关于线性微分方程的解的性质
Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 88-96 doi:10.4236/pm.2012.22015 Published Online April 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm)
The Relation between Solutions of a Class of Higher
Order Differential Equations with Periodic Coefficients
and Functions of Small Growth*
Qing Wang1, Zongxuan Chen2#
School of Mathematical Sciences, South China Normal University, Guangzhou
Email: [email protected], #[email protected]
Received: Dec. 31st, 2011; revised: Jan. 13th, 2012; accepted: Jan. 22nd, 2012
Abstract: In this paper, we investigate the differential equations kzzk1zzfPeQek1k1fP0eQ0ef0 and kzzk1P0ezQ0ezfR1ezR2ez. Moreover, we obtained fPeQefk1k1
the relation between solutions of the two differential equations and their 1th derivatives of differential equa-tion and small functions.
Keywords: Differential Equation; Entire Functions; Function of Small Growth; Exponent of Convergence
关于线性微分方程的解的性质*
王 青1,陈宗煊2#
华南师范大学数学科学学院,广州
Email: [email protected], #[email protected]
收稿日期:2011年12月31日;修回日期:2012年1月13日;录用日期:2012年1月22日
kzzk1z
摘 要:在文中研究了微分方程f
kzk1zz
fPeQef1100kk
数与小函数的关系。
关键词:微分方程;整函数;小函数;收敛指数
fPeQef0和
PeQefReRe的解以及它们的一阶导
Pk1eQk1e
z
z
z
z
1
2
1. 引言
本文使用值分布理论的标准记号(见文[1]),还使用2f表示亚纯函数fz的超级,用f,f分别表示亚纯函数fz的零点及不同零点的收敛指数,用f表示亚纯函数取小函数的点的收敛指数,以及
2f[2]表示亚纯函数取小函数的点的二级收敛指数。还使用f表示亚纯函数f的不动点收敛指数,以及2f[2]表示亚纯函数f的二级不动点收敛指数。
考虑微分方程:
kzzk1P0ezQ0ezf0, (1.1) fPeQefk1k1
*
基金项目:国家自然科学基金资助项目(NO. 11171119)。
#
通讯作者。
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王青 等 关于线性微分方程的解的性质
kzzk1P0ezQ0ezfR1ezR2ez, (1.2) fPeQefk1k1
PjezQjezajmje
mjz
aj1jezcj0bj1ezbjnje
njz
,
R1ezR2ezamjemza1jezc0b1jezbnjenz.且R1ezR2ez不恒为零,其中ajmj,,
且ajmj0,bjnj0.陈宗煊在文[3]中研究了方程(1.1) aj1,cj0,bj1,,bjnjj0,1,,,k1为常数,mj,nj为正整数,
(1.2)的级,超级以及次正规解,并得到了以下定理:
定理A[3] 假设Pjz,Qjzj0,1,,,k1为关于z的多项式,且degPjmj,degQjnj。若P0满足
m0maxmj:j1,2,,k1, (1.3)
或者Q0满足
n0maxnj:j1,2,,k1, (1.4)
那么,方程(1.1)没有非平凡次正规解,且方程(1.1)的每个解f的超级2f1.
定理B[3] 假设Pjz,Qjzj0,1,,,k1,Rizi1,2均为关于z的多项式,且degPjmj,
degQjnj。若满足P0(1.3)或者Q0满足(1.4),那么 式。
1) 方程(1.2)至多有一个非平凡次正规解f0,且形如f0zS1ezS2ez,其中S1,S2均为关于z的多项2) 除去1)中可能存在的一个次正规解,方程(1.2)的其余解f的超级2f1.
在此基础上,我们研究了方程(1.1)和方程(1.2)的解与小函数的关系,并得到了以下结论:
定理1.1 假设Pjz,Qjzj0,1,,,k1为关于z的多项式,且degPjmj,degQjnj.若P0满足式(1.3)或者Q0满足式(1.4)。若(不恒为零)是有限级整函数,那么对于微分方程(1.1)的任一非零解f满足
ff. 2f2f1.
若1,还有
ff. 2f2f1.
定理1.2假设Pjz,Qjzj0,1,,,k1,Rizi1,2均为关于z的多项式,且degPjmj,degQjnj.若P0满足(1.3)或者Q0满足(1.4),那么
1) 方程(1.2)至多有一个有限级解f0,其余所有非零解f有f.
2) 若(不恒等于f0)是有限级非零整函数,那么对于微分方程(1.2)的任一无穷级解f,满足
ff. 2f2f1.
特别地,若是级小于1的非零整函数且(不恒等于f0),并且以下两个条件之一成立:
2) n0maxnj:j1,2,,k1且nn0.
1) m0maxmj:j1,2,,k1且mm0,
则对于除去1)中可能存在的有限级例外解f0以外的所有解f还有
ff. 2f2f1.
事实上,当z时,由以上定理就能得到方程(1.1)方程(1.2)的解的不动点的一系列结论:
推论1.3 假设Pjz,Qjzj0,1,,,k1以及mj,nj满足定理1.1的条件。则方程(1.1)的每个非零解f及其一阶导数f均有无穷多个不动点,且ff,2f2f1.
推论1.4 假设Pjz,Qjzj0,1,,,k1,Rizi1,2以及mj,nj满足定理1.2的条件。则方程(1.2)的每个非零解f及其一阶导数f均有无穷多个不动点,且ff,2f2f1,至多一个例外。
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2. 为证明定理所需要的引理
引理2.1[3] 假设Gr和Hr为两个定义在0,内的非减实函数。
1) 若除去一个有穷线测度的集合E外有GrHr,那么对任意的1,存在r0使得对所有rr0都有GrHr。
2) 若存在一个集合E,其对数测度mlE,集合E的对数测度mlE定义为
mlE
1
Et
)dt,
1,rE
其中Et,使得当rE时GrHr,那么对任意常e,当r1时,有GrHr。
0,rE
引理2.2[4] 假设A0,A1,,Ak1,F(不恒为零)是有限级亚纯函数,如果fz是方程
fAk1f
k
k1
A1fA0fF
的亚纯解,并且f,那么fff。
3. 定理1.1的证明
首先证明方程(1.1)的的任一非零解f有f。假设f为方程(1.1)的任一非零解,由微分方程基本理论易知f为整函数。由文[3]定理2的证明过程知,当P0满足(1.3)或者Q0满足(1.4)时,f为超越整函数,且f。 令g0f,那么g0f,2g02f1和g0f。将fg0代入方程(1.1)中,得到
kk1zzP0ezQ0ezg0hz. (3.1) g0PeQegkk110
kzzzzk1
其中hzPeQekk11P0eQ0e。注意到方程(3.1)可能具有有限级解,但
这里仅讨论g0f为无穷级的解。所以接下来只对方程(3.1)的无穷级解g0,计算g0。方程(3.1)的右边项
h0。这是因为若h0,则易知是方程(1.1)的一个有限级非零解,这与定理A矛盾。根据引理2.2知,对于方程(3.1)而言,有g0g0f,即f。
下面证明2f2f1。由(3.1)式,若z0为g0的l阶零点且lk,则z0必为hz的lk阶零点,并且有
111
Nr,kNr,Nr,hz. (3.2) gg00
由(3.1)式两边同除以hzg0得到
kk111g0zzg0zzPeQePeQe. (3.3) k10k1g0g0hzg00
k
所以有
11k1
mr,mr,mr,PjezQjezg0hzj0
g0i
mr,
g0
i1
. (3.4)
由对数导数引理,除去一线测度为有穷的集合E外,有
g0imr,g
0
OlogrTr,g0. (3.5)
由于hz,PjQj均为级为1的整函数,故当r充分大时,
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王青 等 关于线性微分方程的解的性质
mr,hzr2,mr,PjQjr2. (3.6)
故,由(3.2)-(3.6)式知,当rE且r充分大时,
1
Tr,g0kNr,
g0
2
OrlogrTr,g0. (3.7)
又当r充分大时,
1
OlogrTr,g0Tr,g0. (3.8)
2
故由(3.7),(3.8)式知,当rE且r充分大时,
11
Tr,g0kNr,2g0
2
Or. (3.9)
由(3.9)式结合引理2.1知2g02g0。故2g02g02f1。所以,2f2g01。
下面证明f。令g1f,那么有g1ff,2g12f2f1和
g1f。对方程(1.1)的两边微分,得到
f
k1
k1
izzkPk1eQk1efPiezQiezPi1ezQi1ezfi1
P0ezQ0ezf0.
1
k
z
(3.10)
又由方程(1.1)得到
f
fPeQez
Pk1ezQk1ezfk1PezQ1ezf. (3.11) 1
将(3.11)式代入(3.10)式得到
zzPeQek00
fk1Pk1ezQk1ezfzz
P0eQ0e
(3.12) zzzzQ0eP0ePieQiek1
fi0. Pi1ezQi1ezPiezQiezzzP0eQ0ei1
将fg1,fg1,代入式(3.12),得到
zzPeQek100
g1kPk1ezQk1ezg1zz
P0eQ0e
(3.13) zzzzQ0eP0ePi1eQi1ek2
g1Sz.PiezQiezPi1ezQi1ezzz1
P0eQ0ei0
其中
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92 王青 等 关于线性微分方程的解的性质
zz
PeQe00
SzkPk1ezQk1ez
P0ezQ0ez
k2
zzzzQi1e PieQiePi1e
i0
k1
Pe
z
z
zzQ0ePi1eQi1e
(i).
P0ezQ0ez
先证明Sz0。假设Sz0,也即
P0ezQ0ezkP0ezQ0ez
Pk1ezQk1ez
z
z
z
z
i1
k1P0ezQ0ez
k2
P0ezQ0ez
i0
PeQePeQe
i1z
z
z
z
(3.14)
i
PiezQiez
PeQePeQe0.
i1
i1
00
以下分两种情况进行证明:1) P0满足式(1.3)。2) Q0满足式(1.4)。
1) P0满足式(1.3)时,取zrr0,,由(3.14)式易得到(3.14) 式左边关于ez的最高次项
a20m0e2m0r0. (3.15)
得到
a0m00. (3.16)
这与P0ez的定义矛盾。
Q0ez的定义矛盾。
2n0r2
2) Q0满足式(1.4)时,取zrr0,,此时,(3.14)式左边关于ez的最高次项b00。这与n0e
综合1)和2)两种情况可知Sz0。由引理2.3可知,g1fg1。
下面证明2f2f1。由之前已证得Sz0。且由式(3.13)知,若z0为g1的l阶零点且lk,则z0必为Sz的lk阶零点,有
111
,Nr,kNr,Nr. (3.17) Szgg11
由(3.13)式两边同除以Szg1得到
kP0ezQ0ezgk111g11
Pk1ezQk1ezzzg1Szg1P0eQ0eg1
zzzzPeQePeQe0i10i1k2gi
zzzz1
PieQiePi1eQi1ezzg1
P0eQ0ei0
(3.18) .
所以有
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11k1
mr,mr,2mr,PjezQjezj0g1Sz
k1
mr,PjezQjezj1
g1i
mr,
gi11
k
zQ0ezP0e
kmr,.zzP0eQ0e
(3.19)
由对数导数引理,除去一线测度为有穷的集合E1外,有
g1i
mr,g
1
OlogrTr,g1. (3.20)
由于由于Sz,PjezQjez,Pjez
Qe均为级为1的整函数,故当r充分大时,
zj
12zzTr,Szr,mr,PjeQje
r
2
,mr,PjezQjezr2. (3.21)
由对数导数引理,除去一线测度为有穷的集合E2外,有
zzPeQe00
mr,Ologr. (3.22) zz
PeQe00
由(3.17)-(3.22)式可知
1
Tr,g1kNr,OlogrOr2OlogrTr,g1. (3.23)
g1
又当r充分大时,
1
OlogrTr,g1Tr,g1. (3.24)
2
由(3.23) (3.24)式得到,当rE1E2且r充分大时,
11
Tr,g1kNr,Or2Ologr. (3.25) 2g1
由(3.25)式结合引理2.1知,2g12g12f2f1。立刻得到,2f2f1。
4. 定理1.2的证明
假设f为方程(1.2)的任一解,由微分方程基本理论易知f为整函数。方程(1.2)至多有一个有限级整函数解f0。这是因为假设f1为方程(1.2)的另一个有限级整函数解,即f1,则f1f0。而f1f0为对应的齐次方程(1.1)的解,则与定理A矛盾。故方程(1.2)至多有一个有限级例外解f0。所以,方程(1.2)的解至多除去一个有限级例外解f0,其余任何解f有f。
接下来证明方程(1.2)的的任一无穷级解f有f。令g0f,那么g0f,
2g02f1和g0f。将fg0代入方程(1.2)中,得到
kk1
g0Pk1ezQk1ezg0P0ezQ0ezg0Tz. (4.1)
kzzk1P0ezQ0ez。其中TzR1ezR2ezPeQe注意到方程(4.1)可能k1k1
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具有有限级解,但这里仅讨论g0f为无穷级的解。所以接下来只对方程(4.1)的无穷级解g0,计算g0。我们断言Tz0,这是因为若Tz,则易知f0是方程(1.2)的一个有限级非零解,这与之前所知方程(1.2)至多有一个有限级例外解f0矛盾。根据引理2.2知,对于方程(4.1)而言,有g0g0g0f。即f。
下面证明2f2f1。
已证得Tz0,由(4.1)式,若z0为g0的l阶零点且lk,则z0必为Tz的lk阶零点,并且有
111
Nr,kNr,Nr,Tz. (4.2) gg00
由(4.1)式两边同除以Tzg0得到
kk111g0zzg0zzPk1eQk1eP0eQ0e. (4.3) gg0Tzg00
所以有
1
mr,g0
1k1
,mrmr,PjezQjezTzj0
g0i
mr,
gi00
k
. (4.4)
又由对数导数引理,除去一线测度为有穷的集合E外,有
g0imr,g0
OlogrTr,g0. (4.5)
由于Tz,PjQj均为级为1的整函数,故当r充分大时,
mr,Tzr2,mr,PjQjr2. (4.6)
故,由(4.2)-(4.6)式知,当rE且r充分大时,
1
Tr,g0kNr,
g0
2
OrOlogrTr,g0. (4.7)
又当r充分大时,
1
OlogrTr,g0Tr,g0. (4.8)
2
故由(4.7),(4.8)式知,当rE且r充分大时,
11
Tr,g0kNr,Or2. (4.9) 2g0
由(4.9)式结合引理2.1知2g02g0。故2g02g02f1。所以,2f2f1。
下面证明f。
假设f为方程(1.2)的任一解,那么至多除去一个有限级例外解f0,其余任何解f有f。且之前已证得f,现在计算f。
令g1f,那么有g1ff,2g12f2f1和g1f。对方程(1.2)的两边微分,得到
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王青 等 关于线性微分方程的解的性质
k1
izzkPk1eQk1efPiezQiezPi1ezQi1ezfi1
f
k1
P0ezQ0ezfR1ezR2ez.
1
P0ezQ0ez
(4.10)
又由方程(1.2)得到
f
k1
ikzz
PiezQkiezf. (4.11) R1eR2efi1
将(4.11)式代入(4.10)式得到
zzPeQek00k1
fPk1ezQk1ezfzz
P0eQ0e
zzzzPeQePeQeii00ik1
zzzzf (4.12) Qie Pi1eQi1ePie
P0ezQ0ezi1
zzzz
PeQe00R1eR2e
zzR2e. R1e
P0ezQ0ez
将fg1,fg1,代入式(4.12),得到
zQ0ezPe0kzz
g1Pk1eQk1e
P0ezQ0ez
k2
PiezQiezPi1ezQi1ez
i0
Rz.
g
1
k1
zzzzPeQePeQei100i1ig (4.13) zz1
P0eQ0e
其中
zzzz
PeQe00R1eR2ek
P0ezQ0ez
RzR1ez
Re
z2
P0ezQ0ezk1
Pk1ezQk1ez
P0ezQ0ez
zzzzPeQePeQe0i10i1ik2
zzzz.Qi1e PieQiePi1ezzP0eQ0ei0
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下面证明Rz0。假设Rz0,也即
zR2ezP0ezQ0ezR1e
PeQeReRe
z
z
z
z
1
2
00
zkzzz
PeQePeQe0000
z
z
Pk1ezQk1ez
z
z
k2
P0ezQ0ezi0
k1P0ezQ0ez
(4.14)
i
PeQePeQe
i1
i1
z
z
z
z
i
i1
i1
PeQePeQePeQe0.
z
z
i
以下分两种情况进行证明:
1) m0maxmj:j1,2,,k1且mm0, 2) n0maxnj:j1,2,,k1且nn0。
1) m0maxmj:j1,2,,k1且mm0时,取zrr0,。
情形1:若mm0,则(4.14)式左边关于ez的最高次项a0m0amma0m0amm0e
m0mr
0。得到mm0。这与
mm0矛盾。
2m0r2
情形2:若mm0,则(4.14)式左边关于ez的最高次项a0得到a0m00。这与P0ez的定义矛盾。 0。m0e
由情形1,2可知:Rz0。
2) n0maxnj:j1,2,,k1且nn0时,取zrr0,,接下来的证明方法和1)一样。由1)和2)可知,Rz0。再结合引理2.2可得到f。
下面用证明2f2f1的方法可以同样证明得到2f2f1。
参考文献 (References)
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