[新编基础物理学]第二章习题解答和分析1

习题二

2-1．两质量分别为m 和M (M≠m ) 的物体并排放在光滑的水平桌面上，现有一水平力F 作用在物体m 上，使两物体一起向右运动，如题图2－1所示，求两物体间的相互作用力? 若水平力F 作用在M 上，使两物体一起向左运动，则两物体间相互作用力的大小是否发生变化？ 分析：用隔离体法，进行受力分析，运用牛顿第二定律列方程。

解：以m 、M 整体为研究对象，有：F =(m +M ) a

以m 为研究对象，如图2-1（a ），有F +F M m =m a

…① …②

由①、②，有相互作用力大小F M m =

M F m +M

F M

若F 作用在M 上，以m 为研究对象， 如图2-1（b ）有F M m =m a …………③ 由①、③，有相互作用力大小F M m =

m F m +M

m

（a ）

，发生变化。

F M m

（b ）

2-2. 在一条跨过轻滑轮的细绳的两端各系一物体，两物体的质量分别为M 1和M 2 ，在M 2上再放一质量为m 的小物体，如图所示，若M 1=M2=4m，求m 和M 2之间的相互作用力，若M 1=5m，M 2=3m，则m 与M 2之间的作用力是否发生变化？

分析：由于轻滑轮质量不计，因此滑轮两边绳中的张力相等，用隔离体法进行受力分析，运用牛顿第二定律列方程。

解：取向上为正，如图2-2，分别以M 1、M 2和m 为研究对象， 有： T 1-M 1g =M 1a

-(M

2

+m ) g +T 2=- (M

2

+m ) a

F

M 2m

-m g = -m a

又：T 1=T2，则： F 当M 1=M2= 4m， F

M 2m

=

2M 1m g M

1

+M

2

+m

10m g 9

M 2m

=

8m g 9

当M 1=5m, M2=3m, F

M 2m

=

，发生变化。

2-3. 质量为M 的气球以加速度a 匀加速上升，突然一只质量为m 的小鸟飞到气球上，并停留在气球上。若气球仍能匀加速向上，求气球的加速度减少了多少？ 分析：用隔离体法受力分析，运用牛顿第二定律列方程。

f 解：为空气对气球的浮力，取向上为正。

分别由图2—3（a ）、(b)可得：

f -Mg =Ma

f -(M +m ) g =(M +m ) a 1

则a 1=

Ma -mg m +M

, ∆a =a -a 1=

m (a +g )m +M

2-4．如图2-4所示，人的质量为60kg ，底板的质量为40kg 。人若想站在底板上静止不动，则必须以多大的力拉住绳子？

分析：用隔离体法受力分析，人站在底板上静止不动，底板、人受的合力分别为零. 解：设底板、人的质量分别为M ，m ， 以向上为正方向，如图2-4（a ）、(b)， 分别以底板、人为研究对象， 则有：T 1+T 2-F -M g =0 T 3+F ' -m g =0

F 为人对底板的压力，F ' 为底板对人的弹力。 F=F ' 又：T 2=T 3=则T 2=T 3=

12T 1

(M +m ) g

4

=245(N )

由牛顿第三定律，人对绳的拉力与T 3是一对 作用力与反作用力，即大小相等，均为245（N ）。

2-5．一质量为m 的物体静置于倾角为θ的固定斜面上。已知物体与斜面间的摩擦系数为μ。试问：至少要用多大的力作用在物体上，才能使它运动？并指出该力的方向。 分析：加斜向下方向的力，受力分析，合力为零。

解：如图2—5，建坐标系，以沿斜面向上为正方向。在m g 与N 所在的平面上做力F ，且

0≤α≤

π

2

（若

π

2

则：-F co s α-m g sin θ+f =0

f =μN

N +F sin α-m g co s θ=0

则有：F =

m g (μc o s θ-sin θ)

μsin α+c o s α

=

ϕ=a rc ta n

1

μ

即：F m in =

此时α=

π

2

-ϕ=a rc ta n μ

2-6. 一木块恰好能在倾角θ的斜面上以匀速下滑，现在使它以初速率v 0沿这一斜面上滑，问它在斜面上停止前，可向上滑动多少距离？当它停止滑动时，是否能再从斜面上向下滑动？

分析：利用牛顿定律、运动方程求向上滑动距离。停止滑动时合力为零。 解：由题意知： μ=t an θ ① 向上滑动时， mg sin θ+μmg cos θ=ma ②

v

20

=2aS ③

2

联立求解得 S =v 0/(4g sin θ)

当它停止滑动时，会静止，不再下滑． 2-7. 5kg的物体放在地面上，若物体与地面之间的摩擦系数为0.30，至少要多大的力才能拉动该物体？

分析：要满足条件，则F 的大小至少要使水平方向上受力平衡。 解：如图2—7，F c o s θ=f =μN =μ(m g -F sin θ)

F =

μm g

(ϕ=a rc ta n

1

μ

)

当sin (ϕ+θ) =1时, F m i n =

μm g

=14.08N

2—8. 两个圆锥摆，悬挂点在同一高度，具有不同的悬线长度，若使它们运动时两个摆球离开地板的高度相同，试证这两个摆的周期相等．

分析：垂直方向的力为零，水平方向的力提供向心力。先求速度，再求周期讨论。 证：设两个摆的摆线长度分别为l 1和l 2，摆线与竖直轴之间的夹角分别为θ1和θ2，摆线中的张力分别为F 1和F 2，则

F 1cos θ1-m 1g =0 ① F 1sin θ1=m 1v 1/(l 1sin θ1) ②

2

解得： v 1=sin θ1gl 1/cos θ1

第一只摆的周期为 T 1=

2πl 1sin θ1

v

1

=2π

l 1cos θ1

g

同理可得第二只摆的周期 T 2=2π

l 2cos θ

g

2

题2-8

由已知条件知 l 1cos θ1=l 2cos θ2 ∴ T 1=T 2

2—9. 质量分别为M 和M+m的两个人，分别拉住定滑轮两边的绳子往上爬，开始时，两人与滑轮的距离都是h 。设滑轮和绳子的质量以及定滑轮轴承处的摩擦力均可忽略不计，绳长不变。试证明，如果质量轻的人在t s 内爬到滑轮，这时质量重的人与滑轮的距离为

1⎛2⎫

h +g t ⎪ 。

M +m ⎝2⎭m

分析：受力分析，由牛顿第二定律列动力学方程。 证明：如图2—9（b ）、（c ），分别以M 、M+m为研究对象，

a 2（方设M 、M+m对地的加速度大小分别为a 1（方向向上）、

向向下），则有：对M ，有：

h =

12a 1t

2

f -M g =M a 1对M +m , 有:

(M +m ) g -f ' =(M +m ) a 2又:f =f ' 则:a 2=

m g t -2M h (M +m ) t

2

2

则质量重的人与滑轮的距离: h '=h +

12a 2t

2

（b ） (c) 图2-9

=

1⎡2⎤

h +g t 。此题得证。 ⎥M +m ⎢2⎣⎦

-2

m

2-10. 质量为m 1=10kg和m 2=20kg的两物体，用轻弹簧连接在一起放在光滑水平桌面上，以F=200N的力沿弹簧方向作用于m 2 , 使m 1得到加速度a 1=120cm·s ，求m 2获得的加速度大小。 分析：受力分析，由牛顿定律列方程。 解：物体的运动如图2—10（a ）， 以m 1为研究对象，如图（b ），有：

F 1=m 1a 1

以m 2为研究对象，如图（c ），有：

F -F 1=m 2a 2

'

'

又有：F 1=F 1

则：a 2=

F -m 1a 1

m 2

=9.4m /s

2

2—11. 顶角为θ的圆锥形漏斗垂直于水平面放置，如图2-11所示. 漏斗内有一个质量为m 的小物体，m 距漏斗底的高度为h 。问（1）如果m 与锥面间无摩擦，要使m 停留在h 高度随锥面一起绕其几何轴以匀角速度转动，m 的速率应是多少？（2）如果m 与锥面间的摩擦系数为μ，要使m 稳定在h 高度随锥面一起以匀角速度转动，但可以有向上或向下运动的趋势，则速率范围是什么？

分析：（1）小物体此时受到两个力作用：重力、垂直漏斗壁的支承力，合力为向心力；（2）小物体此时受到三个力的作用：重力、垂直漏斗壁的支承力和壁所施的摩擦力。当支承力在竖直方向分量大于重力，小球有沿壁向上的运动趋势，则摩擦力沿壁向下；当重力大于支承力的竖直方向分量，小球有沿壁向下的运动趋势，则摩擦力沿壁向上。这三个力相互平衡时，小物体与漏斗相对静止。 解：

（1）如图2—11（a ），有：

m g ta n

2

θ

2

=

m v h ta n

θ

2

，则：v =（2）若有向下运动的趋势，且摩擦力为最大静摩擦力(f 2=μN 2) 时，速度最小，则图2—11（b ）有： 水平方向：N 2c o s

θ

2

-f 2s in

2

θ

2

=

m v h ta n

θ

2

竖直方向：N 2sin

θ

2

+f 2c o s

θ

2

=m g

又：f 2=μN 2

则有：v =

若有向上运动的趋势，且摩擦力最大静摩擦力(f 3=μN 3) 时，速度最大，则图2—11（c ），有：

水平方向：N 3c o s

θ

2

+f 3s in

2

θ

2

=

m v h ta n

θ

2

竖直方向：N 3s in

θ

2

-f 3c o s

θ

2

=m g

又：f 3=μN 3

则有：v =

≤v ≤

2—12． 如图2-12所示，已知两物体A 、B 的质量均为3. 0kg 物体A 以加速度1.0m ⋅s 动，求物体B 与桌面间的摩擦力。（滑轮与绳子的质量不计）

-2

运

分析：因为滑轮与连接绳的质量不计，所以动滑轮两边绳中的张力相等，定滑轮两边绳中的张力也相等，但是要注意两物体的加速度不相等。

解：图2—12（a ）以A 为研究对象，其中F L 、F R 分别为滑轮左右两边绳子的拉力。有：

m A g -F L -F R =m A a A

且：F L =F R

'

图2—12（b ）以B 为研究对象，在水平方向上，有：F L -f =m B a B ' 2

又：F L =F L ，a B =2a A , a A =1.0m /s

m A =m B =m =3k g 联立以上各式，可解得：f =

m g -2m a B -m a A

2

=7.2N

2—13．一质量为m 的小球最初位于如图2-13所示的A 点，然后沿半径为r 的光滑圆轨道ADCB 下滑，试求小球到达C 点时的角速度和对圆轨道的作用力.

分析：如图2—13，对小球做受力分析，合力提供向心力，由牛顿第二定律，机械能守恒定律求解。 解：mgr cos α=

12mv

2

R L

'

B A g

图2－

12a 图2－12b

…………①

又：v =ω⨯r , 此时, v =ωr ………② 由①、②可得：

ω=

v

2

题图2－13

N -m g c o s α=m

r

……③

图2－13

由①、③可得，N =3m g co s α

2—14．质量为m 的摩托车，在恒定的牵引力F 的作用下工作，它所受的阻力与其速率的平方成正比，它能达到最大速率是v m ⋅ 试计算从静止加速到v m /2所需的时间以及所走过的路程。

分析：加速度等于零时，速度最大，阻力为变力，积分求时间、路程。 解：设阻力f =k v (k >0) ，则加速度a =则有：0=

F -k v m

m

22

F -f m

，当a=0时，速度达到最大值v m ，

2

, k =

F v m

2

, 从而:F v m m

2

f =

F v m

2

v

又a =

F -f m

=

d v d t

F -v

2

，即：

=

d v d t

…………①

F m

d t =

d v (1-

v

22

v m

v m /2

) d v (1-

v

22

t

⎰

F m

d t =

⎰

v m

)

v m /2

⎡F ⎢m ⎣

t

⎤⎥⎦0

t

⎡v ⎤

-1⎥⎢

v m v m ⎢⎥=-ln

v ⎢2⎥+1

⎢⎥v m ⎣⎦0

t =

m v m 2F

ln 3，即所求的时间

F v m m

2

2

F -v

对①式两边同乘以dx ，可得：

F m

x

d x =

d v d t

d x

d x =F m

v m v v m -v

2

2

2

d v v m v v m -v

2

22

⎰

d x =

x

⎰

v m /20

d v

v m /2

⎡v m ⎤⎡F ⎤22

x =⎢-ln (v -v m ) ⎥⎢m ⎥2⎣⎦0⎣⎦0x =

m v m 2F

2

2

题图2－15

ln

43

≈0.144

m v m F

2

2-15．如图2-15所示，A 为定滑轮，B 为动滑轮，3个物体的质量分别为m 1=200g，m 2=100g，m 3=50g.（1）求每个物体的加速度（2）求两根绳中的张力（滑轮和绳子质量不计，绳子的伸长和摩擦力可略）。

分析：相对运动。m 1相对地运动，m 2、m 3相对B 运动，T 1=2T 2。根据牛顿牛顿定律和相对运动加速度的关系求解。

解：如下图2-15，分别是m 1、m 2、m 3的受力图。

设a 1、a 2、a 3、a Β分别是m 1、m 2、m 3、B 对地的加速度；a 2B 、a 3B 分别是m 2、m 3对B 的加速度，以向上为正方向，可分别得出下列各式

-m 1g +T 1=m 1a 1……………① -m 2g +T 2=m 2a 2…………②

' '

-m 3g +T 2=m 3a 3……………③

又：

a 2=a B +a 2B a 3=a B +a 3B

且：a 2B =-a 3B

则：a 2+a 3=2a B , 且a B =-a 1, 则：

a 2+a 3=-2a 1

' '

又：T 1=T 1=T 2+T 2

图2－15

…………④ …………⑤ …………⑥

T 2=T 2

'

⎧4m 2-3m 1g 2a =g =-=-1.96m /s ⎪1

3m 1+4m 25

⎪⎪4m 2-m 1g 2

则由①②③④⑤⑥，可得：⎨a 2=-g =-=-1.96m /s

3m 1+4m 25⎪

⎪5m 1-4m 23g 2

g ==5.88m /s ⎪a 3=

3m 1+4m 25⎩

（2）将a 3的值代入③式，可得：T 2=

8m 1m 2g 3m 1+4m 2

=0.784N 。T 1=2T 2=1.57N

2-16．桌面上有一质量M=1.50kg的板，板上放一质量为m=2.45kg的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的摩擦系数均为0.25. 要将板从物体下面抽出，至少需要多大的水平力？

分析：：要想满足题目要求，需要M 、m 运动的加速度满足：a M ≥a m ，如图2-16（b ），以M 为研究对象，N 1，N 2，f 1，f 2分别为m 给M 的压力，地面给M 的支持力，m 给M 的摩擦力，地面给M 的摩擦力。 解：a M =

F -f 1-f 2

M

' '

如图2-16（c ），以m 为研究对象，N 1, f 1分别为M 给m 的支持力、摩

擦力。 则有：a m =

'

f 1m

'

'

又f 1=f 1=μN 1=μN =μmg , 则a M ≥a m 可化为：

M

f 2=μN

2

=μ(m +M )g

F -μ(M +m ) g -μm g

≥

μm g

m

题图2－16

则：F m in =2μ(m +M ) g =19.4N

2-17．已知一个倾斜度可以变化但底边长L 不变的斜面. （1）求石块从斜面顶端无初速地滑

到底所需时间与斜面倾角α之间的关系，设石块与斜面间的滑动摩擦系数为μ；（2）若斜面倾角为60和45时石块下滑的时间相同，问滑动摩擦系数μ为多大？

分析：如图2-17，对石块受力分析。在斜面方向由牛顿定律列方程，求出时间与摩擦系数的关系式，比较α=60与α=45时t 相同求解μ。 解：（1）其沿斜面向下的加速度为：

a =

m g sin a -μm g c o s a

m L c o s a

=12

2

o o

=g sin a -μg c o s a

又s =a t ，则：

t =

（2）又α=60︒

时，t 1=

，

题图2－17

α=45︒

时，t 2=

又t 1=t 2，则：μ=0.27

2—18，如图2-18所示，用一穿过光滑桌面小孔的轻绳，将放在桌面上的质点m 与悬挂着的质点M 连接起来，m 在桌面上作匀速率圆周运动，问m 在桌面上圆周运动的速率v 和圆周半径r 满足什么关系时，才能使M 静止不动？

分析：绳子的张力为质点m 提供向心力时，M 静止不动。 解：如图2—18，以M 为研究对象, 有：M g =T ' ……① 以m 为研究对象，

水平方向上，有：T =m a n =m 又有：T ' =T …③ 由①、②、③可得：

v

2

v

2

r

……②

r

=

M g m

题图2－18