基于四维复数概念的瞬时功率定义

基于四维复数概念的瞬时功率定义

摘 要：该文提出了基于四维复数概念的瞬时功率定义方法，类似传统频域的有功和无功定义，该方法将瞬时实功和虚功分别定义为复数电压和复数电流共轭量乘积的实部和虚部，具有定义简洁、物理意义清晰的特点，此外，该方法能较好地解决三相电路含零序分量时的瞬时功率定义的问题，是一种普遍适用的瞬时功率定义方法。 关键词：电力系统；三相电路；瞬时功率；四维复数 1 引言

当电力系统的电压或电流中含有谐波或不对称分量时，功率现象比较复杂，传统功率理论通常难以对其进行正确的解释和描述。因此，许多学者纷纷提出试图能包含畸变和不对称现象的功率理论和定义方法。其中最有影响的是Akagi 从无功补偿和谐波消除角度提出的三相电路瞬时无功功率理论。该理论突破了传统的以平均值为基础的功率概念，为无功瞬时补偿和谐波电流的实时检测奠定了基础，但是，该理论仅适用于三相电路不含零序分量的场合。文[8]在Akagi 功率理论的基础上提出了一种三相电路的通用瞬时功率理论，即将电压和电流矢量的点积定义为瞬时有功功率，而它们叉积的模则定义为瞬时无功功率，继而定义出瞬时有功电流和瞬时无功电流。该定义适合于三相电路含零序分量的场合，其缺点是瞬时无功的定义缺少明确的物理意义。

本文将四维复数概念及运算引入三相电路，提出了基于该概念

的瞬时功率定义方法。类似传统频域的有功和无功定义，该方法将瞬时实功和虚功分别定义为复数电压和复数电流共轭量乘积的实部和虚部，具有定义简洁、物理意义清晰和易于被工程界接受的特点，并克服了Akagi 理论只适用于三相电路不含零序分量场合的缺点。 2 Akagi 功率理论

设三相三(四) 线电路各相电压和电流的瞬时值分别为v a (t)、v b (t)、v c (t)和i a (t)、i b (t)、i c (t)，简记为v a 、v b 、v c 和i a 、i b 、i c ，如图1所示。当系统电压和电流不含零序分量时，Akagi 将瞬时有功功率p 和无功功率q 定义为

当系统含有零序分量时，Akagi 首先将abc 坐标系下的电压和电流变换到a β0坐标系下，即

abc 坐标系下电压和电流向量。

然后引入另一瞬时功率p 0=v0i 0 (瞬时零序功率) 来描述这一现象。将它和式 合并后可得

从上面论述可见，在Akagi 功率理论中，零序电流作为单独分量来处理，在任何情况下它都不含无功分量的信息，从其定义的形式看，它更像是一个和零序电压对应的有功分量。但是从电路能量流动角度考虑，当系统电压和电流同时含有零序分量时，零序电流也必将含有有功分量和无功分量的信息，显然，利用该理论不能将其分解出

来。

3 基于四维复数概念的功率定义

3.1 基础知识

（1）四维复数

（2）四维复数的运算

1） 和与差

4）实积、虚积

为了下节分析需要，除了上述乘积外，这里定义2种复数的乘积关系:

定义1

为2个复数的虚积，其值为2个复数(复数) 积的虚部。其中“*”表示先对2个复数求积，然后取该积虚部的运算符。

5）正交

定义

3

3.2 基于四维复数概念的瞬时功率

分别对三相电压和电流进行式(3)所示的变换，即可得a β0坐标系下的电压和电流v a 、v β、v 0和i a 、i β、i 0。为了和实数量区别，以下涉及复数的量用上标“¢”表示。

定义四维坐标下的电压V¢ 和电流i ¢分别为

定义复数形式的瞬时功率(简称瞬时复功率) 为

定义瞬时复功率中的实数部分和虚数部分分别为三相瞬时实功率和瞬时虚功率，分别用表示，则有

严格地说，只有q β0、q 0a 、q a β才是真正意义上的瞬时无功功率，它包含了瞬时无功功率的大小和流向的信息，而针对三相电路定义的瞬

时无功功率q ，只表示三相电路内部瞬时无功功率流动的整体量度，因此它不含也不应含功率流向的信息。

定义瞬时视在功率为瞬时复功率的模，即

式(17)、(18)分别为a 、β 、0相的瞬时有功电流和瞬时无功电流分量。 上述各定义量具有以下性质：

将式(19)用各相分量表示，并写成矩阵形式有

将式(22)和(23)用各相分量表示并写成矩阵形式有

根据a β0 与abc 的坐标变换关系，容易证明a β0 与abc 坐标下的各量具有以下关系：

(24)

同样，也可做类似的定义

将式(17)和(18)变换到abc 坐标下有

它们分别为a 、b 、c 相的瞬时有功和瞬时无功电流。

不难验证，abc 坐标下的各功率和电流分量具有类似a β0 坐标下的关系。

值得一提的是当三相电路的零序分量为零，即满足式(28)所示条件时

,

基于四维复数定义瞬时有功功率、无功功率及视在功率和瞬时有功电流、无功电流的形式和Akagi 瞬时功率理论中所定义的各量具有相同的形式；但当三相电路的电压和电流含有零序分量时，利用复数瞬时功率理论能正确分解出零序电流的无功和有功分量，而利用Akagi 功率理论却无法实现这一点。即复数瞬时功率理论包容了Akagi 瞬时功率理论，比Akagi 理论有更大的适用范围。此外，在复数瞬时功率理论中，瞬时实功和虚功分别根据瞬时复功率的实部和虚部作出定义，具有物理意义清晰、易于理解等优点。

4 复数瞬时功率理论与传统(平均值) 功率理论的关系

限于篇幅，本文仅讨论电压和电流均为对称正弦的情况。假设

三相系统电压和电流分别为v a =

式中P=3VIcosφ 和Q=3VIsinφ 分别为传统功率理论定义的有功和无功； 为I 的共轭相量。

将abc 坐标下的电压和电流变换到a β0 坐标下

,

对照式(31)和(29)可见，在三相电压和电流均为对称正弦波时有如下特点：本文所定义的瞬时复功率和根据传统功率理论定义的复功率具有相同的表达形式；瞬时有功功率p 和瞬时无功功率q a β 均为常数，其值和按传统功率理论计算出的有功功率P 和无功功率Q 完全相同；作为三相电路内部瞬时无功功率流动的整体量度的q 也为常数，其值等于|Q| 。此时复数视在功率和传统视在功率S 、有功功率P 和无功功率Q 具有以下关系：

比较式(32)和式(30)可以看出，a 相的瞬时有功电流和瞬时无功电流的表达式和传统功率理论中a 相电流的有功分量和无功分量的瞬时值表达式完全相同。对β 相及abc 坐标下的各相进行分析也能得出同样的结论。

5 复数瞬时功率理论与Fryze 功率理论的关系

1931年，Fryze [2]提出了非正弦单相电路的电流时域定义方法，即将有功电流i a 和非有功电流i n 分别定义为

式中 V 为电源电压v 的有效值；P 为瞬时功率在一个周期内的平均值；i 为负荷电流。

将其推广到三相系统有

时有功和无功电流，其它各变量的意义同前。

广义瞬时有功电流和瞬时有功电流的物理意义是不同的，前者为和负荷电流传送具有相同平均值

当三相电压和电流均为对称正弦时，系统功率和电压存在以下关系：

比较式(26)和(34)可见，此时利用复数瞬时功率理论定义的有功电流和Fryze 功率理论定义的广义有功电流具有相同的数值。根据(广义) 无功电流和有功电流的关系可知，此时2种方法所定义的无功电流也具有相同的数值。

6 和文[8]定义的关系

文[8]将瞬时有功p 和瞬时无功空间向量q 分别定义为

并进一步定义瞬时有功电流向量i p 和瞬时无功电流向量i q 为

将上述各式展开，并和式(24)~(27)比较可得，利用文[8]方法定义的瞬时有功功率、无功功率以及各相瞬时有功、无功电流和利用复数瞬时功率理论定义的相应各量在数值上是一致的。

7 结论

（1） 基于四维复数概念的瞬时功率理论类似频域里有功和无功的定义，将瞬时实功和虚功分别定义为复数电压和复数电流共轭量乘积的实部和虚部，具有物理意义清晰的特点。

（2） 当系统不含零序分量时，本文定义的各量和Akagi 定义的相应量具有相同的形式，但当三相电路的电压和电流含有零序分量时，利用复数瞬时功率理论能正确分解出零序电流的无功和有功分量，而利用Akagi 功率理论却无法实现这一点。即复数瞬时功率理论比Akagi 理论有更大的适用范围。此外，本文定义的瞬时有功功率、无功功率以及各相瞬时有功、无功电流和利用文[8]方法定义的相应各量在数值上是一致的。

（3） 在三相对称正弦系统中：本文定义的瞬时复功率、有功和无功和按传统功率理论定义的复功率、有功和无功具有相同的表达形式和数值；本文所定义的瞬时有功、无功电流和Fryze 定义的相应量具有相同的数值。