关于Maxwell方程组未知量个数与方程个数不一致的探讨

关于麦克斯韦方程组未知量个数与方程个

数不一致的探讨

刘长礼，孟广为5 （北京应用物理与计算数学研究所，北京 100094）

摘要：Maxwell （麦克斯韦）方程组有B 、E 两个矢量未知量，共6个未知数，而方程总数是8个，这并不自洽。其原因是每个旋度矢量方程的三个分量方程中有一个不独立；而Maxwell 方程组有两个旋度矢量方程，这样就正好有两个分量方程不独立，剩下6个独立的方程。此外还讨论了有关规范的问题。指出由矢势A 和标势φ表示的Maxwell 方程组，因为在做变量代换时，多引入了一个未知量Az ，导致矢势和标势表示的方程组解不具有唯一性，需要引入规范条件。

关键词：Maxwell 方程组，旋度方程，方程不独立

中图分类号：O442

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15 A discussion to contradiction of the number of unknown

variables and the number of Maxwell equations

LIU Changli, MENG Guangwei

(Institute of Applied Physics and Computational Mathematics, Beijing, 100094)

Abstract: In Maxwell equations, there are both vector unknown variables(B,E)，and they include 6 unknown components. However, there are 8 equations in Maxwell equations. The number of equations is contradiction to the number of variables. The reason is that one component equation is not independent in the vector rotation equation, which includes 3 component equations, in Maxwell equations. There are two vector rotation equations in Maxwell equations, and then 6 independent equations and 6 variables are left. The questions of gauge conditions are talked about. If one redundant variable Az is used in A, φ formulation’s Maxwell equations, the solutions of these equations are not unique, and gauge conditions are needed.

Key words: Maxwell equations, rotation, independent

20 25

0 引言

30 真空中Maxwell 方程组为： ⎧∇⋅E =ρ/ε0⎪∂B ∇×E =−⎪⎪∂t (1) ⎨⎪∇⋅B =0

⎪∇×B =µ0J +µ0ε0∂E ⎪∂t ⎩

上面方程有B 、E 两个矢量未知量，共6个未知数。散度方程是标量方程，包括一个方程；旋度方程是矢量方程，包含三个分量方程，所以上面的方程总数是8个。这样Maxwell 方程组包含6个未知量，而方程有8个。两者不相等，方程组本身存在自洽性问题，这个矛35 盾该如何解释？Maxwell 方程组最初包含20个未知量、20个方程，十分复杂；在1890年前

后，Hertz 对这个繁杂方程组进行了化简，其简化后的形式就是方程组(1)，并且沿用至今[1]。作者简介：男. E-mail: [email protected]

这一矛盾自Hertz 时代至今一直存在，并且有着不同的解释（下面介绍了两种常用解释），因此把这一矛盾叫做Maxwell-Hertz 佯谬是比较合适的。

有不少教材（比如参考文献[2]）这样解释此矛盾：认为方程组(1)中的两个旋度方程是40 主要方程，而两个散度方程是它们两个的初始条件，从而剩下6个旋度分量方程，与6个未

知量正好匹配。也就是将(1.2)两边求散度，就可以得到矢量B 的散度的时间偏导为0的推论；也就是如果在初始时刻有∇⋅B =0，那么以后任何时刻都有∇⋅B =0，从而可以将(1.3)看成(1.2)式的初始条件，而不把(1.3)式看成是一个独立的基本方程。

∇⋅∇×E =−∇⋅

45 ∂B ∂B ∂∇⋅B ⇒∇⋅=0⇒=0 ∂t ∂t ∂t 同样可以对(1.4)求散度，然后就可以得到(1.1)是(1.4)式的初始条件。在推导中用到了连续性

方程∇⋅J =−∂ρ。 ∂t

∇⋅∇×B =µ0∇⋅J +µ0ε0∇⋅∂εE ∂E ⇒∇⋅J +∇⋅0=0∂t ∂t ∂(ε0∇⋅E −ρ)∂ρ∂ε0∇⋅E ⇒−+=0⇒=0∂t ∂t ∂t

上面的分析也就是认为两个散度方程不独立，是初始条件。作者认为这种解释有些不妥。比如方程不含时间，也就是静电场和静磁场方程，这个时候没有初始条件的概念，又如何将散50 度方程解释成旋度方程的初始条件呢？而且这时方程依旧是有6个未知量，8个方程。或者

说，静电场方程是下面的方程组(2)，此方程依旧有3个变量、4个方程，也是不自洽的；也就是有一个方程不独立，但此时没有初始条件的概念，不能将静电场中的散度方程解释成旋度方程的初始条件。除此之外，这种解释还有很多矛盾之处。例如，当两个散度方程（即方程(1.1)和(1.3)）不是基本方程，而是初始条件的时候，剩下的旋度方程（即方程(1.2)和(1.4)）55 的解不再唯一，E +∇f (r )和B +∇g (r )都是两个旋度方程组的解。还有，A 和φ形式的

Maxwell 方程（方程组(4)）中有一个方程，方程(4.2)，是从Gauss 定律（即方程(1.1)）得来，那么方程(4.2)在A 和φ形式的Maxwell 方程中基本方程还是初始条件方程？

⎧∂E z ∂y ⎪∂E x

∂z ⎨∂E y

⎪∂x

⎪∂E x ⎩∂x

60 组(1)通过变换(3)得到： −∂E y ∂z ∂E −z =0∂x (2) ∂E x −=0∂y ∂E y ∂E z +=ρ/ε0+∂y ∂z =0另外一种较为常用的解释如下。由矢势A 和标势φ表示的Maxwell 方程组(4)可由方程

⎧⎪B =∇×A ∂A (3) ⎨E =−∇ϕ−⎪∂t ⎩

⎧2∂2A ∂ϕ⎞⎛∇−−∇∇⋅+A A µεµε⎜⎟=−µ0J 0000⎪2⎪∂t ∂t ⎠⎝ (4) ⎨∂∇⋅A ⎪∇2ϕ+=−ρ/ε0⎪∂t ⎩

这种解释认为方程组(4)和(1)是等价的，而(4)共有4个方程、4个未知量，这本身就是自洽的。方程组(4)是电磁学的本质方程，而(1)不是根本方程；这样电磁学的基本方程(4)就是自65 洽的，不存在上述矛盾。但是方程组(1)的解在确定边界条件下有唯一性，而方程组(4)（不

包含规范条件）的解在确定边界条件下却没有唯一性，A 和φ存在规范自由度。两个等价的方程组为何解的唯一性却不一样？本文第三部分将对此做出解释。

方程组(1)的解存在并且唯一[3]，所以它的未知量个数与独立的方程个数应该一致，都是6个。也就是Maxwell 方程中有两个不独立的方程，我们需要找到它们。其实是每个旋度70 矢量方程的三个分量方程中有一个不独立，这样就正好有两个分量方程不独立，剩下6个独

立的方程，6个未知量；这是本文的主要结论之一。从下面不同形式静电场方程的对比中，我们可以定性的看到三个旋度分量方程中有一个不独立。

∇ϕ=−ρ/ε02⇔⎧∇⋅E =ρ/ε0⎨⎩E =−∇ϕ⇔⎧∇⋅E =ρ/ε0 ⎨E ϕ∇×=−∇×∇=0⎩

上面是静电场方程的三种等价形式。静电场方程的解有唯一性，所以未知量个数与独立75 方程个数应该一致。前两种形式未知量个数和方程个数一致，第三种等价形式（也就是方程

组(2)）的未知量个数与方程个数不等。第二种等价形式和第三种等价形式非常接近，E 的散度方程是一样的，不同的一个是E 的标势梯度，一个是E 的旋度；对比来看，第二种形式有4个未知量、4个独立方程，而第三种形式有3个未知量、4个方程。由于两种形式是等价的，所以可以定性地得到：关于第三种形式中E 的三个旋度分量方程中有一个方程是80 不独立的。下面严格证明这一结论。

1 由B 、E 表示的Maxwell 方程组

由于方程组中哪几个方程不独立是一个纯粹的数学问题，在这里我们只从数学角度讨论，不涉及物理因素。在此我们不单独讨论Maxwell 方程组或者静电场方程，而讨论旋度方程中是哪个方程不独立，这更具普遍性，同时这种讨论方式也包含了Maxwell 方程组的问题。85 设旋度方程（先讨论不包含源项的情形）为：

∇×E =0 (5)

此方程的未知量为矢量E ，其分量形式（我们也称其为方程组(5)）是：

⎧∂E z ∂E y ⎪∂y −∂z =0

⎪⎪∂E x ∂E z −=0 (5) ⎨∂x ⎪∂z

⎪∂E y ∂E x −=0⎪∂y ⎩∂x

对方程组(5)的第一式求x 的偏导，并对方程组(5)的第二式求y 的偏导，然后求和，即：90 求∂(5. 1)∂(5. 2) +∂x ∂y

⎛∂E z ∂E y ∂⎜⎜∂y −∂z ⎝

∂x ⎞⎛∂E x ∂E z ⎞⎟−∂⎜⎟⎟∂x ⎠⎠+⎝∂z =0∂y

2∂2E z ∂E y ∂2E x ∂2E z =0+−−⇒∂x ∂y ∂z ∂x ∂z ∂y ∂x ∂y

∂2E x =0+⇒−∂z ∂x ∂z ∂y

∂⎛∂E y ∂E x ⎞⎟=0−⇒⎜⎜∂y ⎟∂z ⎝∂x ⎠

将上面最后一式对z 积分得： ∂2E y

∂E y

∂x

95 −∂E x =f (x , y ) ∂y 这和方程组(5)的第三式非常相似，如果f (x , y ) =0，那么就是(5)的第三式；也就是从旋度方程的前二式可以推导出旋度方程的第三式。其中如何证明f(x,y)=0是个问题。这个问题可

以这样解释：就像不定积分的原函数存在一个常数一样（比如f ' (x )的原函数不是f (x )，而是f (x )+c ，c 是任意常数），这两个方程存在一个与z 无关的f (x , y ) 任意函数差异；既然是任意函数，我们取其为零，这种取法是允许的，由此得到两个方程是一样的。读者可能会觉得这种方式过于牵强。下面换种理解方式：由于常数c 的存在微分与积分没有一一对应关100 而∫f ' (x )dx =f (x )+c ；系，所以它们不是互逆算符。比如有可导函数f (x ) ，其导函数是f ' (x )，

如果常数c ≠0，积分后的结果不是原来的函数f (x ) ，也就是微分和积分不具有互逆性；只有在常数c =0的前提下（或者像参考文献[4]中所说在相差任意常数c 的情况下认为两者一致，其实相差任意常数和常数c =0是等价的），对于偏微分的积分来说是f (x , y ) =0，它们才有一一对应关系，才是互逆算符。如果我们在上面对z 作和微分互逆的积分，这时f (x , y ) 恒为0，105 那么我们就会直接得到(2.3)式。换句话说，在与微分互逆的前提下做积分，就可以得到f (x , y )

=0，从而从旋度方程的任意两式可以得到第三式；三个旋度方程中只有两个是独立的。 下面讨论包含矢量源项S （为空间和时间的函数）的旋度方程：

∇×E =S (r , t )

⎧∂E z ∂E y −=S x (r , t )⎪∂z ⎪∂y

(5’) ⎪∂E x ∂E z −=S y (r , t )⎨∂x ⎪∂z

⎪∂E y ∂E x −=S z (r , t )⎪∂∂x y ⎩

下面我们看如何从前两式导出第三式。同样对方程组(5’)的第一式求x 的偏导，并对方110 程组(5’)的第二式求y 的偏导，然后求和，即：求∂(5'. 1)∂(5'. 2) +∂x ∂y

⎛∂E z ∂E y ⎞⎛∂E x ∂E z ⎞⎟∂⎜−∂−⎜⎟⎜∂y ⎟z ∂∂x ⎠∂S x ∂S y ⎝⎠+⎝∂z =+∂x ∂y ∂x ∂y

2∂2E z ∂E y ∂2E x ∂2E z ∂S x ∂S y ⇒−+−=+∂x ∂y ∂z ∂x ∂z ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y

∂2E x ∂S x ∂S y ⇒−+=+∂z ∂x ∂z ∂y ∂x ∂y

∂S x ∂S y ∂⎛∂E y ∂E x ⎞⎜⎟−=−−⇒⎜x ∂y ∂z ⎝∂x ∂y ⎟∂⎠

∂S z ' ∂S x ∂S y =−−现定义一个新的变量S ，定义式为：。 ∂z ∂x ∂y '

z ∂2E y

则上面最后一式变成：∂⎛∂E y ∂E x ' ⎞⎜−−S =0。 z ⎟⎜⎟∂z ⎝∂x ∂y ⎠

∂E y

∂x −∂E x =S z ' 。 ∂y 对此式做与微分互逆的积分（或者让积分常数为0），有

115 ' 当三个变量S x , S y , S z 构成一个矢量时，S z ' 与(5’)中的S z 具有完全一样的性质，即

S z ' ≡S z 。这样也就是说可以从(5’)的前两式推导出第三式。

Maxwell 方程组有2个旋度矢量方程，共6个分量方程，按照上面的分析，此6个方程中共有4个独立的方程，再加上2个散度方程，在Maxwell 方程组中有6个独立方程，6个未知量。Maxwell-Hertz 佯谬得到解释。

120 2 由A 、φ表示的Maxwell 方程组

下面我们讨论由矢势A 和标势φ表示的Maxwell 方程组(4)，并说明为什么需要规范条件。

我们先来分析方程组(4)中独立方程的个数。方程(4)包含4个未知量和4个方程，但A 和φ有规范自由度，其解不能唯一确定；如要唯一确定A 和φ，则需要增加一个规范条件。125 这也就使得方程数目变成了5个，而未知量还是4个；这里再次出现不自洽的问题。其原因

是矢势A 所表示的矢量方程(4.1)是由方程(1)的第四个矢量方程推导得到的；由于矢量方程(1.4)的三个分量方程中有一个不独立，这也就导致矢量方程(4.1)的三个分量方程中有一个不独立，所以包含规范在内的5个方程实际上只有4个是独立的。这样只有包含规范条件在内的方程组(4)才有4个独立方程、4个未知量。

130 下面讨论引言中提到的第二种解释。上面已经提到：方程组(1)有6个未知量、6个独立

的分量方程，并且解是有唯一性的；为什么只是作了一个变量代换（抛开变量的物理意义，从数学角度讲方程组(4)无非是方程组(1)作了一个变量代换），不包含规范条件的方程组(4)的解就不再具有唯一性？(1)和(4)是本来是等价的，为什么解的唯一性却不一样？哪里出了问题？解不唯一的原因是未知量个数多于独立方程的个数。那么究竟是在变量代换过程中丢135 掉了某个方程，还是代换过程中多引进了未知量呢？我们再作如下的变量代换，就不难看出

问题所在。

B x =

B y =

B z =∂A x ∂z ∂A y

∂x −∂A y ∂z ∂A x ∂φ−∂t ∂x ∂A y ∂φE y =−− (6) ∂t ∂y E x =−E z =−∂φ

∂z −∂A x

∂y

在这里我们只引进了A x A y φ 3个未知量（注意：不是设A z =0，而是根本就没有引进未知量A z ）来替换方程组(1)的6个未知量（两个矢量B E ），而不像代换(3)（A x A y A z φ 4个未140 知量来替换原来的6个未知量）。把(6)带入方程组(1)，B 的散度方程和E 的旋度方程（Faraday

定律）自动满足；B 的旋度方程（包含位移电流的Ampere 定律）和E 的散度方程（Gauss 定律）变成方程组(7)：

⎧2∂2A x ∂⎛∂A x ∂A y ∂ϕ⎞⎜⎟A µεµε++∇−−⎪00x 002⎜∂x ⎟=−µ0J x t x y t ∂∂∂∂⎝⎠⎪⎪∂2A y ∂⎛∂A x ∂A y ∂ϕ⎞2⎪∇A y −µ0ε0⎜⎟µε−++=−µ0J y 002⎜⎟∂y ⎝∂x ∂y ∂t ⎠∂t ⎪ (7) ⎨⎪∂ϕ⎞∂⎛∂A x ∂A y ⎜⎟µε++−00⎪⎜⎟=−µ0J z z x y t ∂∂∂∂⎝⎠⎪⎪∂⎛∂A x ∂A y ⎞2⎜⎟ϕ+∇+=−ρ/ε0⎪⎜⎟∂t ⎝∂x ∂y ⎠⎩

如前所述，方程组(7)的前三式只有两个是独立的，所以这个方程组是有3个未知量，3个独145 立的方程，方程组本身就是自洽的；无需也不能引进规范条件。仅从数学角度讲，我们使用

两个不同的变量代换方式得到了方程组(4)和(7)，这两种代换方式非常相近，只是代换(6)比代换(3)少了一个变量而已。得到的两组方程(4)和(7)也非常相近，只差与A z 有关的项。也就是说我们常用的方程组(4)解的不唯一性，或者说为什么需要规范条件，是由于代换(3)多了引进了一个未知量A z （可以是矢量A 中的任意一个分量）。如果我们用代换(6)，那么从6150 个未知量、6个独立方程的(1)我们会得到3个未知量、3个独立方程的(7)，(7)本身是自洽的，

无需规范条件的。当然(3)和(4)比(6)和(7)的形式对称的多，漂亮的多。其实方程组(7)等价于

(4)和规范条件A z =0。这也就说明了引言中对Maxwell-Hertz 佯谬的第二种解释是不合理的，由于方程组(4)的解不具有唯一性，因此它不能和方程组(1)等价；与方程组(1)等价的是包含规范条件的(4)，或者说(1)和(7)是等价的；而且包含规范条件的方程组(4)包括4个独立方程155 及4个未知量，方程组(7)包含3个独立方程及3个未知量。

3 规范变换

下面讨论一下规范变换。上文已经指出由于变换(3)多引进一个变量导致此方程的解不唯一。也就是说当电场E 和磁感应强度B 给定时，把A 和φ当成未知量，方程组(3)的解不唯一，满足规范变换的值都是其解。规范变换公式为(8)。

160 ⎧⎪B =∇×A ∂A (3) ⎨E =−∇ϕ−⎪∂t ⎩

⎧A ′=A +∇f (r , t )⎪⎨∂f (r , t ) (8)

⎪ϕ′=ϕ−∂t ⎩然而，当给定规范条件后，比如库仑规范，方程(3)的解是唯一的，即在给定边界条件前提下，方程(3)只有唯一解。这样规范变换就成了恒等变换，f (r,t)在全场成为常数，其任何导数都是0。这也就是说在选定规范条件后，在电磁学范围内，规范变换是恒等变换，已没有任165 何意义。在恒等变换下，Maxwell 方程组自然不变，方程的规范不变性自然满足，在此无需

把“方程的规范不变性”当成基本原理，因为它是自然被满足的。在量子力学里，由于f (r,t)恒为常数，所以波函数的规范变换也就没有任何意义了，无非是全场乘上一个无关紧要的常数。同时在恒等变换下，含有磁场的哈密尔顿也是不变的。量子场论的规范变换也可进行类似讨论。

170 4 结论

上面给出了Maxwell 方程组不自洽的解释，是两个旋度矢量方程中各有一个不独立的方程，从而得到6个未知量6个独立方程的方程组。而由矢势A 和标势φ表示的Maxwell 方程组中，由于在做变量代换时，多引入了一个未知量A z ，导致矢势和标势表示的方程组解不具有唯一性，需要引入规范条件。

[参考文献] (References)

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[3] 谢处方、饶克谨等，电磁场与电磁波（第四版）[M]，北京：高等教育出版社，2006:179-180

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