零点定理_讲义
函数与方程
知识要点梳理
知识点一、函数的零点
1. 函数的零点一般地，如果函数要点诠释： 函数归纳：方程
的零点就是方程
有实数根
函数
在实数
处的值等于零，即
，则叫做这个函数的零点.
的图象与轴交点的横坐标． 函数
有零点． 的实根个数见下表.
的实数根，亦即函数
的图象与轴有交点2. 二次函数零点的判定
3. 二次函数零点的性质
①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.
引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.
4. 二次函数的零点的应用①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图.
②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质. 引伸：二次函数的零点的应用可推广到一般函数.
5. 零点存在性定理 如果函数
在一个区间
上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即
，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使.
知识点二、二分法 1. 二分法
所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.
2. 用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数
定义在区间D 上，求它在D 上的一个零点x 0的近似值x ，使它满足给定的精确度.
，使
与
异号，即
，零点位于区间
第一步：在D 内取一个闭区间
中.
第二步：取区间
的中点，则此中点对应的坐标为
.
计算①如果②如果③如果
和，并判断： ，则
就是
的零点，计算终止；
中，令中，令
；
，则零点位于区间，则零点位于区间
第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为
.
计算①如果②如果③如果„„
和
，并判断： ，则
就是
的零点，计算终止；
中，令中，令
； ；
，则零点位于区间，则零点位于区间
继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取
的近似零
的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数点满足给定的精确度. 零点定理的探究：
的近似零点，计算终止. 这时函数
（1）观察二次函数f (x ) =x 2-2x -3的图象：
1 在区间[-2, 1]上有零点______；f (-2) =_______，f (1) =_______, ○
． f (-2) ·f (1) _____0（＜或＞）
2 在区间[2, 4]上有零点______；f (2) ·f (4) ____0（＜或＞）○． （2）观察下面函数y =f (x ) 的图象
1 在区间[a , b ]上______(有/无) 零点；f (a ) ·f (b ) _____0（＜或＞）○． 2 在区间[b , c ]上______(有/无) 零点；f (b ) ·f (c ) _____0（＜或＞）○． 3 在区间[c , d ]上______(有/无) 零点；f (c ) ·f (d ) _____0（＜或＞）○．
练习1. 若函数f (x ) 在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且函数f (x ) 在(－2,2) 内有一个零点，则f (－2)·f (2)的值 ( ) A ．大于0 B ．小于0
C ．等于0 D ．不能确定
11
2．设函数f (x ) ＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f (－)·f () ＜0，则方程f (x ) ＝0在[－1,1]内
22
( )
A ．可能有3个实数根 B ．可能有2个实数根 C ．有唯一的实数根 D ．没有实数根
类型二、确定函数零点的个数
1．二次函数中，，则函数的零点的个数是( ) A ．1B ．2C ．0D ．无法确定
(x －1)ln x
练习1．函数f (x ) ＝ ( )
x －3
A ．0个B ．1个C ．2个 D ．3个
类型三 通过零点定理判定零点区间
2设f (x ) ＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1)0，f (1.25)
A ．(1.25,1.5) B ．(1,1.25) C ．(1.5,2) D ．不能确定
练习：1
x
据此数据，可得f (x ) ＝3x －x －4的一个零点的近似值(精确到0.01) 为____________．
2．设f (x ) ＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x ) 有零点的区间是 ( ) A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[－2，－1] D ．[－1,0]
3．下列方程在(0，1) 内存在实数解的是( ) ．
1
A ．x 2＋x －3＝0 B ．＋1＝0
x
1
C ．x ＋ln x ＝0 D ．x 2－lg x ＝0
2
4．若函数f (x ) 的图象是连续不断的，且f (0) ＞0，f (1) f (2) f (4) ＜0，则下列命题正确的是( ) ． A ．函数f (x ) 在区间(0，1) 内有零点 B ．函数f (x ) 在区间(1，2) 内有零点 C ．函数f (x ) 在区间(0，2) 内有零点 D ．函数f (x ) 在区间(0，4) 内有零点
1
5.(2009·天津高考) 设函数f (x ) ＝x －ln x (x >0)，则y ＝f (x )
( )
3
1
A ．在区间(1) ，(1，e) 内均有零点
e 1
B ．在区间(，1) ，(1，e) 内均无零点
e 1
C ．在区间(，1) 内有零点，在区间(1，e) 内无零点
e 1
D ．在区间(1) 内无零点，在区间(1，e) 内有零点
e
类型四、用二分法求函数的零点的近似值
1．如图所示，以下每个函数都有零点，但不能用二分法求图中函数零点的是 ．．
类型四、用二分法解决实际问题
3．中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖给选手，同时获得一枚商标. 某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1000元之间，选手开始报价：1000元，主持人说：高了，紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了. 表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
过关题
一、选择题
1. （2011 东北四市 6）已知函数
有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（ ）
A. B. C. D. 2. 有两个互为相反数的零点的函数( )
A. 只能是偶函数B. 可以是奇函数C. 可以是增函数D. 可以是减函数 3. （2011 广东广州3月6）若函数没有零点，则实数的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 设函数是[-1，1]上的增函数，且，则方程在[-1，1]内( )
A. 可能有3个实数根B. 可能有2个实数根C. 有唯一的实数根D. 没有实数根 5. 若已知，则下列说法中正确的是()
A. 在上必有且只有一个零点 B. 在上必有正奇数个零点 C. 在上必有正偶数个零点
D. 在
上可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点，还可能没有零点