高考知识点汇总之概率模块

概

一计数原理

1、 分类计数原理：要完成一件事，分成n类方法，第一类方法中有m1种不同方法，第二

类方法中有m2种不同方法、、、第n类方法中有mn种不同方法，则完成这件事共有

Nm1m2...mn种不同方法。

2、 分步计数原理：要完成一件事，分成n个步骤，第一步中有m1种不同方法，第二步中

有m2种不同方法、、、第n步中有mn种不同方法，则完成这件事共有Nm1m2mn种不同方法。

3、 计数原理部分应用题型

1）数字问题：数字问题在高考中出题的概率比较大，而且题型变化比较多。 ①用0、1、2、3、4五个数字可以组成多少个三位数？

要完成三位数，只需要把百位，十位，个位选好数字

N=455100

②用0、1、2、3、4五个数字可以组成多少个无重复数字的三位数？

N=44348

③用0、1、2、3、4五个数字可以组成多少个比213小的数？

首先先观察需要进行分类：一位数，二位数和三位数（没强调可不可重复默认可以重复） 一位数：5个 二位数：4520个 三位数：555333 所以：N=58

有四种不同颜色的涂料，对图中五个区域进行上色，要求相邻区域不同色，则有多少种不同上色方法？

（一）1、3同色4312372 1、3不同色4321372共144种 （二）先从5开始上色43322144种

4 3 2

3）实际应用问题：

有四种不同颜色的染料，对图中五个区域进行上色，要求相邻区域不同色，

有多少种不同的上色方法？ 2、4同色：4321248 2、4不同色：4321124 共48+24=72种不同上色方法。

①某人写了3封信，想邮给2个人，有多少种不同的邮递方法？23 ②一公交车上有5名乘客，沿途停靠3站，有多少种不同的下车方式？3

5

③3名运动员争夺2个单项运动的冠军，有多少种不同的夺冠方式？32 ④集合A=1,2,3,4

，集合B=a,b,c则不同的f4

:AB有多少个？3

小结：对于实际应用问题中，最容易出错的地方就是分不清楚谁选谁的问题，通过上面例题不难发现，先观察谁可以多对一，则可以多对一的一方作为主选元素考虑。 4）优先原则问题：优先原则问题在解决一些比较难的问题中显得尤为重要。

①三个人每个人写一张贺年卡，每人取一张其他人写的，有多少种不同的取法？2种 ②四个人每个人写一张贺年卡，每人取一张其他人写的，有多少种不同的取法？3319 ③五个人每个人写一张贺年卡，每人取一张其他人写的，有多少种不同的取法？

4(2331)44

二、排列

1、定义：一般地，从n个不同元素中任意取出m个元素，（0mn，m,nN）按照一定顺序排成一列。

2、排列数：排列的个数。记作：Anm Ann(n1)(n2)(nm1)

m

n!(nm)!

3、排列应用

15

1）六个人站一排，甲不站在两端，有多少种不同的站法？A4A5(特殊元素法)

特殊元素法：先排特殊元素，再排其他非特殊元素。

615

2）六个人站一排，甲不站在两端，有多少种不同的站法？A6A2A5（排除法）

3)六个

A4A3（捆绑法）

43

33

4）六个人站一排，甲乙丙互不相邻，有多少种不同的站法？A3A4（插空法）

5）六个人站一排，甲必须站在乙的左边，有多少种不同的站法？

12

A6（概率法）

6

小结：插空法比较特殊，先研究非特殊元素，再排特殊元素。其他方法都是先研究特殊元素。 三、组合

1、定义：一般地，从n个不同元素中任意取出m个元素，（0mn，m,nN）并成一组。

2、组合数：组合的个数。记作：Cn

C

m

n

m



An

mm

Am



n!(nm)!m!

3、组合数性质

1）CnmCnnm

2）Cnm1CnmCnm1 设计情境：1个班长和n个学生（共n+1人）中选出m个人参加活动，则共有Cnm1种方法。分成两类：第一类班长参加，有Cnm1；第二类班长不参加，有Cnm。 3）kCnknCnk11 推导：kCnkk应用举例：

C2C3C4C10C11165（利用性质二） 1Cn2CnnCnnCn1nCn1nCn1n2

1

2

n

1

n1

n1

2

2

2

2

3

n!(nk)!k!

n

(n1)!(nk)!(k1)!

nCn1

k1

（利用性质三）

4、组合应用问题

123

C5C3 1）六本不同的书，把书分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本。C6

1233

2）六本不同的书，把书分给三个人，一人1本，一人2本，一人3本。C6C5C3A3

3）六本不同的书，把书平均分成三堆，每堆2本。

C6C4C2

A3

23

222

4）六本不同的书，把书平均分给三个人，每人2本。

C6C4C2

A3

3

22

A3C6C4C2

1

1

2

2

3222

5）六本不同的书，把书分成四堆，一堆1本，一堆1本，一堆2本，一堆2C6C5C4C2

A2A2

1

12

2

6)六本不同的书，把书分成四堆，一堆1本，一堆1本，一堆1本，一堆3本。小结：组合应用中，平均分配问题是重点。谨记：平均分成几堆就除以几阶。

C6C5C4C3

A

3

3

13

四、相同元素的排列组合问题 无论在排列还是组合问题中，我们研究的都是不同元素中取元素的问题，而在最近几年的高考中，出现了相同元素中排列组合问题，把相同元素问题去转化为不同元素问题去解决时，隔板法是最常用的方法。区分相同元素和不同元素主要看是否只与数量有关，而与元素个体无关。

举例：12个相同小球，放入编号为1、2、3、4的四个盒子中1）每个盒子可空2）每个盒子至少放一个小球3）每个盒子的小球数不小于其编号数。则有多少种不同的放法？ 分析：相同元素问题：与每个个体无关，只与每个盒子放的小球数量有关。所以用隔板法 1） 位置隔板法：12个相同小球占12个位置，要把其分成四堆需要加3个隔板，所以一共

需要12+3=15个位置，从15个位置中任意选出3个位置放隔板既可。C15

2） 插空隔板法：12个相同小球中间出现11个空位置，因为每个盒子中至少放一个小球，

3

所以隔板不能相临且不能放在两端，故只需要从11个空位置中任意选出3个位置放置

3

隔板既可。C11

本问还可以用位置隔板法去解决：先满足题意要求，每个盒子中各放一个小球，则题目变为：有8个相同小球，放入编号为1、2、3、4的四个盒子，每个盒子可空，有多少

3

种不同放法？共需要8+3=11个位置，从11个位置中任意选出3个位置放隔板既可。C11

3）依然转化为位置隔板法解决。满足题目要求，1号盒子放1个小球，2号盒子放2个小球，3号盒子放3个小球，4号盒子放4个小球。题目转化为：2个相同小球放编号1、2、3、4的四个盒子，每个盒子可不放球问题。C53

此类相同元素问题变式很多，还可以变化为方程根的情况。如：方程x1x2x3x412有多少组非负整数解？有多少组正整数解？ 五、容易混淆的排列组合问题

5张电影票分给三个人1）每个人可不分票2）每个人至少分一张票？（不同元素问题） 1） 分步记数原理：35

2） 先把票分两堆，有两种分法：1、1、3和1、2、2按照先分堆再分人的原则有 (

C5C4CA

2

21

1

33



CCC4

5

A

22

12

)A3

22

3

5张展览会入场券分给三个人1）每个人可不分票2）每个人至少分一张票？（相同元素问题）

1） 位置隔板法：需要两个隔板C7 2） 插空隔板法：C4

小结：排列组合问题是解决概率问题的基础，这部分内容不容小觑，在备战高考复习中应强化排列组合的练习。 六、二项式定理

n0n1n1rnrrnn

1、定义：(ab)CnaCnabCnabCnb

2

2

rnrrr

2、通项：TrCnab(rN,0rn)其中二项式系数： Cn

n0122nn

3、引申：(1x)CnCnxCnxCnx

012nn

令x=1则CnCnCnCn2

令x1则：

CnCnCnCnCn(1)0即：CnCnCnCnCnCn2

1

2

3

n

n

2

4

1

3

5

n1

4、二项式系数性质 1）对称性：

CnCn



2）二项式系数最大项

当n为奇数时，有两项最大。第当n为偶数时，有一项最大，第

n12n2

项和第

n12

+1项

1项

小结：可以结合杨辉三角记忆二项式系数性质。 七、概率

1、事件分类：必然事件、随机事件、不可能事件

2、概率定义：经过大量的重复试验，某事件A发生的频率总是在某个常数a附近摆动，则我们称这个常数a为A事件发生的概率。记作：P(A)a

小结：概率和频率有本质上的区别，注意区分。若某事件发生的频率为0.5，重复10次，则事件一定发生5次；若某事件发生的概率为0.5，重复10次，则事件发生的次数只是在理论上为5次，还有其他可能。总的来说，概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值。频率在一定程度上可以反映事件发生的可能性大小，概率是频率的科学抽象。 3、古典概型（等可能事件的概率）

1）等可能事件：事件发生的结果数必须是有限个；试验中每个个体被选取的可能性必须相同。

2）概率公式：P(A)

mn

（m为A事件发生的结果数，n为基本事件数）

小结：等可能事件的概率求法是概率的基础，重要性不容忽视。 4、互斥事件的概率

1）互斥事件：在随机试验中，不可能同时发生的事件。 2）AB事件：A事件或B事件发生。 3）概率公式：P(AB)P(A)P(B)

小结：在应用概率和公式时，必须先分析A、B事件是否为互斥事件。 5、对立事件的概率

1）对立事件：互斥事件中必有一个要发生。 2）概率公式：P(A)1P(A)

小结：注意区分互斥事件和对立事件。对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。例如：一个袋中装有5个红球，3个白球，2个黄球，从中取球问题？1）A事件：从袋子中取出二个红球，B事件：从袋子中取出二个白球。分析：A和B事件不可能同时发生，所以A和B事件为互斥事件。是否为对立事件取决于是否这两个事件必有一个要发生？因为还有可能取出黄球，所以A和B事件不是对立事件。2）A事件：从袋子中取出二个红球，B事件：从袋子中取出二个球，颜色为白色或黄色。分析：因为A和B事件不可能同时发生，A不发生则B事件发生，所以A和B事件为对立事件。 6、独立事件的概率

1）独立事件：A事件发生与否对B事件无任何影响，则A、B事件为独立事件。 2）AB事件：A、B同时发生的事件 3）概率公式：P(AB)P(A)P(B) 7、贝努立试验（n次独立重复试验）

1）n次独立重复试验：每次试验都是在重复上一个试验的事件。

2）贝努立公式：Pn(k)CnkPk(1P)nk（n次独立重复事件中某事件A发生k次的概率）

1n11nn3）服从二项分布：(1PP)nCn0(1P)nCn(1P)PCnP

通项公式：0Pi1Tk1Cnkpk(1p)nk

8、条件概率

1）考纲要求：了解条件概率的概念，能利用条件概率解决简单的实际问题。 2）条件概率定义：设A、B为两个事件，且P(A)0，称P(B/A)A发生的条件下，事件B发生的概率。

注意：由条件概率公式可变形得到P(AB)P(A)P(B/A)P(B)P(A/B),数学上称之为概率的乘法公式。区分条件概率P(B/A)和概率P(B)：它们都以样本空间为总样本，样本空间的划分也相同，但是它们取概率的前提是不相同的，P(B)是指在整个样本空间条件下B事件发生的可能性大小；P(B/A)是指在A事件发生的条件下，B事件发生的可能性大小。 3）高考例题

1号箱子中有2个白球4个红球，2号箱子中有5个白球3个红球，现在随机地从1号箱子中取出一球放入2号箱子，然后从2号箱子中随机取出一球，问从2号箱子中取出红球的概率是多少？

解析：事件A：最后从2号箱子取出的是红球 事件B：从1号箱子中取出的事红球

P(B)

424

23

P(AB)P(A)

为在事件

P(A/B)

3181



49

P(B)1P(B) P(A/B)

3

1127

1381



13

从而P(A)P(AB)P(AB)P(A/B)P(B)P(A/B)P(B)

小结：对于复杂事件的概率，可以划归为几个互不相容的简单事件，然后利用条件概率和变形后的概率乘法公式。

9、几何概型（考纲要求：体会几何概型的意义）

1）定义：若一个实验具有：每次试验的结果都是无限个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；每次试验的各种结果都是等可能的。则这样的试验叫几何概型。 2）几何概型具有两个特点：无限性和等可能性。

3）几何概型的概率公式：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域，事件A所对应的区域用A表示（A），则P(A)

A的度量的度量

小结：是否能运用几何概型来解决问题关键在于能否把问题量化，几何化。在几何概型中，“等可能”应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小只与该区域的度量成正比，而与该区域的位置和形状无关。

4）高考例题

设关于x的方程x22axb20，1）若a是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求方程有实数根的概率。2）若a是从区间0,3任取的一个数，b是从区间0,2任取的一个数，求方程有实数根的概率。

解析：设事件A为“方程x22axb20的实数根”当a0,b0时，方程有实数根的充要条件为ab。

1） 基本事件数（a,b）有12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，

0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）事件A结果数9个所以P(A)

34

2） 试验的全部结果所构成的区域为(a,b)0a3,0b2，事件A所在的区域可表

32

12

2

示为(a,b)0a3,0b2,ab，作图知P(A)八、离散型随机变量

32



23

1、随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，通常用字母,来表示。 2、随机变量的分类：1）离散型随机变量：所有试验结果的变量可以一一列出的2）连续型随机变量：试验结果无法列出，是某区间内的所有值。 3、离散型随机变量的分布列

若离散型随机变量可能取到的不同值为x1,x2...xn，对于X取每个值xi(i1,2...n)的概率

P(Xxi)Pi，则表

称为离散型随机变量的概率分布，简称为的分布列。 4、离散型随机变量分布列的性质

n

1）PiP1P2...Pn1 2）0Pi1

i1

5、二项分布

在n次独立重复试验中，事件A发生的次数是一个随机变量，其所有可能取的值0、1、2。。。

n

n，且P(k)Cpq

k

n

knk

(q1p)显然，P(k)0，Cnpq

k0

kknk

(pq)1

n

若服从二项分布，可以记作B(n,p) 6、超几何分布

一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取出n(nN)件，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，当X取值为m时的概率为：

P(Xm)

CMCNM

CN

nm

nm

(0ml,l为M和n中较小的一个），数学上把离散型随机变量X

的这种形式的概率分布称为超几何分布，也叫X服从参数为N,M，n的超几何分布 归纳总结：

1、 关于离散型随机变量分布列的计算方法：1）写出随机变量的所有可能取值2）利用随

机事件概率求法，计算出取每个值的概率3）列表写出的分布列

01

2、 常见的离散型随机变量的分布列：1）单点分布。它的分布列为 2）两点分布。它

01

的分布列为，其中0p1且pq1 3）二项分布

qp

小结：求离散型随机变量分布列需要注意搞清楚随机变量的每个取值所对应的随机事件的类型，并且用性质检验正确与否。

九、随机变量的数字特征

1、数学期望：Ex1p1x2p2...xnpn为的数学期望，简称期望。 数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平。

2、数学期望的性质：1）E(ab)aEb 2）若B(n,p)，则Enp 3）若服从参数为N,M,n的超几何分布，E

nMN

3、期望是算术平均数概念的推广，是概率意义下的平均。期望是一个实数，由随机变量的分布列唯一确定，虽然可变，但E不变，它体现的是的平均状态。

4、方差：一般地，设一个离散型随机变量的所有可能取的值为x1,x2...xn，这些值对应的

222

概率为P1,P2...Pn,则D(x1E)P1(x2E)P2...(xnE)Pn叫离散型随机变

量的方差。

5、方差反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小，或说离散程度。

的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量。

6、方差性质：1）D(ab)a2D 2）若B(n,p)，则Dnp(1p)

7、方差表示随机变量的平均偏离程度，方差越大表示平均偏离程度越大，说明随机变量的取值越分散。

十、抽样方法和总体的概率分布正态分布

1、抽样方法

1）简单随机抽样：设一个总体个数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，这样的抽样方法叫简单随机抽样。常用方法有抽签法和随机数表法。

2）系统抽样：将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定的规则，从每个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样叫系统抽样。

3）分层抽样：已知总体是由差异明显的几部分组成，将总体分成几部分，按照各部分所占比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。

4）小结：在随机抽样中，当总体的个数比较少时，用简单随机抽样；当总体的个体比较多时，用系统抽样；当总体由明显几部分组成且总体的个体比较多时，用分层抽样。 2

、正态曲线：函数,(x)

(x)2

22

的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

ba

3、正态分布：如果对于任何实数ab，随机变量X满足P(aXb)则称X的分布为正态分布。

正态分布完全由参数和确定，所以正态分布常记作N(,2) 4、正态曲线性质

1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交 2）曲线是单峰时，它关于直线x对称 3）曲线在x



,(x)dx，

4）曲线与x轴之间的面积为1

5）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

P(X)0.6826 P(2X2)0.9544 P(3X3)0.9974

这三个概率值是已知的，把所求问题转到这三个区间内解决。