实际问题与二次函数拱桥问题
实际问题与二次函数拱桥问题
【学习目标】
1．理解二次函数模型的基本构成；
2．能够从实际问题中抽取出数学问题，建立数学模型；
3．建立恰当的平面直角坐标系，将实际问题数值转换为二次函数问题。
4. 通过创设合理情境，引导学生恰当建立坐标系，灵活的将实际问题转化为二次函数求点坐标的问题。培养学生建模思想、转化思想、数形结合思想的学习。
【教学难点】通过恰当的建立坐标系，利用二次函数知识分析并解决桥洞水面宽度问题。
【教学难点】实际问题中相关各量转化为找点坐标或求点坐标问题模型的建立。
【课前导学】
1．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为___________________________________．
12y =-x 4，当拱桥下水位线在2．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为
3m AB 位置时，水面宽为12m ，这时水面离桥拱顶端的高度h 是（ ）A ．
B．26m C．4m D．9m
3. 某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1．6m ，涵洞
顶点O 到水面的距离为2．4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物
线的函数关系式是什么？
【设计意图】
三个问题的提出是让学生对于二次函数的关系式、性质的回忆，利用后面的问题解决。
【典型例题】
下图是抛物线拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m ，水面宽4m ，水面下降1m ，水面宽度增加多少？
设计以下的问题：
问题1：对于此题你能联想到用我们学过的什么数学知识来解决？
（二次函数的图像是抛物线，而这个问题是关于抛物线形拱桥的，由此学生不难联想到用二次函数的知识来解决。）
问题2：求水面宽度增加多少，就是要求解什么样的数学问题？
问题3：如何用函数的有关知识求解出线段CD 的长?
(引导学生要求线段CD 的长就必须知道C 点和D 的坐标，而要知道C 点和D 点的坐标就必须知道抛物线的解析式，而要求抛物线的解析式就必须建立平面直角坐标系。)
教师在学生回答此问题后小结：对于抛物线型的实际问题，我们可以建立适当的平面直角坐标系，从而求出抛物线的函数关系式，然后利用二次函数的有关知识来解决。 在次基础上让学生尝试着建立平面直角坐标系。
学生先独立思考，再在小组内讨论交流，教师行间巡视，适时点拨。
学生常常会考虑以下几种情况: 1、以拱桥顶点为原点，以平行于水面的直线为x 轴建立坐标系；2、以水面为x 轴，以拱桥对称轴为y 轴建立坐标系；3、已下降后的水面为x 轴，以拱桥对称轴为y 轴建立坐标系；4、已下降后的水面x 轴，以该水面与拱桥的交点为y
轴建立坐
标系等等。
【设计思路】让学生有目的、有计划、有针对性的自学，是上好课的关键，因此自学提纲的设计显得尤为关键，在问题的设计上我遵循了由易到难、由简到繁，有利于学生掌握解题思路、方法，在问题的引导下很自然达到一定的高度，掌握了一定的知识和技能。
【尝试练习】(教师在小组讨论后，派代表到黑板上画出相应的图形) 教师根据相应的图形找同学到黑板上进行解决，解完后让学生对各方法进行比较：
(1)计算结果是否相同；
(2)哪种方法的解答最简捷。
【设计思路】通过该环节使学生明确坐标系的建立可有不同的方法，会得到不同的函数关系式，但不同的方法得到的结果是一致的。但恰当的选择坐标系的位置可以使得解答简便，否则不仅解答不简便，有时还会导致问题无法解答。
【精讲点拨】有关抛物线形的实际问题的一般解题思路：
1、建立适当的平面直角坐标系2、根据题意找出已知点的坐标
3、求出抛物线解析式4、直接利用图象解决实际问题.
【设计思路】：通过总结抛物线型实际问题的解题步骤，使学生豁然开朗，解题思路明确，为解同类题指明了方向。
【跟踪练习】
1、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图，现测得，当水面宽
AB 1. 6m 时，涵洞顶点与水面的距离为2. 4m ．这时，离开水面
1. 5m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1m ？
2、如图是一个抛物线拱桥的横截面，水面宽度AB=40米，水面离拱桥的最大高度DC 为16米．现有一艘宽20米，高出水面11米的轮船．请通过计算说明这艘船能否通过这座拱桥？
【课堂小结】
解决实际问题的步骤是什么？
建模思想 实际问题转化成数学问题。
【设计思路】总结升华可以帮助学生理清知识脉络，对所学知识进一步回味、消化，由感性上升到理性，增强信心，提高兴趣。
【作业】
1、有一辆载有长方体体状集装箱的货车要想通过洞拱横截面为抛物线的
隧道，如图1，已知沿底部宽AB 为4m ，高OC 为3.2m ；集装箱的宽与车的
宽相同都是2.4m ；集装箱顶部离地面2.1m 。该车能通过隧道吗？请说明
理由
2、抛物线形拱桥，当水面在L 时，拱顶离水面 2 m，水面宽 4 m.。若货船在水面上的部分的横截面是矩形，已知货船的宽为2.9m ，且船高出水面1m ，问货船能否顺利通过这座桥？
【设计思路】作业的设计是例题的变式练习，具有一定的创新性，解法多样，问题的解决可开拓学生的思维，巩固所学知识。