哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学2014
哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2014年高三第一次高考模拟考试
文 科 数 学
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项:
1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I卷(选择题,共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A{x|x22x0},B{x|4x0},则ACRB {xR|x0} B.A.R
2.若复数z满足iz = 2 + 4i,则复数z =
A.2 + 4i B.2 - 4i
C.{x|0x2} C.4 - 2i
D. D.4 + 2i
3.命题―xR,x23x20‖的否定是
A.xR,x23x20 C.xR,x23x20
B.xR,x23x20 D.xR,x23x20
4.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2 + a4 + a6 = 12,则S7的值是 A.21 B.24 C.28 5.执行如图所示的程序框图,若输入如下四个函数:
①f(x)sinx,②f(x)cosx,③f(x)则输出的函数是 A.f(x)sinx B.f(x)cosx C.f(x)
D.7
1
,④f(x)x2, x
1 x
D.f(x)x2
y1,
6.变量x,y满足约束条件x2,则x + 3y最大值是
xy0,
A.2 B.3 C.4 D.
5
7.直线m,n均不在平面α,β内,给出下列命题:
① 若m∥n,n∥α,则m∥α; ② 若m∥β,α∥β,则m∥α; ③ 若m⊥n,n⊥α,则m∥α; ④ 若m⊥β,α⊥β,则m∥α。 其中正确命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知函数f(x)2xx,g(x)log3x
x,h(x)xa,b,c,则
A.1 B.2 C.3 D.4 9.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为
A.C.
2 3
2 9
10.一个三位自然数百位,十位,个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a > b,b
A.
316D.
9
B.
1 6
B.
5 241C.
3
D.
7 24
x2y2
11.双曲线C:221(a0,b0)的右焦点为F(c,0),以原点为圆心,c为半径的圆与双曲
ab
线在第二象限的交点为A,若此圆在A
A
1
B
C的离心率为 C
. D
log2(1x)1,1x0
12.已知函数f(x)3的值域是[0,2],则实数a的取值范围是
x3x2, 0xa
A.(0,1]
B
.
C.[1,2]
D
.
第II卷(非选择题,共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第13题 ~ 第21题为必考题,每个试题考生都必须作
答,第22题 ~ 第24题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
5
sin()__________。
66
1
14.正方形ABCD的边长为2,DE2EC,DF(DCDB),则BEDF__________。
2
13
.若cos(
)sin
15.正四面体ABCD的棱长为4,E为棱BC的中点,过E作其外接球的截面,则截面面积的最小值为__________。
16.已知函数f(x)|cosx|sinx,给出下列五个说法:
①f(
2014
)|f(x1)||f(x2)|,则x1x2k(kZ);③f(x)在区间[,]344
上单调递增;④函数f(x)的周期为π;⑤f(x)的图象关于点(
其中正确说法的序号是__________。
2
,0)成中心对称。
三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)
三角形ABC中,内角A,B,C所对边a,b,c成公比小于1的等比数列,且sinBsin(AC)2sin2C。 (1)求内角B的余弦值; (2
)若b,求ΔABC的面积。
18.(本小题满分12分)
的关系式为:
0, 0
100,
S4400, 100300,
2000, 300.
试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率; (2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季,其中有8天为重度污染,完成下面2×2列联表,并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关?
附:
2
K
(ab)(cd)(ac)(bd)
19.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥S—ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD垂直于AB和DC,侧棱SA⊥底面ABCD,且SA = 2,AD = DC = 1,点E在SD上,且AE⊥SD。 (1)证明:AE⊥平面SDC; (2)求三棱锥B—ECD的体积。 20.(本小题满分12分)
x2y2
。过坐标原点的直线l1椭圆M:221(ab0)的离心率为,且经过点Pab
与l2均不在坐标轴上,l1与椭圆M交于A,C两点, l2与椭圆M交于B,D两点。
(1)求椭圆M的方程;
(2)若平行四边形ABCD为菱形,求菱形ABCD面积的最小值。 21.(本小题满分12分)
x1
(e为自然对数的底数)。 ex
(1)求函数f(x)的单调区间; 已知函数f(x)
(2)设函数(x)xf(x)tf'(x)
1
,存在函数x1,x2[0,1],使得成立2(x1)(x2)成立,ex
求实数t的取值范围。
请考生在第22,23,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号。 22.(本小题满分10分)
选修4 – 1:几何证明选讲
如图,PA,PB是圆O的两条切线,A,B是切点,C是劣弧AB(不包括端点)上一点,直线PC交圆O于另一点D,Q在弦CD上,且∠DAQ = ∠PBC。求证:
BDBC
;
ADAC
(2)ΔADQ ∽ ΔDBQ。 23.(本小题满分10分)
选修4 – 4:坐标系与参数方程 (1)
x14cos
已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l经过
y24sin
定点P(3,5),倾斜角为
。 3
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程;
(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,求|PA||PB|的值。 22.(本小题满分10分)
选修4 – 5:不等式选讲
设函数f(x)|2x1||x2|。 (1)求不等式f(x)3的解集;
(2)若关于x的不等式f(x)t23t在[0,1]上无解,求实数t的取值范围。
文科数学参考答案
一、选择题
二、填空题
13.
310 14. 15.4 16. (1)(3) 53
三、解答题
17.解:(Ⅰ) sinBsin(AC)2sin2C
sin(AC)sin(AC)4sinCcosCsinA2sinC……………………….2分 a2c
………………………4
分
又因为bac2c
2
2
a2c2b23
……………………….6分 所以cosB
2
ac4
(Ⅱ)bac
……………………….8分 分 又因为sinB
所以SABC
1acsinB12分 218.解:
(Ⅰ)设―在本年内随机抽取一天,该天经济损失S大于200元且不超过600元‖为事件A
……1分 由200S600,得150w250,频数为39,……3分
分
……………….8分
100638227
K2的观测值k4.5753.841……………………….10分
85153070
所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关. ……………………….12分 19.(Ⅰ)证明:侧棱SA底面ABCD,CD底面ABCD SACD. ……………………….1分 又底面ABCD是直角梯形,AD垂直于AB和DC ADCD,又ADSAA
2
CD侧面SAD,……………………….3分 AE侧面SAD
AECD,AESD,CDSDD AE平面SDC……………………….5分
(Ⅱ)
CDAD1
CD平面ASDCDSDSEDDC ……7分 EDC
AECD2
在Rt
ASD中SA2,AD1,AESDED
AE
SEDC
11……9分 2,
CD平面SCDAB//平面SCD, 又因为
AB平面SCD
所以点B到平面SCD的距离等于点A到平面SCD的距离AE ……11分
AB//CD
11VSAE ……12分 所以BCDE3CDE
15
20.解:
a,2a2,222
(Ⅰ)依题意有,又因为abc,所以得2 9
b1.1
221ba
x2
y21. ……4分 故椭圆C的方程为2
(Ⅱ)设直线AC:yk1x,直线BD:yk2x。 联立
x22
2y1,2222
得方程的两个根,即 ……6分 xx(2k1)x202AC12
2k11ykx,
1
故|OA||OC|k1
2
22k1
21
.
同理,|OB||OD|k2
22k21
2
. ……8分
又因为ACBD,所以|OB||OD|(
122
,其中k10. )
2k1
2()1k1
从而菱形ABCD的面积S为
S2|OA||OB|2k1
2
122
, ()2
k2k1112()21k1
2
整理得S4
12
(k1
2)k1
,其中k10. ……10分
故,当k11或1时, ……11分
8
. ……12分 3
x
21. 解:(Ⅰ)∵函数的定义域为R,f(x)x……………………….2分
e
菱形ABCD的面积最小,该最小值为
∴当x0时,f(x)0,当x0时,f(x)0。
∴f(x)在(,0)上单调递增,在(0,)上单调递减。……………………….4分
(Ⅱ)假设存在x1,x2[0,1],使得2(x1)(x2)成立,则2[(x)]min[(x)]max。 ∵(x)xf(x)tf(x)e
x
x2(1t)x1 x
e
x2(1t)xt(xt)(x1)
∴(x)………………………6分
exex
①
当t1时,(x)0,(x)在[0,1]上单调递减,∴2(1)(0),即
t3
e
1。 2
……………………….8分
②当t0时,(x)0,(x)在[0,1]上单调递增,∴2(0)(1),即t32e0。
……………………….10分
③当0t1时,
在x0,t,(x)0,(x)在[0,t]上单调递减 在xt,1,(x)0,(x)在[t,1]上单调递增 所以2(t)max{(0),(1)},即2
t13t
max{1,——(*) ete
t1
在[0,1]上单调递减 et
4t123t3
,所以不等式(*)无解 故2t2,而
eeeee
e
综上所述,存在t(,32e)(3,),使得命题成
2
由(Ⅰ)知,g(t)2
立. ………………………12分
22.证明:
(Ⅰ)连结AB.因为△PBC∽△PDB,所以
BDPD
. BCPB
ADPD
同理. ACPA
又因为PAPB,所以
P
BDAD
,即BCAC
BDBC
. ……5分 ADAC
(Ⅱ)因为BACPBCDAQ,ABCADQ,
所以△ABC∽△ADQ,即
BCDQ
. ACAQ
故
BDDQ
. ADAQ
又因为DAQPBCBDQ,
所以△ADQ∽△DBQ. ……10分 23.解:(Ⅰ)圆C:(x1)(y2)
16,直线l:
2
2
1x3t2
,t为参数……………………….5分
y52
(Ⅱ)将直线的参数方程代入圆的方程可得t2(2t30,………………….8分 设t1,t2是方程的两个根,则t1t23,所以|PA||PB||t1||t2||t1t2|3……………………….10分
24.解:
1
x3,x2
1
(Ⅰ)f(x)3x1,2x,
2
x23x,
11x2xx2
所以原不等式转化为 ……3分 或或22
3x3x333x13
所以原不等式的解集为,6,………………….6分
3
4
(Ⅱ)只要f(x)maxt23t,……………………….8分 由(Ⅰ)知f(x)max1t2
3t解得t
或t分