2)
3'
1-10 图示为一绳索拔桩装置。绳索的E 、C 两点拴在架子上,点B 与拴在桩A 上的绳索AB 连接,在点D 加一铅垂向下的力F ,AB 可视为铅垂,DB 可视为水平。已知α= 0.1rad,力F = 800N。试求绳AB 中产生的拔桩力(当α很小时,tan α≈α)。
F
解:∑F y =0,F ED sin α=F F ED =
sin α
F
∑F x =0,F ED cos α=F D B F D B ==10F
tan α
由图(a )计算结果。
可推出图(b )中F AB = 10F DB = 100F
F DB
2-3
图 a b
图 c
A:
F A =FB = M/2
2-3b
F A=F B= M /l 2-3C
F A=F BD= M /l
2-5
CB
习题1-10图 F DB
'
W = 2kN,T = W ΣF x = 0, F A = F B
ΣM i = 0, W ×300 − F A ×800 = 0 ,F A = 3/8W = 0.75 kN ,F B = 0.75 kN.
2-6
F 3 ⋅ d − M = 0 ,
F 3 = M/d, F = F 3(压)
ΣF x = 0,F 2 = 0, ΣF y = 0,
F = F 1= M/d (拉) 2-7
解: W/2=4.6 kN
ΔF = 6.4−4.6 = 1.8 kN ΣM i = 0,−M +ΔF ⋅l = 0
M =ΔF ⋅l = 1.8× 2.5 = 4.5 kN ·m
2-8
解:对于图(a )中的结构,CD 为二力杆,ADB 受力如图所示,根据力偶系平衡的要求,由
F RA =F RC =
M 2d 2
=
2M
d
对于图(b )中的结构,AB 为二力杆,CD 受力如习题3-6b 解1 图所示,根据力偶系 平衡的要求,由
F RC =F D =M /d F RA =F D ' =M /d
2-9
解:BC 为二力构件,其受力图如图所示。考虑AB 平衡,A 、B 二处的形成力偶与外加力偶平衡。
800'M
F A =F B ===269. 4N
BD 1. 2⨯2+1. 8/2
2-10
M 1d
M 2
'F =F = D C
d
F '=F D D F D =F A =
M 2=M 1
2-11
F By = F Ay = 0 F BX =M/d
F RB = M /d(←)
由对称性知 F R A = M/ d (→)
3-1
A:
ΣF x =0,F Ax =0
ΣM A =0,−M −F P ×4+F R B ×3.5=0, −60−20×4+F R B ×3.5=0, F RB =40kN(↑)ΣF y =0,F Ay +F R B −F P =0, F Ay =−20kN (↓) 对于图b 中的梁,
M =F p d
∑M =0
qd .
d
+F p d +F BR . 2d -F p 1. 3d =02 1
qd +F p +2F BR -3F p 1=02
F BR =21
RA
∑Fy =0, F
3-2
=15KN
解
Σ F x = 0, F Ax = 0 ΣF y = 0, F Ay = 0(↑)
ΣM A = 0,M A + M − Fd = 0 , M A = Fd − M
3-3
解:
ΣM A (F ) = 0 , −W ×1.4 − F S ×1+ F NB × 2.8 = 0 , F NB =13.6 kN
ΣF y = 0, F NA = 6.4 kN
3-4
ΣF y = 0, F By =W +W 1 =13.5 kN
ΣM B = 0,5F A −1W −3W 1 = 0 , F A = 6.7 kN (←),
Σ F x = 0, F Bx = 6.7 kN (→)
3-7
解:以重物为平衡对象:
图(a ),ΣF y = 0,T C =W / cosα (1) 以整体为平衡对象:
图(b ),ΣF x =0,F Bx =T C ’sin α=W tan α
ΣM B =0,−F R A ⋅4h +T C ′cos α⋅2h +T C ′sin α⋅4h =0, F R A =(1/2+tanα) W (↑) ΣF y =0,
F By=(1/2-tan α) W (↑)
3-9
解:以整体为平衡对象,有 ΣM A = 0
F RB ×2×2.4cos 75° − 600×1.8cos 75° −W (1.2 + 3.6) cos 75°F R B = 375 N
ΣF y = 0,F R A = 525 N 以BC 为平衡对象,有
−T EF ×1.8sin 75° −150×1.2 cos75° + F R B ×2.4 cos75°T EF = 107 N 3-11
0,0 = =
:以托架CFB 为平衡对象,有 ΣF y = 0,F By = F W2 (1) 以杠杆AOB 为平衡对象,有 ΣM O = 0, F W ⋅l −F By ⋅a=0
F w1/Fw2=a/l
4-2 图示直杆ACB 在两端A 、B 处固定。关于其两端的约束力有四种答案。试分析哪一种答案最合理。 正确答案是
习题4-2图
5-1
图
a
图 b
图 c
图 d
5-2 1 b
5-3
5-4
解:(a)
A 截面: FQ =b/(a+b)F P , M =0
C 截面: FQ =b/(a+b) FP , M =ab/(a+b) FP D 截面: FQ =-a/(a+b) FP , M =ab/(a+b) FP B 截面: FQ =-a/(a+b) FP , M =0 (b)
A 截面: FQ =M 0/(a +b) , M =0
C 截面: FQ =M0/(a+b),M=a/(a+b)M0
D 截面: FQ =- M0/(a +b) , M =b/(a+b) M0 B 截面: FQ =- M0/(a +b) , M =0 (c)
A 截面: FQ =5/3qa , M =0
C 截面: FQ =5/3qa , M =7/6qa 2 B 截面: FQ =-1/3qa , M =0 (d)
A 截面: FQ =1/2ql , M =-3/8qa 2 C 截面: FQ =1/2ql , M =-1/8qa 2 D 截面: FQ =1/2ql , M =-1/8qa 2 B 截面: FQ =0,M =0 (e)
A 截面: FQ =-2 FP , M =F P l C 截面: FQ =-2 FP , M =0 B 截面: FQ =F P, M
=0
(f)
A 截面: FQ =0,M = FP l/2 C 截面: FQ =0,M = FP l/2 D 截面: FQ =- FP , M = FP l/2 B 截面: FQ =-F P, M =0
5-5 (a)
F Q ( x ) =-M/2 l , M ( x ) =-M/2 l x ( 0 ≤ x ≤ l ) F Q ( x ) =-M/2 l ,M ( x ) =-Mx/2 l + M ( l ≤ x ≤ 2 l ) F Q ( x ) = -M/2 l , M ( x ) = -Mx/2 l + 3M ( 2 l ≤ x ≤ 3 l ) F Q ( x ) = -M 2 l , M ( x ) = -Mx/2 l + 2M ( 3 l ≤ x ≤ 4 l )
( b)
F Q ( x ) = -(1/4)ql-qx , M ( x ) = ql 2-(1/4)ql x –(1/2)qx 2 ( 0 ≤ x ≤ l ) F Q ( x ) = -(1/4)ql , M ( x ) =(1/4)ql(2l- x) ( l ≤ x ≤ 2 l )
( c)
F Q ( x ) = ql-qx , M ( x ) = ql x + q l 2-(1/2)qx2 ( 0 ≤ x ≤ 2 l ) F Q ( x ) = 0 , M ( x ) = ql 2 ( 2 l ≤ x ≤ 3 l )
(d)
F Q ( x ) =(5/4)ql-qx , M ( x ) =(5/4)qlx-(1/2)qx 2 (0≤x ≤2l ) F Q ( x ) =-ql + q (3 l-x ) , M ( x ) = ql (3l-x ) –(1/2)q ( 3l-x ) 2 (2 l ≤x ≤3 l )
(e)
F Q ( x ) = qx , M ( x ) =(1/2)qx 2 (0 ≤ x ≤ l )
F Q ( x ) = ql-q ( x-l ) , M ( x ) = ql(x -1/2)-(1/2)q( x-l ) 2 ( l ≤ x ≤ 2 l )
(f)
F Q ( x ) = -ql/2+ qx , M ( x ) = -(1/2)qlx +(1/2)qx 2 ( 0 ≤ x ≤ l ) F Q ( x ) =-ql/2+ q (2l-x ) , M ( x ) = (ql/2)(2 l-x )-(1/2)q (2l-x ) 2( l ≤x ≤2l )
5-6画出5-5图示各梁的剪力图和弯矩图,并确定
、M max 。 |F Q |m a x
解:(a )∑M A =0,F R B = ∑F y =0,F R A =
M
(↑) 2l
-M
(↓) 2l
M
|F Q |max =, |M |max =2M
2l
(b )∑M A =0 l
-ql -ql ⋅+ql ⋅l +F R B ⋅2l =0
21
F R B =ql (↑)
4
2
∑F y =0,F R A =
-1
ql (↓) 4
M C =F R B
M A =ql
2
11
⋅l =ql ⋅l =ql 2(+)44
|F Q |max =
5
ql , |M |max =ql 2 4
(c )∑F y =0,F R A =ql (↑) ∑M A =0,M A =ql 2
l
∑M D =0,ql 2+ql ⋅l -ql ⋅-M D =0
2
3
M D =ql 2
2
3
|F Q |max =ql , |M |max =ql 2
2
(d )∑M B =0 F R A ⋅2l -q ⋅3l ⋅-ql ⋅l =0
l 2
5
F R A =ql (↑)
4
3
∑F y =0,F R B =ql (↑)
4q
∑M B =0,M B =l 2
2252
∑M D =0,M D =ql
32
5252
|F Q |max =ql , |M |max =ql
432
(e )∑F y =0,F R C = 0 ∑M C =0,-ql ⋅l +ql ⋅ M C =ql 2 ∑M B =0,M B =
32
l
+M C =0 2
∑F y =0,F Q B
12ql 2=ql
2
|F Q |max =ql , |M |m a =x ql
1
(f )∑M A =0,F R C =ql (↑)
21
∑F y =0,F R A =-ql (↓)
2
∑F y =0,- F Q B
1
ql +ql -F Q B =0 2
1=ql 2
1l l l
∑M D =0,ql ⋅-q ⋅+M D 222411
M D =-ql 2, M E =ql 2
881
∴ |F Q |max =ql
21
|M |max =ql 2
8
6-1 直径d = 36mm的钢杆ABC 与铜杆CD 在C 处连接,杆受力如图所示。若不考虑杆的自重,试: 1.求C 、D 二截面的铅垂位移;
F l
2.令F P1 = 0,设AC 段长度为l 1,杆全长为l ,杆的总伸长∆l =P 2,写出E 的表达式。
EA
习题6-1图
(a) (F ) l (F ) l
解:(1)u C =u A +N AB 2AB +N BC 2BC
πd πd E s E s
44
=0+ u D =u C +
150⨯103⨯2000+100⨯103⨯3000
200⨯103=2. 947+
⨯
4π⨯362
=2. 947mm
(F N ) CD l CD πd 2
E c
4
100⨯103⨯2500⨯4105⨯103⨯π⨯362
=5. 286mm
(2)
l F P 2l F l F (l -l 1)
,令η=1 =∆l =∆l AC +∆l CD =P 21+P 2
l EA E s A E c A
η1-η1
=+
E E s E c
E c
E s
E c η+(1-η) E s
E =
6-2 长为1.2m 、横截面面积为1. 10⨯10-3m 2的铝制筒放置在固定刚块上,直径为15.0mm 的钢杆BC 悬挂在铝筒顶端的刚性板上,若二者轴线重合、载荷作用线与轴线一致,且已知钢和铝的弹性模量分别为E s = 200GPa ,E a = 70GPa,F P = 60kN。试求钢杆上C 处位移。
kN
A m E
kN
习题6-2图 (a) (b)
-F P l AB
解:1. 铝筒:u A -u B =(其中u A = 0)
E a A a ∴ u B =
60⨯103⨯1. 2⨯10370⨯103⨯1. 10⨯10-3⨯106
=0. 935mm
F P l BC 60⨯103⨯2. 1⨯103
=0. 935+=4. 50m 2.钢杆:u C =u B +
E s A s 3π2
200⨯10⨯⨯15
4
6-3 螺旋压紧装置如图所示。现已知工作所受的压紧力为F = 4kN,旋紧螺栓螺纹的内径d 1 = 13.8mm,固定螺栓内径d 2 = 17.3mm。两根螺栓材料相同,其许用应力[σ]= 53.0MPa。试校核各螺栓之强度是否安全。
解:∑M B =0,F A = 2kN
∑F y =0,F B = 6kN σA =
习题6-3图
(a)
F A 20002000⨯4
===13. 8MPa
d 14
F B 6000⨯4
==25. 5MPa
⨯17. 3⨯104
σB =
6-5 图示结构中BC 和AC 都是圆截面直杆,直径均为d = 20mm,材料都是Q235钢,其许用应力[σ]= 157 MPa 。试求该结构的许可载荷。 解:∑F x =0,F B =2F A
(1)
习题8-2图
∑F y =0, ∴ F P =
2F A +F B -F P =0 22
(2) (3)
1+F B 2π
F B ≤[σ]⋅d 2
4
F P ≤
1+3π2
⋅d [σ]24
B
1+3π
⋅⨯202⨯10-4⨯157⨯106` 24=67. 4k N =
(4)
由(1)、(2)得:
2(1+3) 2(1+3) π(a) F P =F A =⋅[σ]d 2=90. 28kN (5)
224
比较(4)、(5)式,得 [F P ] = 67.4 kN
根据垂直方面的平衡条件,有F N BC cos 30︒+F N AC cos 45︒=F P ,然后将F N BC =(πd 2/4)[σ],F N AC =(πd 2/4)[σ]代入后即可得许可载荷,这种解法对吗?为什么?
解法不对,因为保持平衡时,两杆内应力并不是正好都同时达到许用应力。
6-6 图示的杆系结构中杆1、2为木制,杆3、4为钢制。已知各杆的横截面面积和许用应力如下:杆1、2为A 1 = A 2 = 4000mm2,[σw ]= 20MPa,杆3、4为A 3 = A 4 = 800mm2,[σs ]= 120MPa。试求许可载荷[F P ]。
5F P 344
∑F x =0,F 1=-F 3=-F P
5344
图(b )∑F x =0,F 4=F 3=F P
535
∑F y =0,F 2=-F 3=-F P
3
|F 1|>|F 2|
解:图(a )∑F y =0,F 3=
习题6-6图
|F |
1≤[σw ]
A 1
4
F P ≤A 1[σw ] 3
33
F P ≤A 1[σw ]=⨯4000⨯10-6⨯20⨯106=60kN
44
F 3>F 4
(a)
F
F 3
≤[σs ] A 3
5(b) F P ≤[σ]A 3 3
33
F P ≤[σ]A 3=⨯120⨯106⨯800⨯10-6=57. 6kN
55
∴ [F P ] = 57.6 kN
6-7 图示由铝板钢板组成的复合材料柱,纵向截荷F P 通过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上。已知F P = 385kN ;E a = 70GPa,E s = 200GPa;b 0 = 30mm,b 1 = 20mm,h = 50mm。求铝板与钢板横截面上的最大正应力。 解:变形谐调:
先导出复合材料柱横截面上正应力与F P 、b 0、b 1、h 和E a 、E s 之间的关系式;
F Ns F
=Na E s A s E a A a
(1) (2)
F N s +F N a =-F P
E s A s ⎧
⎪F Ns =-E A +E A F P ⎪s s a a
⎨ E a A a ⎪F =-F P Na
⎪E A +E A s s a a ⎩ 1. σs = σa = 2. σs =
F N s E s F P E s F P
=-=- A s E s b 0h +E a ⋅2b 1h b 0hE s +2b 1hE a
F N a E a F P
=- A a b 0hE s +2b 1hE a
-200⨯109⨯385⨯103
=-175MPa (压)
0. 03⨯0. 05⨯200⨯109+2⨯0. 02⨯0. 05⨯70⨯109
σa =
-175E a 70
=-175=-61. 25MPa (压) E s 200
6-9 组合柱由钢和铸铁制成,其横截面面积宽为2b 、高为2b 的正方形,钢和铸铁各占一半(b ⨯2b )。载荷F P 通过刚性板加到组合柱上。已知钢和铸铁的弹性模量分别为E s = 196GPa,E i = 98.0GPa。今欲使刚性板保持水平位置,试求加力点的位置x =?
b 3
解:∑M 0=0,(b ⋅2b σs ) ⋅(x -) =(b ⋅2b ) σi (b -x )
22
2x -b σi
∴ (1) =
3b -2x σs
σs
E s
=
σi
E i
(2)
σi 981== σs 1962
(2)代入(1)得4x -2b =3b -2x
5
∴ x =b
6
习题6-9图
7-1 直径为 d 的圆截面梁,两端在对称面内承受力偶矩为M 的力偶作用,如图所示。若已知变形后中性层的曲率半径为ρ ;材料的弹性模量为E 。根据d 、ρ 、E 可以求得梁所承受的力偶矩M 。现在有4 种答案,请判断哪一种是正确的。
A
7-3 关于平面弯曲正应力公式的应用条件,有以下4 种答案,请判断哪一种是正确的。 (A) 细长梁、弹性范围内加载;
(B) 弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内;
(C) 细长梁、弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内; (D) 细长梁、载荷加在对称面或主轴平面内。
C
7-4 长度相同、承受同样的均布载荷q 作用的梁,有图中所示的4 种支承方式,如果从 梁的强度考虑,请判断哪一种支承方式最合理。
D
7-5 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。图中的尺寸单位为mm 。求:梁的1-1 截面上A 、
解: C 截面和D 截面上的最大拉应力与最大压应力分别为: C 截面: +3-38-1246
σmax=(30×10N ·m ×96.4×10m)/(1.02×10×10m )=28.35×10Pa=28.35MPa
3-38-1246
σ-max=(30×10N ·m ×153.6×10m)/(1.02×10×10m )=45.7×10Pa=45.18MPa D 截面:
338-126
σ+max=(40×10N ·m ×153.6×10-m)/(1.02×10×10m4=60.2×10)Pa=60.2MPa>[σ]
338-126
σ-max=(40×10N ·m ×96.4×10-m)/(1.02×10×10m4)=37.8×10Pa=37.8MPa 所以, 梁的强度不安全。
7-10解: 画弯矩图如图所示。 强度计算 对于梁: M max=0.5q
σmax=M max /W≤[σ], 0.5q/W≤[σ]
q ≤[σ]W/0.5=160×106×49×10-6/0.5=15.68×103N/m=15.68kN/m
对于杆:
22
σmax=F N /A≤[σ],4FB /πd =4×2.25q/(πd ) ≤[σ]
q ≤πd 2×[σ]/(4×2.25)=π×(20×10-3) 2×160×106/(4×2.25)=22.34×103N/m=22.34kN/m 所以结构的许可载荷为 [q
]=15.68kN/m
7-11
M max=F P ×1m=20×103N ×1m=20×103N ·m σmax =M max /W≤[σ]
W ≥F P ×1m/[σ]=20×103N ·m/(160×106Pa)=0.125×10-3m 3=125cm3 所以, 选择No.16工字钢。
7-12
没有辅助梁时 σmax =M max /W ≤[σ] (FP l/4)/W =1.30[σ] 有辅助梁时
σmax =M max /W≤[σ]
(FP l/2)(3-2a )/W =[σ]
F P l/2(3-2a ) W =F P l/4/(1.30×W) =[σ] 1.30×(3-2a )=0.5 a =1.308m
7-13
1. 受力分析
起重载荷位于AB 梁中点时, 梁处于危险状态。这时, 梁承受弯曲与轴向压缩的共同作用。
ΣM A =0,-F P ×l/2+F BC ×l sin30°=0,F BC =F P =22kN AB 梁在B 点承受的轴向压缩力 F N =F BC cos30°=19052N 2. 强度设计
首先按照弯曲强度设计, 然后再对弯曲与压缩载荷共同作用时的强度进行校核。 σmax=M max/W ≤[σ]
W ≥F P l/4/[σ]=22×103N ×2m/(4×160×106Pa)=110×10-6m 3=110cm3 所以, 选择No.16工字钢。
No.16工字钢的横截面面积与弯曲截面模量分别为: A =26.1cm2=26.1×10-4m 2 W =141cm3=141×10-6m 3
再校核弯曲与压缩载荷共同作用时的强度
σA =F N /A +M/W=19052/(26.1×10-4)+(22×103×2)/(4×141×10-6)=7.3×106Pa+78×106Pa=85.3MPa
所以, 选择No.16工字钢, 梁的强度是安全的。
7-14
解:(a)为拉弯组合
σa =F P /(a ×3/2×a) +F P ·(a/4)/(a(3a/2)2)/6=4/3·F P /a 2 (b)为单向拉伸 σb=F P /a2
σa/σ
b=4/3
9-6图示实心圆轴承受外扭转力偶,其力偶矩T = 3kN·m 。试求: 1.轴横截面上的最大切应力;
2.轴横截面上半径r = 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比; 3.去掉r = 15mm以内部分,横截面上的最大切应力增加的百分比。
M x T T 3⨯103⨯16
====70. 7MPa 解:1.τ1max =W P W P πd 3π⨯0. 063
16M x 2πM x r 4
2. M r = ρ⋅τd A =ρ⋅ρ⋅2πρd ρ=⋅
A 10I p I p 4
⎰⎰
r
M r 2πr 42πr 416r 4151===4=16⨯() 4==6. 25% ∴ 4M x 4I p 6016πd d
4⋅
32
M T
3. τ2max =x =
W p πd 3⎛14⎫
1-() ⎪16⎝2⎭
习题9-6图
∆τ
τ
=
τ2max -τ1max τ1max
1() 4
α1====6. 67% 1-α41-() 415
2
4
9-7 图示芯轴AB 与轴套CD 的轴线重合,二者在B 、C 处连成一体;在D 处无接触。已知芯轴直径d = 66mm;轴套的外径D = 80mm,壁厚δ= 6mm。若二者材料相同,所能承受的最大切应力不得超过60MPa 。试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T 。
M T
解:τ轴max =x =13≤60⨯106
W p 1πd
16
π⨯663
T 1≤60⨯10⨯⨯10-9=3387N ·m
16
M T 2
≤60⨯106 τ套max =x =3
W p 2πd ⎛684⎫
1-() ⎪16⎝80⎭
6
π⨯80317⎫⎛
T 2≤60⨯10⨯⨯
10-9 1-() 4⎪=2883N ·m
1620⎭⎝
6
∴ T m a x ≤T 2=288N 3·m =2. 88⨯103N ·m
9-8 由同一材料制成的实心和空心圆轴,二者长度和质量均相等。设实心轴半径为R 0,空心圆轴的内、外半径分别为R 1和R 2,且R 1/R 2 = n ,二者所承受的外扭转力偶矩分别为T s 和T h 。若二者横截面上的最大切应力相等,试证明:
T s -n 2
=
T h 1+n 2
解:由已知长度和质量相等得面积相等:
22
πR 0=π(R 2-R 12)
(1)
(2)
τmax =
T s πd 3
16
=
T s
τmax =
3R 0π⋅
2T h
π(2R 2) 3
(1-n 4) 16
由(2)、(3)式
3
T s R 0
=3
T h R 2(1-n 4) 22
由(1) R 0=R 2-R 12
(3)
(4)
代入(4) ∴
T s
=T h
3
222(R 2-R 1) 3R 2(1-n 4)
=
(1-
3
22n )
1-n 4
=
(1-
322n )
(1-n 2)(1+n 2)
=
-n 21+n 2
9-9 直径d = 25mm的钢轴上焊有两凸台,凸台上套有外径D = 75mm、壁厚δ=1.25mm的薄壁管,当杆承受外扭转力遇矩T = 73.6N·m 时,将薄壁管与凸台焊在一起,然后再卸去外力偶。假定凸台不变形,薄壁管与轴的材料相同,切变模量G = 40MPa。试:
1.分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力,二者如何平衡? 2.确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。 解:设轴受T = 73.6N·m 时,相对扭转角为ϕ0 且
d ϕ0T
=
d x GI p 1
(1)
T 撤消后,管受相对扭转角ϕ2,则轴受相对扭转角ϕ1=ϕ0-ϕ2,此时轴、管受扭矩大小相等,方向相反,整个系统平衡。
ϕ1+ϕ2=ϕ0 (2)
Tl M l M 'l
=x +x GI p 1GI p 1GI p 2
(3) (4)
M x =M 'x
∴ M x =
I p 2I p 1+I p2
T (5) (6)
τh max = I p 1
T p 2M x T T D
=⋅=⋅ W p 2I p1+I p2W p 2I p1+I p22
πd 4π==(25) 4⨯10-12=38349. 5⨯10-12 3232πD 432
D -2δ4⎤π⨯754⎡72. 54⎤⎡1-() ⎥=1-() ⎥⨯10-12=393922⨯10-12m 4 ⎢⎢D 32⎣75⎦⎣⎦
将I p1、I p2值代入(6)得
7573. 6⨯⨯10-3
=6. 38MPa 管:τh max =
(38349. 5+393922) ⨯10-12 I p2= 轴:τs max =
M x d
⋅=
I p 12I p 1(I p 1
I p 2⋅T
25
⨯393922⨯10-3
d ⋅==21. 86 MPa
+I p 2) 2(38349. 5+393922) ⨯38349. 5⨯10-12
73. 6⨯