分析力学基础
分析力学(第六章)
零. 总说
矢量力学侧重于几何和矢量的应用; 分析力学偏重于解析数学;
两者风格不同,但在力学范围内完全等价,由于分析力学具有普适
的表述方式,可推广到其它学科中应用。
一.分析力学的基本概念
1.系统描述相关的概念
(1)力学系:n 个相互作用着的质点构成的力学系统; (2)位形:力学系的位置状态; (3)约束:限制质点自由运动的条件;
几何约束(限制几何位置),微分约束(约束中包含速度) 不完整约束
稳定约束(与时间无关),不稳定约束(与时间有关) ,不可解约束(不可以解除) (4)自由度s :描写力学系所须独立坐标的个数 =3n -k 约束方程的个数 自由度数目
(5)广义坐标:s 个独立坐标参量可以把体系3n 个坐标参量表示
出来:x
i
=x i (q 1, q 2, , q s ; t ), (i =1, 2, , 3n ) 。
s 个独立坐标参量称为广义坐标
(6)广义速度:广义速度分量q
α
=
dq αdt
, (α=1, 2, , s ) 的全体
2.系统原理相关的概念
(1) 实位移:在时间间隔(dt
≠0)内发生的真实位移d r
(2) 虚位移:设想发生的位移δr (时间没变化,非真正的位移) 在稳定约束下,实位移是虚位移中的一个;
在不稳定约束下,实位移不同于虚位移(P167, 图6.2);
(3) 虚功:力在虚位移下所作的功
(4) 理想约束:体系中约束力所作的功之和为零 ∑
i =1n
F N ⋅δr =0
i
光滑曲面、曲线、铰链;不可伸长的杆、绳;固定点约束; 固定曲面上的纯滚动等都是理想约束。
(5) 拉格朗日函数(拉氏函数或拉格朗日量)
; t ) =T (q , q ; t ) -V (q ; t ) 体系的动能和势能之差L (q , q
适用于体系受保守力的情况。
(6) 广义动量:p
α
=
∂L α∂q
=
∂T α∂q
q 为角量时,p 为角动量分量; q 为线量时,p 为动量分量;
α
α
αα
(7) 广义力:Q
(q 1, q 2, , q s ; t ) =α
∂W ∂q α
3n
=
∑
i =1
F i
∂x i ∂q α
的全体
q 为线量时,Q 为力的分量;q 为角量时,Q 为力矩分量;
α
α
αα
(8) 哈密顿函数(或哈密顿量)
H (q , p ; t ) =
s
-L +
∑
α=1
αp αq
应把广义速度都看成q , p 的函数
(9) 正则变量:广义坐标和广义动量称为力学系的正则变量; p
α
, q α(α=1, 2, , s ) 构成
2s 维抽象空间,任一瞬时力学系的
广义坐标和广义动量确定了相空间的一个点(称为相点)
(10)泊松括号:[G , ]=∑(
α=1s
∂G ∂H ∂q α∂p α
-
∂G ∂H ∂p α∂q α
)
二.基本原理
1. 虚功原理
质点i 处于平衡状态:δW 体系处于平衡状态:δW (1)坐标表示
在理想约束的情况下,力系的平衡条件是作用在质点上的主动力所作的虚功之和等于零:δW (2)广义坐标表示 δx
s
i
3n
i
=F i ⋅δr i +F N ⋅δr i =0 (i =1, 2, , s )
i
n
=
∑
i =1
F i ⋅δr i +
n
∑
i =1
F N ⋅δr i =0
i
=
∑F
i =1
i
⋅δx i
=
∑
α=13n
∂x i ∂q α
q α+
∂x i ∂t
s
δt =
∑
α=13n
∂x i ∂q α
q α (i =1, 2, , 3n )
δW
s i
=
∑F ∑
i =1
∂x i ∂q α
s
q α=∑(∑F
α=1
i =1
∂x i
i
s
α=1
∂q α
) δq α=∑Q
α=1
α
δq α
广义力分量 体系处于平衡时,广义力分量都应等于零。
2. 达朗贝儿原理
质点:m i r i =F i +F N (i =1, 2, , n )
i
F i +F N -m i r = 0 (i =1, 2, , n ) i
i
把动力学问题化为静力学问题;
3.达朗贝儿-拉格朗日方程
在理想约束条件下 (1) 坐标表示: δW
3n
=
s
∑(F
i =1
i
i ) δx i =0 -m i x
(2) 广义坐标表示:∑[
α=1
d dt
(
∂T α∂q
) -
∂T ∂q α
-Q α]δq α=0
(3) 分量表达式-拉格朗日方程组:
由于每个广义坐标的变化是相互独立的,其变分前面的系数
=
n
12
3n
其中T
∑
i =1
2=i r i
∑
i =1
12
i 2 力学体系的动能 m i x
注意:约束力不出现;
动能必须写成广义坐标、广义速度以及时间的函数。
(4)保守力系统中的拉格朗日方程
; t ) =T (q , q ; t ) -V (q ; t ) 为拉格朗日函数 其中 L (q , q
保守力系统中拉格朗日方程的一种特殊情形:
某一广义坐标 q 在拉氏函数中不出现,则其对应的拉格朗日
β
方程可简化为
q β
d
βdt ∂q
(
∂L
) =0⇔
∂
L β∂q
=p β=C β=常量
第一积分称为广义动量积 4.哈密顿原理
(1)哈密顿函数 H (q , p ; t ) =
s
-L +
∑
α=1
αp αq
哈密顿函数
+V
在稳定约束的情况下:H (p ; q ) =T
在不稳定约束下:H (p , q ; t ) =T
2
动能+势能
-T +V
动能中包含广义速度二次项,动能中包含广义速度零次项
(2)哈密顿正则方程
上式共为2s 个一阶常微分方程组,结合初始条件,可得到广义坐
标和广义动量的表达式q
α
=q α(t ), p α=p α(t ) 。 dH dt
=∂H ∂t
(3)哈密顿函数随时间的变化率:
对稳定约束,机械能守恒; 对不稳定约束,机械能不守恒。
若某一广义坐标 q 在哈密顿函数中不出现,则p
β
β
=-
∂H ∂q β
=0
,
相应的广义动量积分p
β
=C β=
常量
注意:经典力学的确定论适用于哈密顿函数可积; 若力学系不可积,则可能出现随机的混沌行为。 (4)哈密顿原理 I. 数学预备知识
泛函:以函数为变量的函数;S
=S [y (x )]
泛函的变分:两个相近函数~y (x ) 和y (x ) 给出的泛函值之差
δS =S -S =
~
⎰
x 2
x 1
{
∂f ∂y
-
d
dx ∂(dy /dx )
(
∂f
)}δy (x ) dx =0
由于δ
y (x ) II.哈密顿原理 定义哈密顿作用量:S
=
⎰
t 2
t 1
; t ) dt L (q , q
1
是关于q (t ) 的泛函;与位形空间中由P 点通向P 点的轨道
2
密切相关。
哈密顿原理:对一个保守的完整力学系,其运动真实轨道的哈
密顿作用量为极值。
δS δS
=δ=δ
⎰
t 2
t 1t 2
; t ) dt =0L (q , q
s
(广义坐标空间)
(相空间)
⎰(∑
t 1
α-H ) dt =0p αq
α=1
注意:可以从作用量的变分为零来确定真实的轨道。
几个惯用术语
1. 自由度、广义坐标与广义动量
自由度:确定体系中粒子位置的独立参量 f=3N-S 广义坐标:描述体系空间状态的坐标参数 q f 广义速度:ρk =∂q k
∂t
广义动量:p k =∂T ∂q k
2. 哈密顿函数 H (p,q )=T (p,q ) + u (q ) 动能+势能 能量恒定的体系:总能量=动能+势能 H =E 独立子系, 无相互作用,则:u (q )=0
N N
2
H =∑p k 2m =∑H i
i =1i =1
N
相倚子系, u (q ) ≠0 ,则: H =∑p k 22m +u (x 1, y 1, z 1; ; x N , y N , z N ) =
i =1
拉普拉斯算符 ∇=
2
N
∑H
i =1
i
∂
22
∂x
+
∂
22
∂y
+
∂
22
∂z
测不准关系式 h ≈△x +△p x 哈密顿算符
ˆ=-H
ˆ=-H ∑
i =1N
h
32
h
32
8πm
2
∇+u (x , y , z )
2
8πm
∇+u (x 1, y 1, z 1; x N , y N , z N )
ˆψ=εψ, H ˆΨ=E Ψ, 波函数 采用定态波函数 ψ H
N
M M
独立子系:Ψ=∏ψi (k ) 相倚子系:H 系综=
k =1
∑H
j =1
j
, Ψ系综=
∏Ψ
j =1
i
(j )
吴世海 编辑整理