2014年山东高考理科数学试题及详细解析

2014年山东省高考理科真题解析（新东方在线版）

新东方在线

2014年高考落下帷幕，新东方在线联合济南新东方学校推出2014高考数学（理科）真题解析，详细解读了每道题的考点和解法，对2015年高考数学复习具有极强的指导作用。

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。

（a +bi ）= 1. 已知a , b ∈R , i 是虚数单位，若a -i 与2+bi 互为共轭复数，则

（A ）5-4i (B) 5+4i (C) 3-4i (D) 3+4i

答案：D

解析：a -i 与2+bi 互为共轭复数，

2

∴a =2, b =1∴(a +bi )=(2+i )=4+4i +i 2=3+4i

22

x

2. 设集合A ={x x -

(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C 解析：

Q x -1

3. 函数f (x ) =

1(log2x ) -1

2

的定义域为

+∞) +∞) (C) (0) (2, +∞) (D) (0] [2，(A)(0) (B) (2，

答案：C

解析：

121212

(log 2x )

2

-1>0

∴log 2x >1或∴log 2x

∴x >2 或∴0

1。 2

2

4. 用反证法证明命题“设a , b ∈R , 则方程x +ax +b =0至少有一个实根”时要做的假设是

(A)方程x +ax +b =0没有实根 (B)方程x +ax +b =0至多有一个实根

2

2

(C)方程x +ax +b =0至多有两个实根 (D)方程x +ax +b =0恰好有两个实根 5. 已知实数x , y 满足a x

22

113322

>sin x >sin y (B) (C) (D) x >y ln(x +1) >ln(y +1) 22

x +1y +1

答案：D 解析：

Q a x y

，排除A,B ，对于C ，sin x 是周期函数，排除C 。

6. 直线y =4x 与曲线y =x 在第一象限内围成的封闭图形的面积为

2

（A ）22（B ）42（C ）2（D ）4 答案：D 解析：

Q 4x =x 3，Q 4x -x 3=x (4-x 2)=x (2+x )(2-x )

第一象限

⎰(4x -x )=2x

3

2

2

-

14

x =8-4=0 4

7. 为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，„„，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为

舒张压/kPa

（A ）6 （B ）8 （C ） 12（D ）18 答案：C

解析：第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4 20÷0.4=50

50⨯0.36=18

18-6=12

8. 已知函数f (x )=x -2+1g (x )=kx . 若方程f

, 数k 的取值范围是

(x )=g (x )有两个不相等的实根，则实

（1，2）（0）（，1）（2，+∞）（A ）（B ）（C ）（D ）

答案：B

解析：画出f (x )的图象最低点是(2,1)，g (x )=kx 过原点和(2,1)时斜率最小为最大时g (x )的斜率与f (x )=x -1的斜率一致。 9. 已知x, y 满足的约束条件⎨

1

212

1

，斜率2

⎧x -y -1≤0,

当目标函数z =ax +by(a>0, b >0) 在该约束

⎩2x -y -3≥0,

22

条件下取得最小值25时，a +b 的最小值为

（A ）5（B ）4（C ）5（D ）2 答案：B 解析：⎨

⎧x -y -1≤0

求得交点为(2,1)，

则2a +b =，即圆心(0, 0)到直

线

⎩2x -y -3≥0

2

⎛2

=2=4。 2a +b -=

0的距离的平方

x 2y 2x 2y 2

10. 已知a >0, b >0, 椭圆C 1的方程为2+2=1，双曲线C 2的方程为2-2=1，C 1与

a b a b

C 2的离心率之积为

，则C 2的渐近线方程为 2

（A ）x ±2y =0（B ）2x ±y =0（C ）x ±2y =0（D ）2x ±y =0 答案：A

解析：

c 2a 2-b 2

e 1=2=

a a 2c 2a 2+b 22

e 2=2=

a a 2

a 4-b 43244

∴(

e 1e 2)==∴a =4b 4

a 4

2

∴

b =±a 2

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。 11. 执行下面的程序框图，若输入的x 的值为1

，

则输出的n 的值为 。 答案：3

2

解析：根据判断条件x -4x +3≤0，得1≤x ≤3，

输入x =1

第一次判断后循环，x =x +1=2, n =n +1=1 第二次判断后循环，x =x +1=3, n =n +1=2 第三次判断后循环，x =x +1=4, n =n +1=3 第四次判断不满足条件，退出循环，输出n =3

uu u r uu u r π

12. 在V ABC 中，已知AB ⋅AC =tan A ，当A =时，V ABC 的面积为。

6

1答案：

6

解析：由条件可知AB ⋅AC =cb cos A =tan A ， 当A =

13. 三棱锥P -ABC 中，D , E 分别为PB , PC 的中点，记三棱锥D -ABE 的体积为V 1，

π

6

，bc =

211, S ∆ABC =bc sin A = 326

P -ABC 的体积为V 2，则

答案：

V 1

=。 V 2

1 4

解析：分别过E , C 向平面做高h 1, h 2，由E 为PC 的中点得由D 为PB 的中点得S ∆ABD =

4

h 11=， h 22

1111S ∆ABP ，所以V 1:V 2=S ∆ABD ⋅h 1=S ∆ABP ⋅h 2= 2334

b ⎫⎛322

14. 若 ax 6+⎪的展开式中x 项的系数为20，则a +b 的最小值为。

x ⎭⎝

答案：2

r 6-r r 12-3r

解析：将(ax +) 展开，得到T r +1=C 6，令12-3r =3, 得r =3. a b x 333由C 6a b =20，得ab =1，所以a +b ≥2ab =2.

2

2

2

b

x

6

15. 已知函数y =f (x )(x ∈R ) ，对函数y =g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y =h (x )(x ∈I )，y =h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点x , h (x ), x , g (x )关于点x , f (x )对称，若h (x )是g (

x )=

()()

()

f (x )=3x +b 的“对称函数”，且

h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是。

答案：b >2

解析：根据图像分析得，当f (x ) =3x +b 与g (x ) =4-x 2在第二象限相切时，

b =2，由h (x ) >g (x ) 恒成立得b >2.

三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16. （本小题满分12分）

已知向量a =(m ,cos 2x ), b =(sin 2x , n )，函数f (x )=a ⋅b ，且y =f (x )的图像过

点

⎛π⎛2π⎫

和点 , -2⎪. ⎝12⎝3⎭

（I ）求m , n 的值；

（II ）将y =f (x )的图像向左平移ϕ(0

y =g (x )图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y =g (x )的单调递增区间.

解：（Ⅰ）已知f (x ) =⋅=m sin 2x +n cos 2x ，

f (x ) 过点(

π

12

, ), (

2π

, -2) 3

∴f () =m sin +n cos =3

12662π4π4π) =m sin +n cos =-2 f (333

πππ

⎧13m +n =⎪⎧m =⎪22解得⎨ ∴⎨

n =1⎩⎪--1=-2

⎪⎩22

（Ⅱ）f (x ) =3sin 2x +cos 2x =2sin(2x +

π

6

)

f (x ) 左移ϕ后得到g (x ) =2sin(2x +2ϕ+

2

π

6

)

设g (x ) 的对称轴为x =x 0， d =+x 0=1解得x 0=0

∴g (0) =2，解得ϕ=∴g (x ) =2sin(2x +

π

6

π

3

+

π

) =2sin(2x +) =2cos 2x

62

π

∴-π+2k π≤2x ≤2k π, k ∈z

-

π

2

+k π≤x ≤k π, k ∈z

∴f (x ) 的单调增区间为[-

17. （本小题满分12分）

π

2

+k π, k π],k ∈z

如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，

∠DAB =60, AB =2CD =2，M 是线段AB 的中点.

D 1

A 1

1

B 1

A

M

B

（I ）求证：C 1M //平面A 1ADD 1；

（II ）若CD 1垂直于平面ABCD

且CD 1C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值. 解：（Ⅰ）连接AD 1

ABCD -A 1B 1C 1D 1为四棱柱，∴CD //C 1D 1 CD =C 1D 1

又 M 为AB 的中点，∴AM =1 ∴CD //AM , CD =AM

∴AM //C 1D 1, AM =C 1D 1 ∴AMC 1D 1为平行四边形 ∴AD 1//MC 1

又 C 1M ⊄平面A 1ADD 1 AD 1⊂平面A 1A D D 1

∴AD 1//平面A 1ADD 1

（Ⅱ）方法一： AB //A 1B 1 A 1B 1//C 1D 1

∴面D 1C 1M 与ABC 1D 1共面

作CN ⊥AB , 连接D 1N 则∠D 1NC 即为所求二面角

在ABCD 中，DC =1, AB =2, ∠DAB =60 ∴CN =

2

在Rt ∆D 1CN 中，CD 1=, CN =方法二：作CP ⊥AB 于p 点

∴D 1N = 22

以C 为原点，CD 为x 轴，CP 为y 轴，CD 1为z 轴建立空间坐标系，

13

∴C 1(-1, 0, 3), D 1(0, 0, 3), M (, , 0)

221∴C 1D 1=(1, 0, 0), D 1=(, , -)

22

设平面C 1D 1M 的法向量为n =(x 1, y 1, z 1)

⎧x 1=0⎪

∴n 1=(0, 2, 1) ∴⎨1y 1-3z 1=0⎪x 1+2⎩2

显然平面ABCD 的法向量为n

2=(1, 0, 0)

∴cos

1 =5显然二面角为锐角，

所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成角的余弦值为

5

NC 5

∴cos ∠D 1CN ====

D 1N 52

18. （本小题满分12分）

乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分. 如图，甲上有两个不相交的区域A , B ，乙被划分为两个不相交的区域C , D . 某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球. 规定：回球一次，落点在C 上的概率为

13

，在D 上的概率为. 假设共有两次来球且落在A , B 上各一次，55

小明的两次回球互不影响. 求：

（I ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （II ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望

.

解：（I ）设恰有一次的落点在乙上这一事件为A

51143P (A ) =⨯+⨯=

656510

（II ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，6

11111131P (ξ=0) =⨯=, P (ξ=1) =⨯+⨯=

[**************]12

P (ξ=2) =⨯=, P (ξ=3) =⨯+⨯=

[***********]

P (ξ=4) =⨯+⨯=, P (ξ=6) =⨯=

2535302510∴ξ的分布列为

∴其数学期望为E (ξ) =0⨯

19.(本小题满分12分）

111211191+1⨯+2⨯+3⨯+4⨯+6⨯= [1**********]0

已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列。 （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）令b n =(-1)

n -1

4n

, 求数列{b n }的前n 项和T n 。 a n a n +1

解：（I ）d =2, S 1=a 1, S 2=2a 1+d , S 4=4a 1+6d ,

2 S 1, S 2, S 4成等比∴S 2=S 1S 4

解得a 1=1, ∴a n =2n -1 （II ）b n =(-1)

n -1

4n 11

=(-1) n -1(+)

a n a n +12n -12n +1

111111111

当n 为偶数时，T n =(1+) -(+) +(+) - +(+) -(+)

335572n -32n -12n -12n +1

12n

∴T n =1-=

2n +12n +1

111111111

当n 为奇数时，T n =(1+) -(+) +(+) - -(+) +(+)

335572n -32n -12n -12n +1

12n +2

∴T n =1+=

2n +12n +1

⎧2n

, n 为偶数⎪⎪2n +1

∴T n =⎨

2n +2⎪, n 为奇数⎪⎩2n +1

20.( 本小题满分13分）

e x 2

设函数f (x )=2-k (+ln x ) （k 为常数，e =2.71828

x x

（I ）当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；

是自然对数的底数）

（II ）若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围。

e x ⋅x 2-2xe x 21解：（1）f (x ) =-k (-+) x 4x 2x

(x -2)(e x -kx ) =(x >0) 3x

当k ≤0时，kx ≤0, ∴e x -kx >0'

令f ' (x ) =0, 则x =2

∴当x ∈(0, 2) 时，f (x ) 单调递减；

当x ∈(2, +∞) 时，f (x ) 单调递增。

（2）令g (x )=e x -kx

则g ' (x ) =e x -k

∴e x =k , x =ln k

g ' (0) =1-k 0

e 2

g (2) =e -k >0, g (2)=e -2k >0∴k

g (ln k )=e ln k -k ln k 1∴k >e ' 22

e 2

综上:e 的取值范围为（e , ）。2

21. （本小题满分14分）

已知抛物线C :y =2px (p ＞0）的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA =FD ，当点A 的横坐标为3时，2ADF 为正三角形。

（I ）求C 的方程；

（II ）若直线l 1//l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ，

（i ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；

（ii ）ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。

解：（1）由抛物线第二定义得：

23-p p =3+22

∴p =2或p =18(舍)

当p =18时，经检验直线l 与C 只有一个交点，不合题意。

∴C 的方程为：y 2=4x

（2）(i ) 设A （x 0, y 0), F (1, 0), D (x 0+1, 0)

2y 0直线l 的斜率k =-y 0, x 0=4

设直线l 的方程为y =-y 0x +b

l 与C 只有一个交点

⎧y =-y 0x +b ∴⎨2⎩y =4x

∆=0

∴b =-1

y 0

2y 012E (2, -), A (, y 0) y 04y 0

k AE =

4y 02y 0-2

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